平方差公式的推導(dǎo)及簡(jiǎn)單應(yīng)用含練習(xí)試題

1、5第1課時(shí) 平方差公式的認(rèn)識(shí)1 .下列多項(xiàng)式乘法中可以用平方差公式計(jì)算的是()A. (a+b)(ab)B . (x+2)(2+x)x xc. (3+ y)(y3)d .(x-2)(x+i)2 .下列運(yùn)用平方差公式的計(jì)算中，錯(cuò)誤的是()A. (a+ b)( a - b) = a2- b2B. (x+ 1)( x- 1) =x2- 1C. (2x+ 1)(2 x- 1) = 2x2- 1D. ( a+ b)( a b) = a2- b23 .如果(一2x3y) M= 4x29y2,那么 M表示的式子為()A.- 2x+3yB.2x-3yC.- 2x-3yD.2x+3y4.計(jì)算(a+ 3b)( a-

2、3b)的結(jié)果是()A. a2-6b2B. a2-9b2C. a26ab+ 9b2D . a2+6ab+9b25 .下列各式中，計(jì)算結(jié)果為x236y2的是()A. ( -6y + x)( -6y- x)B. ( -6y + x)(6 y-x)C. (6y + x)(6y x)D. ( 6y + x)(6 y+ x)6 .若一輛汽車(chē)行駛的速度為(m+ n)千米/時(shí)，則行駛2( m- n)小時(shí)的路程為()A. ( m2- n2)千米 B . (2 m2n)千米C. (2 m2n)千米D . (2 m2- 2n2)千米7 .計(jì)算：(一2x+y)( 2x y) =.8 . 2018 寧夏已知n=12,

3、mi- n= 2,則 m2- n2 =.9 .計(jì)算：(3 b+2a)(2 a3b)；(2)( xy5)( -xy-5);11、，11、(3)( 5a+3b)( 3b 5a)；(4)(mn+2)( - mn-2).10 .下列各式中，不能用平方差公式計(jì)算的是()A. (xy)( x+y)B. (xy)( x+y)C. (x-y)( -x-y)D. (x+y)( x+y)11 .如果用平方差公式計(jì)算(x y+5)( x+y+5),則可將原式變形為()A. (x-y) + 5( x+ y) + 5B. (x-y) + 5( x- y)-5C. ( x+5)-y( x+ 5) + yD. x(y+ 5

4、) x + (y+5)22 1112.若 a b =4, a- b= 2,則 a+b 的值為()A. - 1 B. 1 C . 1 D . 2 2213.若一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是O 11 一 1x +4，x+2和x2,則匕的體積是（）A.4, 1x + wB.、/工x 16C.41 21x-2x + wD.4 1 2工x -8x + 1614.計(jì)算：一 2一 一一 一(1)( -2x) -( -2x + 3)( -2x-3);一 一一2(2)(3 + a)(3 a) + a ;_22_(3)( x+2y)(x +4y)( x 2y);(4)( x+y)( x-y) +(y-z)( y+z

5、) +(z x)( z + x).15 .小明計(jì)算(2x+1)(2 x1) x(x+5)的過(guò)程如圖1 51,請(qǐng)指出他計(jì)算過(guò)程中的錯(cuò) 誤，寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的序號(hào)，并寫(xiě)出正確的計(jì)算過(guò)程.解:原式G+5)圖 1 5116 .如圖15 2,有一個(gè)狡猾的地主把一塊邊長(zhǎng)為a m的正方形的土地租給李老漢種植，第二年，他對(duì)李老漢說(shuō)：“我把這塊地的一邊減少5 m,另一邊增加5 m,繼續(xù)租給你,你也沒(méi)有吃虧，你看如何？”李老漢一聽(tīng)，覺(jué)得自己好像沒(méi)有吃虧，就答應(yīng)了.同學(xué)們，你 們覺(jué)得李老漢有沒(méi)有吃虧？請(qǐng)說(shuō)明理由.圖 1 5217.求(2 + 1) X(2 2+ 1) X(2 4+ 1) XX(2 32+ 1)+ 1的計(jì)算結(jié)

6、果的個(gè)位數(shù)字.第2課時(shí)平方差公式的應(yīng)用1.將圖甲中陰影部分的小長(zhǎng)方形變換到圖乙位置,根據(jù)兩個(gè)圖形的面積關(guān)系可以得到一個(gè)關(guān)于a, b的恒等式為()圖 1 53A. (ab)2= a2-2ab+ b B. (a+ b) 2= a2+ 2ab+ b2 C. (a+ b)( a b) = a b D. a(ab) = a2aba的小正方形，則陰影2.如圖1 5 4,在邊長(zhǎng)為a+2的正方形中央剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為部分的面積為()圖 1 54A. 4B.4aC. 4a+4D . 2a+43 .已知一個(gè)長(zhǎng)方形的面積是a2-b2(a>b),其中短邊長(zhǎng)為 a-b,則長(zhǎng)邊長(zhǎng)是 4 . (1)如圖1 55，可以求出

7、陰影部分的面積是 (寫(xiě)成兩數(shù)平方差的 形式)；(2)如圖，若將陰影部分裁剪下來(lái)，重新拼成一個(gè)長(zhǎng)方形， 則它的寬是 ,長(zhǎng)是(寫(xiě)成多項(xiàng)式乘法的形式)；(3)比較圖中陰影部分的面積，可以得到什么結(jié)論?圖 1 555.計(jì)算2018X 2020 20192的結(jié)果是（)A. 1B.1C. 2019D.-20196.計(jì)算:532472()612- 392(3579A.k B.行 C. 11 D.117 .計(jì)算(x 1)( x+ 1)( x2+ 1) (x4+ 1)的結(jié)果是()A. - 2x2 B. 0 C . 2 D . 18 .用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：(1)119 X 121;(2)103 X 97X10009.

8、9.如圖 1 56,內(nèi)、外兩個(gè)四邊形都是正方形，陰影部分的寬為3,且面積為51,則內(nèi)部小正方形的面積是（圖1-5-6A. 47BC. 51D10.計(jì)算:234695123462 12345 X 12347.11 .解方程：(3 - x)(3 +x)-x(5 -x) = 4.12 .先化簡(jiǎn)（a+1）（ a-1）+a（1 - a）-a,再根據(jù)化簡(jiǎn)結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)該代數(shù)式的值與 取值有什么關(guān)系？（不必說(shuō)理）13 .閱讀下列材料：某同學(xué)在計(jì)算3(4 + 1)(4 2+ 1)時(shí)，把3寫(xiě)成41后，發(fā)現(xiàn)可以連續(xù)運(yùn)用平方差公式計(jì)算：3(4 + 1)(4 2+ 1) =(4 - 1)(4 + 1)(4 2+ 1)

9、=(42- 1)(4 2+ 1) = 162 1.請(qǐng)你借鑒該同學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，計(jì)算下列各式的值；(1)(2+ 1)X(2 2+ 1)X(2 4+ 1)X (2 8+ 1)X X(2 1024+1);1、”1、”1、” 1、1(2)(1+ 2)x(1 + 22)x(1 + 24)x (1 + 引+ 二；1111(3)(1 22)3(1 寵)X(1 不)x - x (1 _/).14 .通過(guò)學(xué)習(xí)，同學(xué)們已經(jīng)體會(huì)到乘法公式給整式的乘法運(yùn)算帶來(lái)的方便、快捷.相信 通過(guò)對(duì)下面材料的學(xué)習(xí)、探究，會(huì)使你大開(kāi)眼界，并獲得成功的喜悅.例：用簡(jiǎn)便方法計(jì)算 195X 205.解：195X 205=(200 5) X (2

10、00 +5)=2002 52 =39975.(1)例題求解過(guò)程中，第步利用了 進(jìn)行變形(填乘法公式的名稱(chēng))；(2)用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：9X 11X 101 X 10001.拓廣探究創(chuàng)新練沖刺滿(mǎn)分15 .觀察下列各式：3X5=15, 15=421;5X 7=35, 35=62 1; n的式子表示出來(lái).11 X 13= 143, 143 = 122- 1 ;你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？請(qǐng)將你猜想到的規(guī)律用只含一個(gè)字母教師詳解詳析1. C 解析圖甲面積=(ab)(a+b),圖乙面積=a(a-b + b) -bxb=a1 1、1.11 一 x (1 +引 +于=2X(1 y)+ y=2矛+ 25=2.-b2,因?yàn)閮?/p>

11、圖形的面積相等，所以關(guān)于a, b的恒等式為(a+ b)( ab) = a2 b2.故選C.2. C3. a+ b4. 解:(1) a2- b25. ) ab a+ b (a+ b)( a b)(3)結(jié)論:(a+b)(a b) = a2b2.5. B 6.A7 . C解析(x1)( x+1)(x2+1) (x4+1) =(x21)(x2+1) (x4+1) =x4 1 x41=2.故選C.8 .解：(1)119 X 121 = (120 - 1) X (120 + 1) = 1202- 12= 14399.(2)103 x 97x 10009=(100 +3) x (100 3) x (1000

12、0 +9) =(1002 9) x (100 2+ 9) = 1004 92=99999919.9 . B 解析設(shè)內(nèi)部小正方形的邊長(zhǎng)為x,根據(jù)題意，得(x+ 3) 2-x2=51,(x+3+x)(x+3-x) = 51,2x+ 3= 17,2x= 14,x= 7,所以?xún)?nèi)部小正方形的面積=72=49.故選B.210 .解：由題意，可設(shè) n= 12346,那么12345= n 1, 12347= n+1,于是分母變?yōu)?n (n1)( n+1).應(yīng)用平方差公式化簡(jiǎn)得 n2(n212) = n2n2+1 = 1,即原式分母的值是 1, 所以原式=234695.11 .解：9 x25x + x2 = 4

13、,-5x=- 5,x= 1.12 .解：原式= a 1 + a a a= - 1.該代數(shù)式的值與a的取值沒(méi)有關(guān)系.13 .解：(1)(2 + 1) X (2 2+ 1) X (2 4+ 1) X (2 8+ 1) X X (2 1024+ 1) = (2 1) X (2 + 1) X (2 2 + 1) X (24+ 1)X(2 8 + 1) X X (2 1024+ 1) = (2 2 1) X (2 2 +1)X(24 + 1) X(2 8+ 1) XX(2 1024+ 1)=(2 4 1)X(2 4+ 1) X(2 8+ 1) X X (2 1024+ 1) = 22048-1.1. 1

14、、 ，. 1、 ，. 1、 1 一 ，.1.1.1.1(2)(1 +)X (1 + 歹 X (1 +彳)X (1 + W + 215=2X(12)X(1+-)X (1+引X(1+亍)11111111(3)(1 q)x(1 -32) x(1 -42) x-x (1 行)=(1 2)x(1 +2)x(1 -3)X(1 +3)X X (1 -) X(1 +)=1X3X2X4X-X X =1x= .110，'10，2 2 3 310 10 2 10 2014 .解：(1)平方差公式(2)原式=(10- 1) X(10 + 1) X (100 +1) X (10000 + 1)=(10 2- 1

15、) X (100 + 1) x (10000 + 1)= (10000 -1) X (10000 + 1)=100002-1=99999999.15 .解：(2n1)(2 n+1) = (2n)21 = 4n21(n 為正整數(shù)).人教版八上數(shù)學(xué)第十四章14.2.1平方差公式同步測(cè)試一、單選題1,下列運(yùn)用平方差公式計(jì)算，錯(cuò)誤的是()A. (a+b) (ab) =a2- b2B.(x+1) (x1) =x2 1C. (2x+1) (2x-1) =2x2-1D. (-3x+2) ( - 3x - 2) =9x2 - 42,下列運(yùn)算正確的是()A. - a?a3=a3B, - (a2) 2=a4C.x

16、- 1x=2D. ( /3-2)(.3 2)-13.計(jì)算(3a-bc) (-bc-3a)的結(jié)果為()A.b2c2 9a2 B. b2c2 -3a2 C,也2c2 -9a2 D.-9a2 b2c24,下列多項(xiàng)式的乘法中，能用平方差公式計(jì)算的是()A.(1+x)(x+1)B.(0,5a+b)(b-0.5a)C.(-m+n)(m-n)D.(m+2n)(-2n-m)5 .如圖，從邊長(zhǎng)為(a+4) cm的正方形紙片中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為(a+1) cm的正方 形.(a>0)剩余部分沿虛線又剪拼成一個(gè)矩形(不重疊無(wú)縫隙)則矩形的面積為()D.2(6a+15) cm6 .化簡(jiǎn)(m2+1) (m+1 (m 1

17、) ( m4+1)的值是(A. -2m B.0 C. - 1 D. -27 .下列各式能用平方差公式計(jì)算的是()A. ( - 3a- b) (- 3a+b) B.(3a+b) (a- b)C. (3a+b) (-3a-b)D.( - 3a+b) (3a- b)8.在邊長(zhǎng)為a的正方形中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形(a>b)(如圖甲)，把 余下的部分拼成一個(gè)矩形(如圖乙)，根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等，可 以驗(yàn)證()A. (a+b) 2=a2+2ab+b2B.C.a2- b2= (a+b) (a-b)D.119.若 S=(1- J2) (1- J?) (12232(a- b) 2=a2-2

18、ab+b2(a+2b) (a-b) =a2+ab- 2b211-12) (1三)，則S的值為(42201622013 1.2016B 2015 C 2015 兇 D 20172016.4032. 403210 .計(jì)算(a-2) (-a-2)的結(jié)果正確的是(A.a2- 4 B.a 2- 4a+4 C.4 -a2 D.2 - a2二、填空題211 .計(jì)算：2008X 2010-2009=r12 .已知x, y滿(mǎn)足方程組 卜2y =5 ,則x2-4y2的值為，x 2y -313 .如圖，在邊長(zhǎng)為a的正方形中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形(a>b),把剩 下的部分拼成一個(gè)梯形，分別計(jì)算這兩個(gè)圖形陰影

19、部分的面積，驗(yàn)證了公式aa14 . (a+1)(a-1)(a2+1)=。15 . (-1-3x ) ()=1-9x 2.16 . (x+1)(x-1)-(x-2)(x+2)=三、計(jì)算題17 .(1)(x+y) (x-y) - (2x-y) (x+3y)(2)(4m+n)(4m-n)(3) (3b -2)( -2 -3b)(4)(2a 1)(2a -1)(4a2+1)+1四、解答題18.閱讀并完成下列各題：通過(guò)學(xué)習(xí)，同學(xué)們已經(jīng)體會(huì)到靈活運(yùn)用整式乘法公式給計(jì)算和化簡(jiǎn)帶來(lái)的方便、 快捷.相信通過(guò)下面材料的學(xué)習(xí)、探究，會(huì)使你大開(kāi)眼界，并獲得成功的喜悅.【例】用簡(jiǎn)便方法計(jì)算995X 1005.解：995

20、X1005=(1000-5) (1000+5)=10002-52=999975.(1)例題求解過(guò)程中，第步變形是利用 (填乘法公式的名稱(chēng))；(2)用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：9X11 X101X10 001 ;( 2+1) (22+1) (24+1) (2 8+1)(2 16+1)232+1) +1.19 .計(jì)算：x (x-2) - (x+2) (x-2),其中 x=-.220 .計(jì)算：(x 3) (3+x) (x?+x1)21 .已知一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為2a ,寬也是2a ,高為h.(1)用a 、h的代數(shù)式表示該長(zhǎng)方體的體積與表面積.(2)當(dāng)a=3, h=二時(shí)，求相應(yīng)長(zhǎng)方體的體積與表面積.2(3)在(2)的

21、基礎(chǔ)上，把長(zhǎng)增加x,寬減少x,其中0<x<6,問(wèn)長(zhǎng)方體的體積是 否發(fā)生變化，并說(shuō)明理由.答案：1-5.CDDBD 6-10.DACDC11. -112. -1513. a2 b2 =(a b)(a b)14. a4 -115. -1+3x16. 317. (1) -x2 -5xy 2y2 (2) 16m2 -n2 (3) 4 -9b2 (4)16a 418. (1)平方差公式(2)(10-1)(10 +1)(100 +1)(10000 +1) =99999999原式=(2 1)(2十 1)(22 +1)(24 十 1)(232+1) +1=26419. 原式=-2x+4=320.

22、-x-821. 體積 4a2h 表面積 8a2+8ah (2) 1884 (3)減少了教師詳解詳析1. C2. C 解析根據(jù)平方差公式，得(2x+1)(2 x1)= 4x21.故選C.3. A4. B5. D6. D7. 4x2y 21 2= 9b25a.(4) ( m2n+ 2)( min- 2) =(min) 22=min2- 4.10. A 解析A .含x, y的項(xiàng)符號(hào)都相反，不能用平方差公式計(jì)算；B.含x的項(xiàng)符號(hào)相同，含y的項(xiàng)符號(hào)相反，能用平方差公式計(jì)算；C.含y的項(xiàng)符號(hào)相同，含x的項(xiàng)符號(hào)相反， 能用平方差公式計(jì)算；D.含y的項(xiàng)符號(hào)相同，含 x的項(xiàng)符號(hào)相反，能用平方差公式計(jì)算.故選A.11. C12. B2 1112 12 14113. B 解析(x +4)( x+2)( x-) =(x+-)( x -；)=x -.14.解：(1)( -2x)2-(-2x+3)( -2x-3)= 4x2( -2x)2- 32 解析(2x+y)( 2x y) = 4x2y2.8. 249 .解析(1)對(duì)照平方差公式發(fā)現(xiàn)只要對(duì)第一個(gè)括號(hào)內(nèi)的兩項(xiàng)利用加法交換律，即可套用平方差公式進(jìn)行計(jì)算；(2)本題兩個(gè)因式中，含一5項(xiàng)的符號(hào)相同，含 xy項(xiàng)的符號(hào)相反，所以可以使用公式 (a + b) - (a-b) =a2-b2進(jìn)行計(jì)算，其中一5相當(dāng)