用二分法求方程的近似解教學(xué)設(shè)計

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上用二分法求方程的近似解一、教學(xué)內(nèi)容分析 本節(jié)選自普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書 ·數(shù)學(xué)1人教A版第三單元第一節(jié)第二課，主要是分析函數(shù)與方程的關(guān)系。教材分三步來進(jìn)行：第一步，從學(xué)生認(rèn)為較簡單的一元二次方程與相應(yīng)的二次函數(shù)入手，由具體到一般，建立一元二次方程的根與相應(yīng)函數(shù)的零點的聯(lián)系。然后推廣為一般方程與相應(yīng)函數(shù)的情形；第二步，在用二分法求方程近似解的過程中，通過函數(shù)圖像和性質(zhì)來研究方程的解，體現(xiàn)方程和函數(shù)的關(guān)系；第三步，在函數(shù)模型的應(yīng)用過程中，通過函數(shù)模型以及模型的求解，更全面的體現(xiàn)函數(shù)與方程的關(guān)系，逐步建立起函數(shù)與方程的聯(lián)系。本節(jié)課是這一小節(jié)的第二節(jié)課，即用二分

2、法求方程的近似解。它以上節(jié)課的“連續(xù)函數(shù)的零點存在定理”為確定方程解所在區(qū)間為依據(jù)，從求方程近似解這個側(cè)面來體現(xiàn)“方程與函數(shù)的關(guān)系”；而且在“用二分法求函數(shù)零點的步驟”中滲透了算法的思想，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)算法的內(nèi)容埋下伏筆；充分體現(xiàn)新課程“滲透算學(xué)方法，關(guān)注數(shù)學(xué)文化以及重視信息技術(shù)應(yīng)用”的理念。求方程近似解其中隱含“逼進(jìn)”的數(shù)學(xué)思想，并且運(yùn)用“二分法”來逼近目標(biāo)是一種普通而有效的方法，其關(guān)鍵是逼近的依據(jù)。二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析 同學(xué)們有了第一節(jié)課的基礎(chǔ)，對函數(shù)的零點具備基本的認(rèn)識；而二分法來自生活，是由生活中抽象而來的，只要我們選材得當(dāng)，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，達(dá)到滲透數(shù)學(xué)思想關(guān)注數(shù)學(xué)文化的目的，

3、學(xué)生也能夠很容易理解這種方法。其中運(yùn)用“二分法”進(jìn)行區(qū)間縮小的依據(jù)、總結(jié)出“運(yùn)用二分法求方程的近似解”的步驟、將“二分法”運(yùn)用到生活實際，是需要學(xué)生“跳跳”才能摘到的“桃子”。三、設(shè)計理念 本節(jié)課倡導(dǎo)積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，應(yīng)用從生活實際理論實際應(yīng)用的過程，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合、圖表、信息技術(shù)，采用教師引導(dǎo)學(xué)生探索相結(jié)合的教學(xué)方法，注重提高學(xué)生數(shù)學(xué)的提出問題、分析問題和解決問題的能力，讓學(xué)生經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、抽象與概括、符號表示、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、反思與建構(gòu)等思維過程。四、教學(xué)目標(biāo)1、理解二分法的概念，掌握運(yùn)用二分法求簡單方程近似解的方法；利用信息技術(shù)輔助教學(xué)，讓學(xué)生用計算器自己驗證求方

4、程近似值的過程； 2、體會二分法的思想和方法，使學(xué)生意識到二分法是求方程近似解的一種方法；讓學(xué)生能夠了解近似逼近思想，培養(yǎng)學(xué)生能夠探究問題的能力和創(chuàng)新能力，以及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度；3、體驗并理解函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法；感受正面解決問題困難時，通過迂回的方法得到解決的快樂。五、教學(xué)重點與難點教學(xué)重點是能夠借用計算器，用二分法求相應(yīng)方程的近似解。根所在區(qū)間的確定及逼近的思想；難點是對二分法的理論支撐的理解，區(qū)間長度的縮小。深入探索發(fā)現(xiàn)問題提出課題“如何求函數(shù)零點？”經(jīng)歷游戲過程探索一般規(guī)律“二分法”解決問題“如何應(yīng)用二分法求函數(shù)的零點”應(yīng)用所得方法解決實際問題“求出函數(shù)的零點”通過練習(xí)與作

5、業(yè)進(jìn)行鞏固與提高課堂小結(jié)將所得到的知識進(jìn)行歸納整理加入已有的知識鏈通過游戲感受身邊的數(shù)學(xué)六、教學(xué)過程設(shè)計1教學(xué)基本流程圖2教學(xué)情景設(shè)計教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計學(xué)情預(yù)設(shè)設(shè)計意圖知識鏈接創(chuàng)設(shè)情景1、大家都看過李詠主持的<幸運(yùn)52>吧,今天咱也試一回(出示游戲)。2、競猜中，“高了”、“低了”的含義是什么？如何確定價格的最可能的范圍？3、如何才能更快的猜中商品的預(yù)定價格？4、“二分” 的思路是什么？1、教師從學(xué)生熟悉的電視節(jié)目，引導(dǎo)學(xué)生體會、分析、歸納迅速猜價的方法。2、學(xué)生能夠主動參與游戲，并且參與游戲的同學(xué)可以比較并總結(jié)經(jīng)驗。學(xué)生會有很多種方案出來。3、對于“問題2”學(xué)生能夠順利的得出“主持

6、人的“高了，低了”的回答是判斷價格所在區(qū)間的依據(jù)”這個結(jié)論。4、此時教師通過“問題3”引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較哪種方法更快更好。從中學(xué)生可以得到用二分法解決問題的思路二分指的是將解所在區(qū)間平均地分為兩個區(qū)間。設(shè)計意圖：1、利用視屏與游戲的形式，學(xué)生會踴躍參與；商品價格競猜也是學(xué)生熟悉的，競猜的方法會很多樣，可以進(jìn)行競賽；2、通過問題2，啟發(fā)學(xué)生尋找確定區(qū)間的依據(jù)，為后面探索“用二分法求方程近似解”的時候埋下伏筆；3、通過游戲，讓學(xué)生經(jīng)歷游戲過程，感受數(shù)學(xué)來自生活，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；引導(dǎo)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的歸納演繹的能力；學(xué)會將實際情景轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。4、通過比較不同的方法得出最快的競猜

7、的方法二分法；組織探究1、上節(jié)課我們學(xué)了什么定理，它的作用是什么？還有什么問題沒有解決？2、已知函數(shù)在區(qū)間（2，3）內(nèi)存在一個零點；如何求出方程在區(qū)間（2，3）的近似解（精確度為0.01）？與剛才的游戲是否有類似之處？3、精確度的含義是什么？怎樣的區(qū)間才算滿足設(shè)定的精確度？ 4、區(qū)間（2，3）的精確度為多少？ 5、如何將零點所在的范圍縮?。慈绾螌⒕_度縮小）？縮小的依據(jù)是什么？ 6、如何利用今天“猜價格”“二分法”的逼近思想來將縮小區(qū)間？7、近似解是多少？1、教師通過“問題1”對上節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行復(fù)習(xí)引入，點出今天的課題。并且有前面游戲作為伏筆，學(xué)生能夠得出“連續(xù)函數(shù)零點存在定理”是判斷方程的

8、根所在區(qū)間的依據(jù)。2、通過“問題2”應(yīng)用具體的題目引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考。學(xué)生通過引導(dǎo)將方程的解與商品的價格聯(lián)系到一起，運(yùn)用剛才的游戲的經(jīng)驗，得到縮小區(qū)間的想法。3、學(xué)生對精確度的概念可能有所遺忘。教師可以借助數(shù)軸解釋說明精確度的含義，引導(dǎo)學(xué)生思考什么時候停止操作。4、教師通過“問題46”引導(dǎo)學(xué)生將“二分法”與“零點存在定理”相結(jié)合得到正確的新的零點所在的區(qū)間。并確定結(jié)束的時間。5、學(xué)生按照游戲的方法也就是按照“二分法”的思路，不斷縮小零點存在的區(qū)間，進(jìn)行具體操作，填出（附錄1）中的表格。表格剛開始的前幾行學(xué)生可能會比較慢，也有可能會出錯；通過多次的重復(fù)以及經(jīng)驗的總結(jié)，后面的表格可以正確的、快速的回

9、答出來；使得最后的“應(yīng)用二分法求函數(shù)的零點”的方法的總結(jié)更加順利。6、對于“問題7”學(xué)生比較不容易得到比較簡潔的結(jié)論。教師可以進(jìn)行解釋說明：“由于整個區(qū)間內(nèi)的數(shù)均滿足精確度的條件，因此區(qū)間內(nèi)的所有數(shù)均可以作為近似解，但，區(qū)間端點a，b是已知的值，所以可以取a或b作為近似解?！保詈蟮玫椒匠痰慕平猓ǜ戒?的表格后面的內(nèi)容）。設(shè)計意圖：1、開門見山，延續(xù)上一節(jié)課的內(nèi)容繼續(xù)深入的研究，使得知識有一個連接讓學(xué)生能夠很容易的將知識建構(gòu)到舊的知識體系中。2、運(yùn)用問題1，將學(xué)生的思路與前面已解決的問題聯(lián)系起來，引導(dǎo)學(xué)生層層深入，抽絲撥繭，學(xué)習(xí)如何分析問題、如何利用新的知識解決問題；培養(yǎng)分析問題、解決問題的

10、能力，以及運(yùn)用知識、駕馭知識的能力。3、師生的互動有利于一邊引導(dǎo)一邊總結(jié)。將二分法應(yīng)用于解決實際問題，即將新的知識應(yīng)用于解決新的問題。培養(yǎng)學(xué)生實際應(yīng)用的能力，解決問題的嚴(yán)謹(jǐn)性，總結(jié)知識的邏輯性。使得最后方法的總結(jié)能夠順利進(jìn)行。4、有了前面的商品的競猜過程的經(jīng)歷，學(xué)生比較容易入手，分析比較容易到位，從而降低思維的難度。知識連接：1、函數(shù)零點存在定理 如果函數(shù)在區(qū)間上圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，即存在，使得，這個c也就是方程的根。2、精確度是對同一個量的不同近似數(shù)的精確程度的度量。一般是：一個近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位。歸納總結(jié)1、 我們剛

11、才得求解過程中有哪些過程是一直重復(fù)出現(xiàn)的？2、我們?nèi)∑湟欢?，大家看如何用?shù)學(xué)語言來描述？3、點明求方程的近似解的“二分法”：對于在區(qū)間（a，b）上連續(xù)不斷、且f（a）·f（b）<0的函數(shù)yf（x），通過不斷的把方程的解所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近近似解，進(jìn)而得到近似解的方法叫二分法4、進(jìn)一步提出問題：運(yùn)用二分法求方程的近似解的步驟是什么？5、運(yùn)用二分法的前提是什么（游戲的開始時要先做什么工作）？引例條件的內(nèi)涵是什么？6、二分法的實質(zhì)是什么？它有什么作用?學(xué)生經(jīng)過老師 “問題12” 的提示與引導(dǎo)，可以得到“取區(qū)間的中點，計算函數(shù)值，比較符號，確定新的區(qū)間”這樣的相

12、同的過程。學(xué)生根據(jù)“二分法”的定義進(jìn)行歸納總結(jié)：運(yùn)用二分法求方程的近似解的步驟（附錄2）。其中步驟 “畫圖或利用函數(shù)值的正負(fù)，確定初始區(qū)間(a,b)，驗證f(a)f(b)<0”；學(xué)生很有可能會有遺漏。此時可以提出“問題5”引導(dǎo)學(xué)生回憶、思考，從而得到運(yùn)用二分法的前提即步驟。對于“問題六”較好的學(xué)生才能回答出來。設(shè)計意圖：1、不斷的引導(dǎo)，將剛才的解題過程經(jīng)過“自然語言數(shù)學(xué)語言去其糟粕取其精華具體步驟”的過程，幫助學(xué)生學(xué)會歸納總結(jié)的方法。2、課間的及時總結(jié)有利于學(xué)生對當(dāng)前所學(xué)的內(nèi)容進(jìn)行升華，了解自己掌握了什么知識，在后面的作題中可以有法可依，可以提高解題的正確率，增強(qiáng)自信。3、問題六的設(shè)計是

13、將學(xué)生的思維得到升華，不再停留在技能這一個層次，而是上升為數(shù)學(xué)思想方法的層次。知識鏈接：1、運(yùn)用二分法的前提是要先判斷根在某個所在的區(qū)間。2、二分法實際上是一種通過縮小區(qū)間長度尋找解的一種方法鞏固提高1練習(xí)：（1）（2）題為例題仿照題，由同桌協(xié)助完成.（3）（4）考察二分法的含義,由同學(xué)獨立完成,可以尋求幫助.（附錄4）2思考：兩道題均為實際應(yīng)用題,為學(xué)有余力的同學(xué)提高能力。（附錄4）3 課后作業(yè)：習(xí)題3.1A組3、4；B組1、2。練習(xí)1.（1）（2）經(jīng)過同桌兩位同學(xué)合作可以順利完成。（3）（4）獨立完成如果有困難的同學(xué)在同伴或老師的幫助下可以完成。練習(xí)2實際應(yīng)用：學(xué)有余力的同學(xué)與同伴合作探討

14、，也可以解決。設(shè)計意圖：1、不同層次的題目，層層遞進(jìn)，不斷提高學(xué)生的能力。不僅鞏固新學(xué)的知識，而且讓不同層次的學(xué)生得到不同的收獲；2、培養(yǎng)合作、互助精神；3、培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用與創(chuàng)新的能力，利用二分法的逼近思想解決實際問題。歸納總結(jié)請同學(xué)們回顧一下本節(jié)課的教學(xué)過程，你覺得你已經(jīng)掌握了哪些知識？教師通過點名提問，學(xué)生借助教師的幫助對整節(jié)課進(jìn)行最后的歸納總結(jié),得到以下兩點（1）二分法是一種求一元方程近似解的通法。（2）利用二分法來解一元方程近似解的操作步驟（附錄3）。設(shè)計意圖：學(xué)生的歸納總結(jié)的能力不強(qiáng)需要不斷的培養(yǎng)；課后的總結(jié)有利于學(xué)生對整節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行升華，了解自己掌握了什么知識，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，

15、建立自信心。教學(xué)反思 1.本節(jié)課有兩條線，明線：“從生活實際、從學(xué)生熟知的現(xiàn)實生活、從學(xué)生喜愛的游戲“競猜商品的價格”入手，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入深層的思考如何才能更快更好的贏得游戲？與學(xué)生一道進(jìn)行新知識的探索過程二分法的得來；再將二分法充分的運(yùn)用在函數(shù)零點的求解上；最后將二分法求解函數(shù)零點的過程程序化”；暗線：“生活實際（特殊）二分法的理論（一般）二分法的應(yīng)用（特殊），”。讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成與應(yīng)用過程，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的能力，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性、時代性、典型性和可接受性，體會數(shù)學(xué)來自生活，應(yīng)用于生活的最高境界，感受數(shù)學(xué)之美。2. 引入課題的方式，（1）從生活中常見現(xiàn)象“商品價格的競猜”

16、引入；（2）開門見山“繼續(xù)前面的研究”引入。（附錄1）解：設(shè)，先取區(qū)間的中點，再計算中點的函數(shù)值，接著應(yīng)用“零點存在定理”確定零點所在的區(qū)間，從而縮小精確度，得到下表：區(qū)間中點中點函數(shù)值精確度232.5-0.12.532.750.0.52.52.752.6250.0.252.52.6252.56250.0.1252.52.56252.53125-0.0.06252.531252.56252.0.0.031252.531252.2.0.0.2.531252.2.0.0.2.531252.2.-0.0.2.2.2.-0.0.2.2.2.-0.0.2.2.2.-1.68157E-050.所以，當(dāng)精確

17、度為0.01時，由于|2.539 062 5-2.531 25|=0.<0.01，因此我們可以將x=2.25作為函數(shù)零點的近似值，也即方程根的近似值。（附錄2）二分法求解方程 f(x)=0或g(x)= h(x)近似解的基本步驟： 畫圖或利用函數(shù)值的正負(fù)，確定初始區(qū)間(a,b)，驗證f(a)f(b)<0； 求區(qū)間(a,b)的中點； 計算f(x1)：若f(x1)=0，則x1就是函數(shù)f(x)的零點，x1就是f(x)=0的根，計算終止；若f(a) f(x1)0，則選擇區(qū)間（a, x1）；若f(a) f(x1)0，則選擇區(qū)間（x1，b）； 循環(huán)操作、，直到當(dāng)區(qū)間的精確度達(dá)到事先指定的精確度（若是要求精確到兩端點精確到同一個近似值時才終止計算）。（附錄3）二分法的過程如下圖： D<?輸入，x1，x2y=0?y1y<0?x1=xx2=x打印x結(jié)束是是是否否否（附錄4）1練習(xí)：（1）應(yīng)用計算器，求方程x3+