四種常見的巧借輔助線解決梯形問題

1、.四種常見的巧借輔助線解決梯形問題梯形沒有平行四邊形、矩形等特殊四邊形那么多性質(zhì)，所以有關(guān)梯形的證明、計算題，常有一定的難度，假如能巧借輔助線，那么能有效地化難為易。一、移腰1、挪動一腰例1 梯形兩底長分別為14cm和24cm，下底與腰的夾角分別是60°和30°，求較短腰長。解析：如圖1，在梯形ABCD中，AD/BC，AD=14cm，BC=24cm，∠B=60°，∠C=30°。過點A作AE/DC交BC于E，得到平行四邊形AECD和ABE，故AE=DC相當(dāng)于將腰DC移到AE的位置，AD=EC相當(dāng)于將上

2、底AD移到下底上，BE為兩底之差，∠C=∠AEB=30°相當(dāng)于將∠C移到∠AEB的位置。圖1這樣，梯形的兩腰，兩底之差，下底與腰的兩個夾角都集中于RtABE中，于是得到較短腰2、挪動兩腰例2 如圖2，梯形ABCD中，AD/BC，E、F分別是AD、BC的中點，且EF⊥BC。求證：∠B=∠C。圖2分析：過點E作EM/AB，EN/DC，分別交BC于點M、N。梯形兩腰、下底與腰的兩個夾角集中于EMN中，由E、F分別是AD、BC的中點容易得到，又由EF⊥BC

3、，得EM=EN，故∠EMN=∠ENM，所以∠B=∠C。二、移對角線例3 如圖3，梯形ABCD中，AD/BC，AB=DC，對角線AC、BD互相垂直，梯形的兩底之和為8。求梯形的高與面積。圖3解析：過點D作DE/AC交BC的延長線于點E，過點D作DM⊥BC于點M，這樣得到平行四邊形ACED，所以AC=DE相當(dāng)于將對角線AC移到DE的位置，AD=CE相當(dāng)于將上底、下底移到一起，BE為兩底之和。由AC⊥BD，得BD⊥DE。這樣將兩對角線，兩底和，兩對角線夾角集中于BDE中。容易得到DM

4、為等腰直角BDE的BE邊上的高，所以，即梯形的高為4，故三、移底例4 如圖4，梯形ABCD中，AB/CD，E為腰AD的中點，且AB+CD=BC。求證：BD⊥CE。圖4分析：延長CE交BA的延長線于點F，因為點E為AD的中點，可得DCEAFE，故CE=FE，CD=AF，由AB+CD=BC，得BC=BF，故BE⊥CE。例5 如圖5，在梯形ABCD中，AB/CD，且AB>CD，E、F分別是AC和BD的中點。求證：圖5分析：連接DE并延長交AB于點G，易得AGECDE，故DC=GA，DE=EG，從而得四、作高例6 如圖6，在梯形ABCD中，AB/CD，

5、兩條對角線AC=20cm，BD=15cm，梯形高為12cm，求梯形ABCD的面積。圖6解析：此題有兩種解法。法一：如圖6，分別過點C、D作CE⊥AB于點E，DF⊥AB于點F，得矩形DCEF，在RtACE中，AC=20cm，CE=12cm，可得AE=16cm。同理BF=9cm，顯然BF+AE=AB+CD=25cm，可求梯形面積為法二：如圖7，過點D作DE/CA交BA的延長線于點E，過點D作DF⊥BA于點F，在RtDEF中，DE=AC=20cm，DF=12cm，由勾股定理可得EF=16cm。同理，F(xiàn)B=9cm，所以AB+CD=AB+AE=EF+

6、FB=25cm，進(jìn)而求得梯形面積為圖7小結(jié)：通過添加輔助線，將梯形問題轉(zhuǎn)化為特殊平行四邊形和特殊三角形問題，從而解決問題。添加輔助線的規(guī)律可歸納為以下幾點：1、當(dāng)兩腰或?qū)蔷€具備特殊關(guān)系時，移腰或?qū)蔷€，構(gòu)造等腰三角形或直角三角形。2、當(dāng)涉及面積時，作高，構(gòu)造直角三角形。3、當(dāng)涉及腰或?qū)蔷€的中點時，可添加輔助線構(gòu)造全等三角形?！皫熤拍?，大體是從先秦時期的“師長、師傅、先生而來。其中“師傅更早那么意指春秋時國君的老師。?說文解字?中有注曰：“師教人以道者之稱也?！皫熤x，如今泛指從事教育工作或是傳授知識技術(shù)也或是某方面有特長值得學(xué)習(xí)者。“老師的原意并非由“老而形容“師?！袄显谂f語義中也是一

7、種尊稱，隱喻年長且學(xué)識淵博者。“老“師連用最初見于?史記?，有“荀卿最為老師之說法。漸漸“老師之說也不再有年齡的限制，老少皆可適用。只是司馬遷筆下的“老師當(dāng)然不是今日意義上的“老師，其只是“老和“師的復(fù)合構(gòu)詞，所表達(dá)的含義多指對知識淵博者的一種尊稱，雖能從其身上學(xué)以“道，但其不一定是知識的傳播者。今天看來，“老師的必要條件不光是擁有知識，更重于傳播知識。課本、報刊雜志中的成語、名言警句等俯首皆是,但學(xué)生寫作文運(yùn)用到文章中的甚少,即使運(yùn)用也很難做到恰如其分。為什么?還是沒有徹底“記死的緣故。要解決這個問題,方法很簡單,每天花3-5分鐘左右的時間記一條成語、一那么名言警句即可?？梢詫懺诤蠛诎宓摹胺e累專欄上每日一換,可以在每天課前的3分鐘讓學(xué)生輪流講解,也可讓學(xué)生個人搜集,每天往筆記本上抄寫,老師定期檢查等等。這樣,一年就可記300多條成語、300多那么名言警句,日積月累,終究會成為一筆不小的財富。這些成語典故“貯藏在學(xué)生腦中,自然會出口成章,寫作時便會隨心所欲地“提取出來,使文章增色添輝。宋以后，京師所設(shè)小學(xué)館和武學(xué)堂中的老師稱謂皆稱之為“教諭。至元明清之縣學(xué)一律循之不變。明朝入選翰林院的進(jìn)士之師稱“教習(xí)。到清末，學(xué)堂興起，各科老師仍沿用“教習(xí)一稱。其實“教諭在明清時還有學(xué)官一意，即主管縣一級的教育生員。而相應(yīng)府和州掌管教育生員者那么謂“教授和“學(xué)正?！敖淌凇?/p>