初三中考復(fù)習(xí)二次函數(shù)最值問題

1、二次函數(shù)之最值問題根本解題步驟:1審題讀懂問題，分析問題各個(gè)量之間的關(guān)系；2 列數(shù)學(xué)表達(dá)式用數(shù)學(xué)方法表示它們之間的關(guān)系，即寫出變量與常量之間的二次函數(shù)關(guān)系式；23.求值.利用二次函數(shù)關(guān)系式的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式,4aC_或配方法求得最值；2a 4a配方法：將二次函數(shù) y ax2 bx c轉(zhuǎn)化為y a(x h)2 k的形式，頂點(diǎn)坐標(biāo)為h,k，對(duì)稱軸為x h .當(dāng)a 0時(shí)，y有最小值，即當(dāng)x h時(shí)，y最小值=k ；當(dāng)a 0時(shí)，y有最大值，即當(dāng)x h時(shí)，y最大值=k 4 檢驗(yàn)檢驗(yàn)結(jié)果的合理性.函數(shù)求最值需考慮實(shí)際問題的自變量的取值范圍解題策略實(shí)際問題 轉(zhuǎn)化 數(shù)學(xué)問題 解學(xué) 解 檢驗(yàn)問題答案關(guān)鍵在如何將實(shí)際問

2、題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題利潤(rùn)最值問題：此類問題一般先是運(yùn)用“總利潤(rùn)=總售價(jià)-總本錢或"總利潤(rùn)=每件商品的利潤(rùn) 銷售數(shù)量建立利潤(rùn)與價(jià)格之間的函數(shù)關(guān)系式，再 求出這個(gè)函數(shù)關(guān)系式的頂點(diǎn)坐標(biāo)，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為最大利潤(rùn).特殊地，這里要考慮實(shí)際問題中自變量的取值范圍，數(shù)形結(jié)合求最值.例1例2線段和或差或三角形周長(zhǎng)最值問題：此類問題一般是利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和 兩點(diǎn)之間線段最短確定最短距離，這個(gè)距離一般用勾股定理或兩點(diǎn)之間距離公 式求解.特殊地，也可以利用平移和軸對(duì)稱的知識(shí)求解固定線段長(zhǎng)問題.最短距離和找法：以動(dòng)點(diǎn)所在的直線為對(duì)稱軸，作一個(gè)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié) 另一個(gè)點(diǎn)和對(duì)稱點(diǎn)的線段，與對(duì)稱軸交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)即為

3、所求點(diǎn).線段 長(zhǎng)即為最短距離和.口訣：“大同“小異求最值.“大同：求差的最大值，把點(diǎn)移動(dòng)到直線的同側(cè).“小異：求和的最小值，把點(diǎn)移動(dòng)到直線的兩側(cè).幾何最值較多例3例4例5線段長(zhǎng)最值問題：根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式|xi X2I把線段長(zhǎng)用二次函數(shù)關(guān)系式表示 出來求最值.幾何面積最值問題：此類問題一般是先運(yùn)用三角形相似，對(duì)應(yīng)線段成比例等性質(zhì)或者用“割補(bǔ)法或者利用平行線得到三角形冋底等高進(jìn)行面積轉(zhuǎn)化寫出圖形的面積y與邊長(zhǎng)x之間的二次函數(shù)關(guān)系，其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為面積最值.例6例7例8動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的最值問題：數(shù)形結(jié)合求解，把路程和轉(zhuǎn)化成時(shí)間和，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí) 有最值.例9例10利潤(rùn)最值問題例1、一玩具廠去年生產(chǎn)某種玩

4、具，本錢為10元/件，出廠價(jià)為12元/件，年銷售量為2萬件今年方案通過適當(dāng)增加本錢來提高產(chǎn)品的檔次，以拓展市場(chǎng)假設(shè)今年這種玩具每件的本錢比去年本錢增加0.7x倍，今年這種玩具每件的出廠價(jià)比去年出廠價(jià)相應(yīng)提高0.5x倍，那么預(yù)計(jì)今后年銷售量將比去年年銷售量增加x倍此題中0 x 1.1用含x的代數(shù)式表示：今年生產(chǎn)的這種玩具每件的本錢為 元，今年生產(chǎn)的這種玩具每件的出廠價(jià)為元.2求今年這種玩具每件的利潤(rùn)y元與x之間的函數(shù)關(guān)系式；3設(shè)今年這種玩具的年銷售利潤(rùn)為w萬元，求當(dāng)x為何值時(shí)，今年的年銷售利潤(rùn)最大？最大年銷售利潤(rùn)是多少萬元？注：年銷售利潤(rùn)=每件玩具的出廠價(jià)一每件玩具的本錢X年銷售量.解：110+

5、7x ; 12+6X ;2y=12+6x-10+7x, y=2 -x 0v x< 11；3/ w=2 1+x?y=2 1+x 2-x=-2x 2+2x+4 , w=-2 x-0.5 2/ -2 v 0 , 0 v x< 11, w有最大值，當(dāng)x=0.5 時(shí)，w最大=4.5 萬元.答：當(dāng)x為0.5時(shí)，今年的年銷售利潤(rùn)最大，最大年銷售利潤(rùn)是4.5萬元.例2、新星電子科技公司積極應(yīng)對(duì)2022年世界金融危機(jī)，及時(shí)調(diào)整投資方向，瞄準(zhǔn)光伏產(chǎn)業(yè)，建成了太陽(yáng)能光伏電池生產(chǎn)線.由于新產(chǎn)品開發(fā)初期本錢高，且市場(chǎng)占有率不高等因素的影響，產(chǎn)品投產(chǎn)上市一年來，公司經(jīng)歷了由初期的虧損到后來逐步盈利的過程公司對(duì)

6、經(jīng)營(yíng)的盈虧情況每月最后一天結(jié)算1次.公司累積獲得的利潤(rùn)y萬元與銷售時(shí)間第 x月之間的函數(shù)關(guān)系式即前 x個(gè)月的利潤(rùn)總和y與x之間的關(guān) 系對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在如以下圖所示的圖象上該圖象從左至右，依次是線段0A曲線AB和曲線BC,其中曲線AB為拋物線的一局部，點(diǎn) A為該拋物線的頂點(diǎn)，曲線 BC為另一拋物線y 5x2 205x 1230的一局部， 且點(diǎn)A, B, C的橫坐標(biāo)分別為 4, 10, 12.1求該公司累積獲得的利潤(rùn) y萬元與時(shí)間第 x月之間的函數(shù)關(guān)系式；2直接寫出第x個(gè)月所獲得S萬元與時(shí)間x月之間的函數(shù)關(guān)系式不需要寫出計(jì)算過程；3前12個(gè)月中，第幾個(gè)月該公司所獲得的利潤(rùn)最多？最多利潤(rùn)是多少萬元？解：

7、1設(shè)直線0A的解析式為y=kx ,點(diǎn) 0 0 , 0，A 4, -40在該直線上， -40=4k ,解得k=-10 , y=-10x ;點(diǎn) B 在拋物線 y=-5x 2+205x-1230 上,設(shè) B 10, m，那么 m=320 .點(diǎn)B的坐標(biāo)為10 , 320.點(diǎn)A為拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)曲線AB所在的拋物線的解析式為y=a x-42 -40 , 320=a 10-42-40 ,解得a=10 ,即 y=10 x-42-40=10x 2-80x+120.二 y=i=皿(皐二 1、2. 3. 4)102c2-80bt+120(JE = 5. 6、1、S. 9)；-5.x24-205x-12JO(x=1

8、Q> 11、12)(2) 利可用第x個(gè)月的利潤(rùn)應(yīng)該是前x個(gè)月的利潤(rùn)之和減去前x-1個(gè)月的利潤(rùn)之和：A-1 Ox-l0Ct-;l)Rr= 1 > 2s 3、4)10.x 2 -S0x-L20-I0(x-l)2 -SO(x-l)-i-12O(x = 5. <5、 7； 8、9)-5jc 2 +05j123D-(-5(x-1>2 -205(jc1)-1230)(x=10. 11% 12) -1O(X=1 C，4?20x-90( = 5, 6, 7P S, 9) ?-lQx+210(=10IB 12>(3)由2知當(dāng)x=1 , 2, 3 , 4時(shí)，s的值均為-10 ,當(dāng) x

9、=5 , 6, 7, 8, 9 時(shí)，s=20x-90 ,即當(dāng)x=9時(shí)s有最大值90,而在 x=10 , 11 , 12 時(shí)，s=-10x+210,當(dāng)x=10時(shí)，s有最大值110 ,因此第10月公司所獲利潤(rùn)最大，它是110萬元.試一試：1、某水果批發(fā)商銷售每箱進(jìn)價(jià)為40元的的蘋果，物價(jià)部門規(guī)定每箱售價(jià)不得高于55元，市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),假設(shè)每箱以50元的價(jià)格銷售，平均每天銷售 90箱，價(jià)格每提高1元，平均每天少銷售 3箱.1求平均每天銷售量 y箱與銷售價(jià)x元/箱之間的函數(shù)關(guān)系式.2求該批發(fā)商平均每天銷售利潤(rùn)w元與銷售價(jià)x元/箱之間的函數(shù)關(guān)系式.3當(dāng)每箱蘋果的售價(jià)為多少元時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是

10、多少？解：1設(shè) y=kx+b ,把45 , 105， 50 , 90代入得，45fc+i = 105h50Vir = 90 解得；J r 故平均每天銷售量y箱與銷售價(jià)x元/箱之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=-3x+240;2水果批發(fā)商銷售每箱進(jìn)價(jià)為40元的蘋果，銷售價(jià)x元/箱，該批發(fā)商平均每天的銷售利潤(rùn)w元與銷售價(jià)x元/箱之間的函數(shù)關(guān)系式為：W= x-40-3X+240=-3x 2+360x-9600.3W=-3x2+360x-9600=-3 x-602 + 1200 ,/ a=-3 v 0 , 拋物線開口向下.又/對(duì)稱軸為x=60 , 當(dāng)x v 60 , W隨x的增大而增大，由于50< x&l

11、t; 55, 當(dāng)x=55時(shí)，W的最大值為1125元.當(dāng)每箱蘋果的銷售價(jià)為55元時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)，為1125元.2、我市 某鎮(zhèn)的一種特產(chǎn)由于運(yùn)輸原因，長(zhǎng)期只能在當(dāng)?shù)劁N售.當(dāng)?shù)卣畬?duì)該特產(chǎn)的銷售投資收益為：每. 1 2投入x萬元，可獲得利潤(rùn) P 一 x 6041 萬元.當(dāng)?shù)卣當(dāng)M在“十二五規(guī)劃中加快開發(fā)該特100產(chǎn)的銷售，其規(guī)劃方案為：在規(guī)劃前后對(duì)該工程每年最多可投入100萬元的銷售投資，在實(shí)施規(guī)劃5年的前兩年中，每年都從100萬元中撥出50萬元用于修建一條公路， 兩年修成，通車前該特產(chǎn)只能在當(dāng)?shù)劁N售；公路通車后的3年中，該特產(chǎn)既在本地銷售，也在外地銷售.在外地銷售的投資收益為：每投入x萬元,

12、可獲利潤(rùn)Q竺100100160萬元.1假設(shè)不進(jìn)行開發(fā)，求5年所獲利潤(rùn)的最大值是多少?2假設(shè)按規(guī)劃實(shí)施，求5年所獲利潤(rùn)扣除修路后的最大值是多少?3根據(jù)1， 2，該方案是否具有實(shí)施價(jià)值?1 n_ k-60 1 萬兀解 : 1每投入x萬元，可獲得利潤(rùn) 100當(dāng)x=60時(shí)，所獲利潤(rùn)最大，最大值為41萬元，假設(shè)不進(jìn)行開發(fā)，5年所獲利潤(rùn)的最大值是：41 X 5=205 C萬元；2前兩年：0W x< 50,此時(shí)因?yàn)镻隨x的增大而增大，所以x=50時(shí)，P值最大，即這兩年的獲利最大為2X 1C5(| CC ) 2+41=8(J (萬元)WO后三年：設(shè)每年獲利y ,設(shè)當(dāng)?shù)赝顿Y額為a ,那么外地投資額為100

13、-a ,99 - 7Q499 r 9413 0- ( 1 0 0-a)忙+ 1 DO- ( 1 Ci-a ) 4-1 60 = -+ -a+160'100 510051 ,99294-,/.y=p+Q= - ( a-0 )匚+414-包+1弓口二-子+弓口才1弓£=- ( a-30 ) + 1 065 f1001005當(dāng)a=30時(shí)，y最大且為1065 ,這三年的獲利最大為1065X 3=3195萬元， 5年所獲利潤(rùn)扣除修路后的最大值是：80+3195- 50X 2=3175萬元.線段和或三角形周長(zhǎng)最值問題復(fù)習(xí)：如圖，正方形ABCD勺邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P在DC邊上且DP=1,點(diǎn)Q是A

14、C上一動(dòng)點(diǎn)，那么DQ+P啲最小值為 例1、二次函數(shù) y x2 bx c的圖象過點(diǎn)A 3,0和點(diǎn)B 1,0，且與y軸交于點(diǎn)C, D點(diǎn)在拋物線上且 橫坐標(biāo)是 2.1求拋物線的解析式；2拋物線的對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)P,求出PA PD的最小值.解：(1 )將山(-3 > 0 )0 )代入尸二舁“+b賓°得f9_3i_c=),l-5+c = 0f I.-解得 -*尸雄+玄- 3 f(S) y=x2+2x-3= <x+l ) 2-4二對(duì)稱軸又/ A j B關(guān)于對(duì)稱袒對(duì)稱，幾連接ED與對(duì)稱牯的交點(diǎn)和藥所求F點(diǎn).過D彳乍DF丄工軸于Fx-2Ay=x2+2x-3 i那么y=4-4-3=-3 D

15、 ( - 2 j 3 )Rt ABDF+ +VPA=FBj/DF=3. BF=1- (-2 ) =3例2、如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，直線yx 2分別交x軸、y軸于C、A兩點(diǎn).將射線 AM繞著3點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到射線 AN.點(diǎn)D為AM上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B為AN上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) C在/ MAN勺內(nèi)部.1求線段AC的長(zhǎng);2當(dāng)AM/ x軸，且四邊形 ABCD為梯形時(shí)，求 BCD的面積;3求厶BCD周長(zhǎng)的最小值；4當(dāng)厶BCD的周長(zhǎng)取得最小值，且 BD 或 時(shí)， BCD的面積為3-1O12 3 45 a-2-鰭：1-盲線產(chǎn)-豐工7與童軸、產(chǎn)釉分別交于C 、 A兩點(diǎn)，自:的坐標(biāo)為2苗，0，點(diǎn)A的坐標(biāo)芮0

16、- 2上 AC=4 2當(dāng) AD# BCHit *依題宜，可知ZDAE二4丁，A ZAB0=45s .AQE=0A=2*T 0C = 2 二仏日 c D冷BO 0A= 2 JI-2 當(dāng)ABDC時(shí)RJWSABCD=S2XACD +設(shè)肘線AN交k軸于點(diǎn)E，T ADxtts花四邊母AECD對(duì)平行四邊形二 SAAEC=SAACD' s6GL>=sZiAEC=5Et0A=2J_2-3作點(diǎn)C關(guān)于射錢機(jī)的對(duì)稱點(diǎn)c歎關(guān)于射線翊的對(duì)稱點(diǎn)5 由紬對(duì)稱的性質(zhì)，可知QWGIH CB=C2B-<CE+BDKDC2B+BD+C1D-C1C2SSAC1、皿、可得 ZCiAD=ZCAD-上匚牡$二 ZCAE

17、，C1=C2=AC=4 .-0：2=304 連接GS +/*之間銭段最疤，代當(dāng)E、D兩點(diǎn)與斜、匚2在同一棗直純上時(shí)，山肚D的爲(wèi)云最小1最小值藥綾殿匚代龍的長(zhǎng)-" AECDKffi長(zhǎng)的最小值加1匹川 根據(jù)時(shí)的作圉可知四邊H沁H的対角互補(bǔ)，其*ZDAB = 45° -因曲，ZC2C C135°V ZB CC2+TC匚 t+ZBCD二 135。 ， EC2C+ZDC1C-bZBCC24-ZDCC1 + ZBCD= 1 80 * ，ZBC2C=ZBCC2ZDCC1=ZDC1C f/ ZBCD = 90° .二 2CB<D二 S 弓C'ACD = &

18、#165;例3、，如圖，二次函數(shù)y ax2 2ax 3a a 0圖像的頂點(diǎn)為 H,與x軸交于A、B兩點(diǎn)B在A點(diǎn)右 側(cè)，點(diǎn)H B關(guān)于直線I : y x品對(duì)稱.31求A B兩點(diǎn)坐標(biāo)，并證明點(diǎn) A在直線I上;2求二次函數(shù)解析式；3過點(diǎn)B作直線BK/ AH交直線I于K點(diǎn)，M N分別為直線AH和直線I上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接HN NMyMK求HN NM MK和的最小值.解:；1依題意，3a= 0 0 j解得常 = 7*慕曠1 點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)，亠點(diǎn)坐標(biāo)為 J3I，B點(diǎn)坐標(biāo)為1叮， 晉；，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別是"3, 口八1 ' 0> - 證明；盲線"$=¥工一収，當(dāng)時(shí)-了時(shí)，

19、！- JSA在亙蜷1上.g 丁點(diǎn)廿關(guān)于過盅點(diǎn)的直絨"y=x-JJ3対稱,二 AH-AB=4，過頂點(diǎn)II作HC丄ABAB于匚點(diǎn)，那么且C二|jE = 2, HC=23,頂點(diǎn)鳳-1, 2t優(yōu)入二次函數(shù)解析式，解潯。二£，二二次函數(shù)解祈式為f=£界爐+羋>答：二次超數(shù)解析式為y=-£芒片羋3nAH的解析式加二 fiBK的餡析式勸匸暮r-JI，3 =_|=3解得2L1嚴(yán)苗 即疋3, 2j3?那么BK=q- 點(diǎn)H、B矣于直EJUK對(duì)稱-K 3* 2$八 /-EIN4MN最小值是血， jQK作KD丄X軸于D，作點(diǎn)K關(guān)于直線AH的對(duì)稱點(diǎn)Q，連援Q3交lAH于E，

20、 那么QMn 0E-EK=2* 竝丄QK，人根擁兩點(diǎn)之間絨段最短SffiEK+MK的顯小值是BQ =即EQ的慎是HN十UM+MK的最小值V0K；/ AH> /- ZBKQ=ZHEQ=9D<> )Bi：rOK1 =護(hù)-QJI-2 鼻宅 1-HN+NM+MK的最小值拘陽(yáng)試一試：1、拋物線 y ax2 bx 1經(jīng)過點(diǎn)A 1,3和點(diǎn)B 2,1 .1求此拋物線解析式；2點(diǎn)C D分別是x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，求四邊形 ABCD周長(zhǎng)的最小值；3過點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為 E點(diǎn)點(diǎn)P從拋物線的頂點(diǎn)出發(fā)，先沿拋物線的對(duì)稱軸到達(dá)F點(diǎn)，再沿FE到達(dá)E點(diǎn)，假設(shè)P點(diǎn)在對(duì)稱軸上的運(yùn)動(dòng)速度是它在直線FE上運(yùn)動(dòng)速

21、度的 2倍，試確定點(diǎn)F的位置，使得點(diǎn)P按照上述要求到達(dá) E點(diǎn)所用的時(shí)間最短.要求：簡(jiǎn)述確定 F點(diǎn)位置的方法，但不要求證明y A3 -0 二次函數(shù)中字母替換k4例1、如圖， A a, mB 2a, n是反比例函數(shù) y (k 0)與一次函數(shù)y x b圖像上的兩x3個(gè)不同的交點(diǎn)，分別過 A、B兩點(diǎn)作x軸的垂線，垂足分別為 C、D。連結(jié)OA 0B假設(shè)1 a 2，那么 求S oab的取值范圍。0的交點(diǎn)例2、點(diǎn)A(1,c)和點(diǎn)B(3,d)是直線y Kx b和雙曲線y 呂k2x1過點(diǎn)A做AMx軸，垂足為 M，連接BM ,假設(shè)AM BM，求點(diǎn)B的坐標(biāo)2假設(shè)點(diǎn)P在線段AB上，過點(diǎn)P做PE x軸，垂直為E,并交雙

22、曲線y 電k20于點(diǎn)N ,當(dāng)空xNE如圈，JBB (3 - d)代入y=ZlBk2=3d.Xi jr仮比例西數(shù)的解析式Sy=x扌巴A ( 1 * 3d> x B ( 3 - d)代入jr二ki梵十b偉，疋-臺(tái)二3占，解潯3血1 -b-d*宜線蠱B的昭析：S>y=-±t+4 d j 設(shè)P (t » -dt+1d) » WIN <t ?9< 'AT 翌 當(dāng)靠取最大值時(shí)t=2*3寸lit 8PN=dt -1-4 d- ' r 2孑扌/- 2d+4 d = 一 *2 2-4- d= 1 j二反比例函數(shù)的解析式対尸二JT解：1由題意，

23、可設(shè)所求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y Zx -2 m 1分32四邊形ABCD!菱形:.BC=Ct=DA=AB=5CD兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是5,4、2, 0.5分6分5時(shí),2時(shí),2323522210 5310 23D在所求拋物線上.3設(shè)直線CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為點(diǎn)C和點(diǎn)5k2k解得:7分yN4護(hù)834x3 MIN/ y軸，M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為tN點(diǎn)的橫坐標(biāo)也為- y那么yM ft2N41L10一 32XL2 - 38 - 3XL4 - 3yM2O237 - 21m3分6所求函數(shù)關(guān)系式為：2( y (x1 2 2x10x 44分326 332在 RtA ABC中, 0A3,CB=4,5 AB ,OA2 OB2.27 .30 ,當(dāng) t時(shí)，1最大322此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為7 1? 丿12 分2 22、：拋物線 y ax2 bx c a 0的對(duì)稱軸為x 1，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,其中A 3,0 ,C 0, 2 .1求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式；2在對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P,使得 PBC的周長(zhǎng)最小.請(qǐng)求出點(diǎn) P的坐標(biāo)；3假設(shè)點(diǎn)D是線段0C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)不與點(diǎn) O點(diǎn)C重合，過點(diǎn)D作DE/ PC交x軸于點(diǎn)E,連結(jié)PD P