第1講分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理

1、第十章 計(jì)數(shù)原理第1講分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理一、選擇題1如圖，用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C，D中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂法有()ABCDA72種 B48種C24種 D12種解析 先分兩類：一是四種顏色都用，這時(shí)A有4種涂法，B有3種涂法，C有2種涂法，D有1種涂法，共有4×3×2×124種涂法；二是用三種顏色，這時(shí)A，B，C的涂法有4×3×224種，D只要不與C同色即可，故D有2種涂法故不同的涂法共有2424×272種答案 A 2如圖，用6種不同的顏色把圖中A、B、C、D四塊區(qū)域分開，若相鄰區(qū)域不能

2、涂同一種顏色，則不同的涂法共有()A400種 B460種C480種 D496種解析從A開始，有6種方法，B有5種，C有4種，D、A同色1種，D、A不同色3種，不同涂法有6×5×4×(13)480(種)，故選C.答案C3某省高中學(xué)校自實(shí)施素質(zhì)教育以來，學(xué)生社團(tuán)得到迅猛發(fā)展，某校高一新生中的五名同學(xué)打算參加“春暉文學(xué)社”、“舞者輪滑俱樂部”、“籃球之家”、“圍棋苑”四個(gè)社團(tuán)若每個(gè)社團(tuán)至少有一名同學(xué)參加，每名同學(xué)至少參加一個(gè)社團(tuán)且只能參加一個(gè)社團(tuán)且同學(xué)甲不參加“圍棋苑”，則不同的參加方法的種數(shù)為()A72 B108 C180 D216解析設(shè)五名同學(xué)分別為甲、乙、丙、丁、

3、戊，由題意，如果甲不參加“圍棋苑”，有下列兩種情況：(1)從乙、丙、丁、戊中選一人(如乙)參加“圍棋苑”，有C種方法，然后從甲與丙、丁、戊共4人中選2人(如丙、丁)并成一組與甲、戊分配到其他三個(gè)社團(tuán)中，有CA種方法， 故共有CCA種參加方法；(2)從乙、丙、丁、戊中選2人(如乙、丙)參加“圍棋苑”，有C種方法，甲與丁、戊分配到其他三個(gè)社團(tuán)中有A種方法，這時(shí)共有CA種參加方法；綜合(1)(2)，共有CCACA180種參加方法答案C4有4位教師在同一年級(jí)的4個(gè)班中各教一個(gè)班的數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)檢測(cè)時(shí)要求每位教師不能在本班監(jiān)考，則監(jiān)考的方法有()A8種 B9種C10種 D11種解析 分四步完成，共有3&#

4、215;3×1×19種答案 B5從6人中選4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個(gè)城市游覽，要求每個(gè)城市有一人游覽，每人只游覽一個(gè)城市，且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有()A300種 B240種 C144種 D96種解析甲、乙兩人不去巴黎游覽情況較多，采用排除法，符合條件的選擇方案有CACA240.答案B64位同學(xué)從甲、乙、丙3門課程中選修1門，則恰有2人選修課程甲的不同選法有()A12種 B24種 C30種 D36種解析分三步，第一步先從4位同學(xué)中選2人選修課程甲共有C種不同選法，第二步給第3位同學(xué)選課程，有2種選法第三步給第4位同學(xué)選課程，也有2種不

5、同選法故共有C×2×224(種)答案B二、填空題7將數(shù)字1,2,3,4,5,6按第一行1個(gè)數(shù)，第二行2個(gè)數(shù)，第三行3個(gè)數(shù)的形式隨機(jī)排列，設(shè)Ni(i1,2,3)表示第i行中最大的數(shù)，則滿足N1N2N3的所有排列的個(gè)數(shù)是_(用數(shù)字作答)解析由已知數(shù)字6一定在第三行，第三行的排法種數(shù)為AA60；剩余的三個(gè)數(shù)字中最大的一定排在第二行，第二行的排法種數(shù)為AA4，由分步計(jì)數(shù)原理滿足條件的排列個(gè)數(shù)是240.答案2408數(shù)字1,2,3，9這九個(gè)數(shù)字填寫在如圖的9個(gè)空格中，要求每一行從左到右依次增大，每列從上到下也依次增大，當(dāng)數(shù)字4固定在中心位置時(shí)，則所有填寫空格的方法共有_種解析必有1、4

6、、9在主對(duì)角線上，2、3只有兩種不同的填法，對(duì)于它們的每一種填法，5只有兩種填法對(duì)于5的每一種填法，6、7、8只有3種不同的填法，由分步計(jì)數(shù)原理知共有22×312種填法答案129如果把個(gè)位數(shù)是1，且恰有3個(gè)數(shù)字相同的四位數(shù)叫做“好數(shù)”，那么在由1,2,3,4四個(gè)數(shù)字組成的有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，“好數(shù)”共有_個(gè)解析當(dāng)相同的數(shù)字不是1時(shí)，有C個(gè)；當(dāng)相同的數(shù)字是1時(shí)，共有CC個(gè)，由分類加法計(jì)數(shù)原理得共有“好數(shù)”CCC12個(gè)答案1210給n個(gè)自上而下相連的正方形著黑色或白色當(dāng)n4時(shí)，在所有不同的著色方案中，黑色正方形互不相鄰的著色方案如下圖所示：由此推斷，當(dāng)n6時(shí)，黑色正方形互不相鄰的著色方

7、案共有_種，至少有兩個(gè)黑色正方形相鄰的著色方案共有_種(結(jié)果用數(shù)值表示)答案 21；43三、解答題11如圖所示三組平行線分別有m、n、k條，在此圖形中(1)共有多少個(gè)三角形？(2)共有多少個(gè)平行四邊形？解(1)每個(gè)三角形與從三組平行線中各取一條的取法是一一對(duì)應(yīng)的，由分步計(jì)數(shù)原理知共可構(gòu)成m·n·k個(gè)三角形(2)每個(gè)平行四邊形與從兩組平行線中各取兩條的取法是一一對(duì)應(yīng)的，由分類和分步計(jì)數(shù)原理知共可構(gòu)成CCCCCC個(gè)平行四邊形12設(shè)集合M3，2，1,0,1,2，P(a，b)是坐標(biāo)平面上的點(diǎn)，a，bM.(1)P可以表示多少個(gè)平面上的不同的點(diǎn)？(2)P可以表示多少個(gè)第二象限內(nèi)的點(diǎn)？(

8、3)P可以表示多少個(gè)不在直線yx上的點(diǎn)？解(1)分兩步，第一步確定橫坐標(biāo)有6種，第二步確定縱坐標(biāo)有6種，經(jīng)檢驗(yàn)36個(gè)點(diǎn)均不相同，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得N6×636(個(gè))(2)分兩步，第一步確定橫坐標(biāo)有3種，第二步確定縱坐標(biāo)有2種，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得N3×26個(gè)(3)分兩步，第一步確定橫坐標(biāo)有6種，第二步確定縱坐標(biāo)有5種，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得N6×530個(gè)13現(xiàn)安排一份5天的工作值班表，每天有一個(gè)人值班，共有5個(gè)人，每個(gè)人都可以值多天班或不值班，但相鄰兩天不準(zhǔn)由同一個(gè)人值班，問此值班表共有多少種不同的排法？解可將星期一、二、三、四、五分給5個(gè)人，相鄰的數(shù)字不分給

9、同一個(gè)人星期一：可分給5人中的任何一人，有5種分法； 星期二：可分給剩余4人中的任何一人，有4種分法；星期三：可分給除去分到星期二的剩余4人中的任何一人，有4種分法；同理星期四和星期五都有4種不同的分法，由分步計(jì)數(shù)原理共有5×4×4×4×41 280種不同的排法14已知集合Aa1，a2，a3，a4，B0,1,2,3，f是從A到B的映射(1)若B中每一元素都有原象，這樣不同的f有多少個(gè)？(2)若B中的元素0必?zé)o原象，這樣的f有多少個(gè)？(3)若f滿足f(a1)f(a2)f(a3)f(a4)4，這樣的f又有多少個(gè)？解(1)顯然對(duì)應(yīng)是一一對(duì)應(yīng)的，即為a1找象有4種方法，a2找象有3種方法，a3找象有2種方法，a4找象有1種方法，所以不同的f共有4×3×2×124(個(gè))(2)0必?zé)o原象，1,2,3有無原象不限，所以為A中每一元素找象時(shí)都有3種方法所以不同的f共有3481(個(gè))(3)分為如下四類：第一類，A中每一元素都與1對(duì)應(yīng)，有1種方法；第二