第六節(jié) 雙曲線

1、欄目索引理數(shù)課標(biāo)版第六節(jié)雙曲線欄目索引1.雙曲線的定義雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|F1F2|且不等于零)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.集合P=M|MF1|-|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a、c為常數(shù)且a0,c0.教材研讀教材研讀(1)當(dāng)2a|F1F2|時(shí),P點(diǎn)不存在.欄目索引2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)欄目索引欄目索引1.雙曲線的方程為x2-2y2=1,則它的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為()A.B.C.D.(,0)答案答案 C原方程可化為-=1,a2=1,b2=,c2=a2

2、+b2=,右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為.2,025,026,02321x212y12326,02欄目索引2.(2015福建,3,5分)若雙曲線E:-=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,點(diǎn)P在雙曲線E上,且|PF1|=3,則|PF2|等于()A.11B.9C.5D.3答案答案 B|PF1|=30,b0)的焦距為2,且雙曲線的一條漸近線與直線2x+y=0垂直,則雙曲線的方程為()A.-y2=1B.x2-=1C.-=1D.-=1答案答案 A由題意可得解得a=2,則b=1,所以雙曲線的方程為-y2=1,故選A.22xa22yb524x24y2320 x235y235x2320y221,25,0,0,baabab24x

3、欄目索引4.若雙曲線-=1的離心率e(1,2),則m的取值范圍為.答案答案(0,15)解析解析e=,12,即55+m20,故0m0,b0)和橢圓+=1有相同的焦點(diǎn),且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍,則雙曲線的方程為.1435344522xa22yb216x29y考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破欄目索引答案答案(1)C(2)-=1解析解析(1)雙曲線方程可化為-=1,a=b=,c=2.24x23y22x22y2由得|PF1|=4,|PF2|=2,由余弦定理得cosF1PF2=.故選C.(2)由題意易得橢圓焦點(diǎn)為(,0),離心率為,在雙曲線中,有a2+b2=7且e=,結(jié)合a2+b2=c2,解得a2=4,b2=3

4、,雙曲線的方程為-=1.1212| 2 2,| 2|PFPFPFPF22222121212|2| |PFPFFFPFPF34774ca7224x23y欄目索引方法技巧方法技巧(1)在雙曲線的定義中要注意雙曲線上的點(diǎn)(動(dòng)點(diǎn))具備的幾何條件,即“到兩定點(diǎn)(焦點(diǎn))的距離之差的絕對(duì)值為一個(gè)常數(shù),且該常數(shù)必須小于兩定點(diǎn)間的距離”.若去掉定義中的“絕對(duì)值”,則點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支.同時(shí)注意定義的轉(zhuǎn)化應(yīng)用.(2)求雙曲線方程時(shí),一是注意標(biāo)準(zhǔn)形式的判斷;二是注意a、b、c的關(guān)系.欄目索引1-1(2016課標(biāo)全國,5,5分)已知方程-=1表示雙曲線,且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4,則n的取值范圍是()A.(-1

5、,3)B.(-1,)C.(0,3)D.(0,)22xmn223ymn33答案答案A原方程表示雙曲線,且焦距為4,或由得m2=1,n(-1,3).無解.故選A.22220,30,34,mnmnmnmn22220,30,(3)()4,mnmnmnmn欄目索引1-2 (2016河北唐山統(tǒng)一考試)焦點(diǎn)在x軸上,焦距為10,且與雙曲線-x2=1有相同漸近線的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.答案答案-=1解析解析設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-x2=-(0),即-=1,則有4+=25,解得=5,所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.24y25x220y24y2x24y25x220y欄目索引變式變式1-3若將本例(1)中的條件“

6、|PF1|=2|PF2|”改為“F1PF2=60”,則F1PF2的面積是多少?解析解析不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上,則|PF1|-|PF2|=2a=2,在F1PF2中,由余弦定理,得cosF1PF2=,所以|PF1|PF2|=8,所以=|PF1|PF2|sin60=2.2222121212|2| |PFPFFFPFPF1212F PFS123欄目索引考點(diǎn)二雙曲線的幾何性質(zhì)考點(diǎn)二雙曲線的幾何性質(zhì)命題角度一雙曲線的離心率問題命題角度一雙曲線的離心率問題典例典例2 (2016課標(biāo)全國,11,5分)已知F1,F2是雙曲線E:-=1的左,右焦點(diǎn),點(diǎn)M在E上,MF1與x軸垂直,sinMF2F1=,則E的離心

7、率為()A.B.C.D.2答案答案 A解析解析解法一:由MF1x軸,可得M,|MF1|=.由sinMF2F1=,可得cosMF2F1=,又tanMF2F1=,=,b2=ac,c2=a2+b2b2=c2-a2,c2-a2-ac=0e2-e-1=0,e=.22xa22yb1323232,bca2ba1321132 23112|MFFF22bac22bac132 232222222欄目索引故選A.解法二:由MF1x軸,得M,|MF1|=,由雙曲線的定義可得|MF2|=2a+|MF1|=2a+,又sinMF2F1=a2=b2a=b,e=.故選A.2,bca2ba2ba12|MFMF222babaa13

8、222aba2欄目索引命題角度二雙曲線的漸近線問題命題角度二雙曲線的漸近線問題典例典例3 (2016廣東廣州模擬)已知雙曲線-=1(a0,b0)的右焦點(diǎn)到左頂點(diǎn)的距離等于它到漸近線距離的2倍,則其漸近線方程為()A.2xy=0B.x2y=0C.4x3y=0D.3x4y=0答案答案 C解析解析設(shè)右焦點(diǎn)為F(c,0),且F與雙曲線一條漸近線y=x的距離為d,則d=b,易知右焦點(diǎn)到左頂點(diǎn)的距離為a+c,又右焦點(diǎn)到左頂點(diǎn)的距離等于它到漸近線距離的2倍,所以a+c=2b.平方得(a+c)2=4b2=4(c2-a2),則a=c,b=c,雙曲線的漸近線方程為y=x=x,即4x3y=0.故選C.22xa22y

9、bba22|bcab3545ba43欄目索引命題角度三離心率與漸近線的綜合問題命題角度三離心率與漸近線的綜合問題典例典例4設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F,虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為B,如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直,那么此雙曲線的離心率為()A.B.C.D.答案答案 D解析解析設(shè)雙曲線的方程為-=1(a0,b0),設(shè)F(c,0),B(0,b),則kBF=-.又雙曲線漸近線的斜率k=,直線BF與一條漸近線垂直,-=-1,b2=ac.又a2+b2=c2,c2-ac-a2=0,e2-e-1=0,e=,又e1,e=,故選D.2331251222xa22ybbcbabcba152512欄目索引規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)(1

10、)求雙曲線離心率或離心率范圍的兩種方法:一種是直接建立e的關(guān)系式求e或e的范圍;另一種是建立a,b,c的齊次關(guān)系式,將b用a,c表示,令兩邊同除以a或a2化為e的關(guān)系式,進(jìn)而求解.(2)方程-=1與-=1,當(dāng)a1+b1=a2+b2時(shí)焦距相等,當(dāng)=時(shí)漸近線相同.(3)雙曲線-=1(a0,b0)的漸近線方程為-=0.21xa21yb22xa22yb11ab22ab22xa22yb22xa22yb欄目索引2-1點(diǎn)F是雙曲線-=1(a0,b0)的左焦點(diǎn),點(diǎn)E是該雙曲線的右頂點(diǎn),過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn),若ABE是銳角三角形,則該雙曲線的離心率e的取值范圍是()22xa22ybA.(

11、1,+)B.(1,2)C.(1,1+)D.(2,1+)答案答案B不妨設(shè)點(diǎn)A在x軸上方,如圖,由題意知A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,若ABE是銳角三角形,則必有AEF45,tanAEF=1,則c2-ac-2a20,e2-e-20,-1e1,1e0,b0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(2,0),且雙曲線的漸近線與圓(x-2)2+y2=3相切,則雙曲線的方程為()A.-=1B.-=1C.-y2=1D.x2-=1答案答案 D由題意知,雙曲線的漸近線方程為y=x,即bxay=0,因?yàn)殡p曲線的漸近線與圓(x-2)2+y2=3相切,所以=,由雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F(2,0)可得a2+b2=4,所以|b|=,所以b2=3,所以a2=1,故

12、雙曲線的方程為x2-=1,故選D.22xa22yb29x213y213x29y23x23yba22|2 |bab3323y欄目索引2-3 若雙曲線-=1的離心率為,則其漸近線方程為()A.y=2xB.y=xC.y=xD.y=x答案答案 B由離心率為,可知=,c2=a2+b2,b=a,因此雙曲線的漸近線方程為y=x=x,故選B.22xa22yb3212223ca32ba2欄目索引考點(diǎn)三直線與雙曲線的位置關(guān)系考點(diǎn)三直線與雙曲線的位置關(guān)系典例典例5已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為(2,0),右頂點(diǎn)為(,0).(1)求該雙曲線C的方程;(2)若直線l:y=kx+與雙曲線C左支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B,

13、求k的取值范圍.解析解析(1)由題意設(shè)雙曲線方程為-=1(a0,b0).由已知得a=,c=2,再由a2+b2=c2,得b2=1.故雙曲線C的方程為-y2=1.(2)設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),將y=kx+代入-y2=1,3222xa22yb323x223x欄目索引得(1-3k2)x2-6kx-9=0.由題意知解得k1.k的取值范圍為k0,b0)的左,右頂點(diǎn),雙曲線的實(shí)軸長為4,焦點(diǎn)到漸近線的距離為.(1)求雙曲線的方程;(2)已知直線y=x-2與雙曲線的右支交于M,N兩點(diǎn),且在雙曲線的右支上存在點(diǎn)D,使+=t,求t的值及點(diǎn)D的坐標(biāo).22xa22yb3333OMONOD欄目索引解析解析(1)由題意知a=2,一條漸近線的方程為y=x,即bx-2y=0,=,結(jié)合a2+b2=c2,解得b2=3,雙曲線