6-1二元函數概念、極限、連續(xù)分享資料

1、1多 元 函 數 微 積 分 空間解析幾何簡介空間解析幾何簡介 二元函數的概念二元函數的概念偏導數和全微分偏導數和全微分 第六章第六章多元復合函數與隱函數的微分法多元復合函數與隱函數的微分法 多元函數的極值多元函數的極值 二重積分二重積分 3平面直角坐標系平面直角坐標系 oxy平面內任取一點平面內任取一點O原點原點 過過O點另作一垂線點另作一垂線y軸（縱軸）軸（縱軸） 過過O點做一直線點做一直線x軸（橫軸）軸（橫軸） 兩坐標軸分平面為兩坐標軸分平面為、 象限象限 實數對（實數對（x，y）對應平面內的點）對應平面內的點P，記作，記作P（x，y），分別），分別 稱數稱數x為點為點P的橫坐標，數的橫

2、坐標，數y為點為點P的縱坐標。的縱坐標。 平面內的點與實數對一一對應平面內的點與實數對一一對應 P(x,y)xy 空間解析幾何簡介空間解析幾何簡介 空間直角坐標系（三維直角坐標系）空間直角坐標系（三維直角坐標系）右右 手手 原原 則則（縱軸）（縱軸）yx （橫軸）（橫軸）z（豎軸）（豎軸）zxyO空間直角坐標系空間直角坐標系zxyOzxyOOxoy平面平面xoz平面平面yoz平面平面yzxO三個坐標平面分空間為八個卦限三個坐標平面分空間為八個卦限 （演示）（演示） 三個坐標平面三個坐標平面 八個卦限八個卦限 點的坐標（演示）點的坐標（演示）000,M x y zzxy0 x0y0z兩點間的距離

3、兩點間的距離1111,Mx y z2222,Mxyz12M M222121212xxyyzz點點 M到原點的距離到原點的距離222000OMxyzxM)4 , 0 , 2(A)3, 2 , 1 (BxM)0 , 0 ,(x222)40()00()2(xMA16)2(2x222) 30()20() 1(xMB22232) 1(xMBMA 例例1 在在軸上求一點軸上求一點，使它到點，使它到點和和的距離相等。的距離相等。軸上，故設點軸上，故設點的坐標為的坐標為由兩點間距離公式得由兩點間距離公式得由題意知由題意知解：解： 因所求點在因所求點在16)2(2x22232) 1(x1x得得)0 , 0 ,

4、1(點點坐坐標標為為M空間曲面空間曲面:, ,0F x y z三元方程三元方程如果曲面如果曲面 S 上任意一點的坐標上任意一點的坐標都滿足方程都滿足方程 F( x ,y ,z)=0，同時，同時不滿足方程不滿足方程 F( x ,y ,z)=0的點都的點都不在曲面不在曲面 S 上，則稱三元方程上，則稱三元方程F (x ,y ,z)=0 為曲面為曲面 S 的方程。的方程。zxyS, ,M x y z平面平面一種特殊曲面一種特殊曲面 平面方程的一般形式：平面方程的一般形式： 0AxByCzD（三元一次方程）（三元一次方程）平面方程的平面方程的標準標準形式：形式：設由設由A、B、C 構成的向量（構成的向

5、量（A,B,C) 為法向量，任何一個平面由定點為法向量，任何一個平面由定點M ),(000zyx和一個法向量和一個法向量（A,B,C）確定，其平面方程為：）確定，其平面方程為：0)()()(000zzCyyBxxA設兩個平面設兩個平面01111DzCyBxA02222DzCyBxA垂直的充要條件：垂直的充要條件：0212121CCBBAA平行的充要條件：平行的充要條件：212121CCBBAA10),(000zyx點點P到平面到平面0AxByCzD的距離是的距離是222000CBADCzByAxd若直線（點向式）若直線（點向式）pzznyymxx000與平面與平面 0AxByCzD平行，則平行

6、，則0pCnBmA若垂直，則若垂直，則pCnBmA平面平面平面平面一種特殊曲面一種特殊曲面 平面方程的一般形式：平面方程的一般形式： 0AxByCzDyzxO幾種特殊平面幾種特殊平面 （三元一次方程）（三元一次方程）平行于平行于 z 軸軸的平面：的平面： 0AxByD過過 z 軸軸的平面：的平面： 0AxBy過原點過原點的平面：的平面： 0AxByCz平行于平行于 y 軸軸的平面：的平面： 0AxCzD過過 y 軸軸的平面：的平面： 0AxCz平行于平行于 x 軸軸的平面：的平面： 0ByCzD過過 x 軸軸的平面：的平面： 0ByCz面面的的平平面面：平平行行于于xoy0 DCz面的平面：面

7、的平面：平行于平行于xoz0 DBy面的平面：面的平面：平行于平行于yoz0 DAxxoy平面：平面：xoz平面：平面：yoz平面：平面：0z 0 x 0y 13二次曲面二次曲面橢球面橢球面（幾何演示）（幾何演示） 拋物面拋物面（幾何演示）（幾何演示） 球面球面（幾何演示）（幾何演示） 1222222czbyax2222azyx22yxz14柱面柱面 平面內一直線平面內一直線L沿著一定曲線沿著一定曲線C移動而形成的曲面叫做移動而形成的曲面叫做柱面柱面，其中，直線其中，直線L叫做叫做母線母線，曲線，曲線C叫做叫做準線準線。 如：如：平行于平行于 Z 軸的直線軸的直線沿著沿著XOY平面內的橢圓平面

8、內的橢圓移動，而形成的曲面叫做移動，而形成的曲面叫做橢圓柱面橢圓柱面。22221xyab22221xyab其它柱面其它柱面（幾何演示幾何演示） 柱面方程的特點柱面方程的特點：如果方程中不含：如果方程中不含變量變量 Z（ X 或或 Y )，則母線平行于，則母線平行于Z ( X 或或 Y )軸，柱面垂直于軸，柱面垂直于 XOY( YOZ 或或 XOZ )面面 。xyoz其方程為其方程為 15 二元函數的概念二元函數的概念一、平面點集、平面點集平面上滿足某個條件的所有點構成的集合稱為平面點集。平面上滿足某個條件的所有點構成的集合稱為平面點集。1 yx),(yxRyxyxyx, 1| ),(例例1 平

9、面上滿足平面上滿足的所有點的所有點構成平面點集，記作構成平面點集，記作1 yxRyxyxyx, 1| ),(例例2 平面上滿足平面上滿足的所有點構成的平面點集的所有點構成的平面點集 ，記作，記作 1 yx1 yx 二元函數的概念二元函數的概念定義：定義：設設D是平面上的非空點集，如果存在一個對應法則是平面上的非空點集，如果存在一個對應法則 f，使，使得對集合得對集合D中的每一個點中的每一個點(x , y)，按法則，按法則 f，都有唯一確定的實數，都有唯一確定的實數值值 z 與之對應，則稱此與之對應，則稱此對應法則對應法則 f 為集合為集合D上的上的二元函數二元函數，記為：，記為： f ：(x,

10、 y) z 或或 z=f (x , y)，(x , y) D稱稱 x , y 為函數為函數 f 的的自變量自變量，z 為函數為函數 f 的的因變量因變量；集合；集合D為函數為函數f 的的定義域定義域，記作，記作 D ( f ) 或或 Df。( , ) ( , )zf x yx yD稱實數集稱實數集 為函數為函數 f 的的值域值域。約定：約定：函數函數 z=f (x , y) 的定義域約定為的定義域約定為使得式子有意義使得式子有意義的所有的所有的實數對（的實數對（x , y）。）。例如：函數例如：函數 的定義域為的定義域為lnzxy,0Dx y xy它表示如右圖所示的無界區(qū)域。它表示如右圖所示的

11、無界區(qū)域。 17二元函數的圖像二元函數的圖像 空間點集空間點集 稱為函數稱為函數 的的圖像圖像。( , , )( , ) , ( , )x y z zf x yx yD( , )zf x y它表示它表示空間曲面空間曲面。 :, ,0F x y zzxy一元函數與二元函數的比較一元函數與二元函數的比較一元函數一元函數 二元函數二元函數 定義域定義域 數軸上的區(qū)間數軸上的區(qū)間 平面中的區(qū)域平面中的區(qū)域 圖像圖像 平面中的曲線平面中的曲線 空間中的曲面空間中的曲面 極限極限 單極限單極限 二重極限二重極限 微分學微分學 導數與微分導數與微分 偏導數與全微分偏導數與全微分 積分學積分學 定積分定積分

12、二重積分二重積分 18，22yxzRyxyxfD,| ),()(), 0|)(zzfZ例例3 二元函數二元函數其定義域為其定義域為值域值域1),(xyeyxfyx),() 1 , 1 ()0 , 0(aafff，求求例例4 已知二元函數已知二元函數 19例例5 作二元函數作二元函數22) 1(1yxz的圖形。的圖形。22) 1(1yxz222) 1(1yxz1) 1(222zyx22) 1(1yxz解：解： 因為因為所以所以整理得整理得 此方程表示以點（此方程表示以點（0，1，0）為圓心，以）為圓心，以1為半徑的球面。為半徑的球面。的圖形是球面的上半部。的圖形是球面的上半部。 因此，函數因此，

13、函數20 二元函數定義域的求法 例例7 求函數求函數yxz1的定義域。的定義域。0 yxxy0 yx解：要使函數有意義，必須滿足解：要使函數有意義，必須滿足即函數的定義域是即函數的定義域是平面上上直線平面上上直線下方的無界區(qū)域。下方的無界區(qū)域。 xy00 yx212229yxxyz090222yxxy9222yxxy例例8 求函數求函數解：要使函數有意義，必須滿足解：要使函數有意義，必須滿足的定義域的定義域 。2xy 922 yx函數的定義域是拋物線函數的定義域是拋物線的內部（含邊界的內部（含邊界）與圓）與圓的內部的公共部分。的內部的公共部分。 xy2xy 922 yx224arccos25a

14、rcsinyxzz141151yx4455yx例例9 求函數求函數的定義域。的定義域。有定義，必須有定義，必須解：解： 要使要使xy554423鄰域鄰域：平面點集：平面點集 稱為點稱為點P0 (x0 , y0) 的的鄰域，記做鄰域，記做 U(P U(P0 0 ，) ),(0PU0P2020)()(| ),(yyxxyx24開集：開集：如果點集如果點集E中的點都是內點，則稱點集中的點都是內點，則稱點集E為開集。為開集。 連通集：連通集：如果點集如果點集E中的任意兩點，中的任意兩點， 都可以用完全屬于都可以用完全屬于E中的折中的折 線段將它們連接起來，則線段將它們連接起來，則 稱稱E為連通集。為連

15、通集。區(qū)域：區(qū)域：連通的開集稱為開區(qū)域，簡稱區(qū)域。連通的開集稱為開區(qū)域，簡稱區(qū)域。閉區(qū)域：閉區(qū)域：區(qū)域連同它的邊界，稱為閉區(qū)域。區(qū)域連同它的邊界，稱為閉區(qū)域。幾個概念：開集、連通集、區(qū)域、閉區(qū)域。幾個概念：開集、連通集、區(qū)域、閉區(qū)域。 例如：點集例如：點集 即為一開集。即為一開集。 22( , )1Ex y xy例如：點集例如：點集 即為區(qū)域。即為區(qū)域。 22( , )1Ex y xy例如：點集例如：點集 即為閉區(qū)域。即為閉區(qū)域。 22( , )1Ex y xy連通連通 不連通不連通 25二元函數的極限二元函數的極限 定義：定義：設二元函數設二元函數 z=f (x , y)在點在點 P0(x0

16、 ,y0)的鄰域內有定義的鄰域內有定義（點（點P0可以除外），如果當點可以除外），如果當點 P (x , y)無論以何種方式無論以何種方式趨向于點趨向于點P0(x0,y0)時，函數值時，函數值 f (x , y)可以無限逼近可以無限逼近常數常數A，則稱，則稱A為函數為函數 f (x ,y) 在在PP0時的時的極限極限，記作，記作00lim( , )xxyyf x yA( , )(,)lim( , )oox yxyf x yA或或 或或 0( ,) ()f x yAPP當時二重極限二重極限 00,P xyxyz26 二元函數的極限計算二元函數的極限計算計算下列極限計算下列極限 sin2limxy

17、yxy0 220221lim2xyx yxxyx2021lim12xyxxyx27 二元函數的極限計算二元函數的極限計算 006limxyxyxy00,P xy換元時換元時 與與 不能相互制約不能相互制約xy2xy事實上，設事實上，設1xkyk011lim11yy kky kk00limxyxyxy則則結果與結果與 有關，故原極限不存在。有關，故原極限不存在。k03lim3yyy28000,),(22yxyxyxxyyxf不同時為不同時為例：設函數例：設函數證明：證明：),(lim)0 , 0(),(yxfyx不存在。不存在。),(lim)0, 0(),(yxfyx),(yx),(yxf證明：

18、證明： 要證明要證明不存在，即要證當不存在，即要證當沿不同的路徑趨向（沿不同的路徑趨向（0，0）時）時 ，趨向于不同的值。趨向于不同的值。),(yxkxy 因為當因為當沿直線沿直線趨向于（趨向于（0，0）時）時),(lim)0, 0(),(yxfyx222)0 , 0(),() 1(limxkkxyx12kk結果與結果與 有關，故原極限不存在。有關，故原極限不存在。k29二元函數極限的計算二元函數極限的計算四則運算法則（類似于一元函數極限運算法則）四則運算法則（類似于一元函數極限運算法則）例例3 3yxxyyx11lim求解：解：, 1lim1xx依據運算法則得：依據運算法則得：yxxyyx1

19、1lim, 1lim1yyyxyxyxyxlimlimlimlim11112130例例4 4：.11lim00 xyxyyx 求求解：解：)11()11)(11(lim00 xyxyxyxyyx原式原式111lim00 xyyx.21 有理化31 利用重要極限：利用重要極限：1),(),(sinlim0),( yxfyxfyxf例例5：求求yxyxyx )sin(lim22) 1 , 1(),(解：解：)()sin(lim2222) 1 , 1(),(yxyxyxyx )(lim)sin(lim) 1 , 1(),(2222) 1 , 1(),(yxyxyxyxyx 221 原式原式分析：分析

20、：01, 122 yxyx時時，32 無窮小量與有界變量的乘積無窮小量與有界變量的乘積例例6 6：yxyxyx1sin)(lim00求解：解：變量乘積仍為無窮小量變量，無窮小量與有界為有界為無窮小量，時，yxyxyx1sin)0 , 0(),(01sin)(lim00yxyxyx33 等價無窮小量代換等價無窮小量代換例例6 6：200)()cos(1limyxyxyx求解：解：2),(21),(cos1),(),(tan),(),(sin0),(yxfyxfyxfyxfyxfyxfyxf ，時時，2200)()(21limyxyxyx 原原式式212)(21)cos(100,0yxyxyxyx

21、 時時，34的某鄰域在點設函數),(),(00yxyxfz 有定義，且),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx連續(xù)。在點則稱函數),(),(00yxyxfz 定義：二元函數的連續(xù)性二元函數的連續(xù)性35連續(xù)性判定連續(xù)性判定：有定義在、),(),(100yxyxf存在、),(lim2),(),(00yxfyxyx),(),(lim300),(),(00yxfyxfyxyx、，該點為間斷點有一條不滿足則不連續(xù))3(lim)2, 1(),(yxyx如：5),2 , 1 (f連續(xù)在所以)2 , 1 (3),(yxyxf不存在2200limyxxyyx不連續(xù)在)0 , 0(0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf36區(qū)域上連續(xù)區(qū)域上連續(xù) ：),(yxfz 在平面區(qū)域在平面區(qū)域D中每