定積分典型例題20例答案解析

1、.wd定積分典型例題20例答案例1求分析 將這類問題轉(zhuǎn)化為定積分主要是確定被積函數(shù)和積分上下限假設(shè)對(duì)題目中被積函數(shù)難以想到，可采取如下方法：先對(duì)區(qū)間等分寫出積分和，再與所求極限相比擬來找出被積函數(shù)與積分上下限 解將區(qū)間等分，那么每個(gè)小區(qū)間長為，然后把的一個(gè)因子乘入和式中各項(xiàng)于是將所求極限轉(zhuǎn)化為求定積分即=例2=_解法1 由定積分的幾何意義知，等于上半圓周 ()與軸所圍成的圖形的面積故=解法2 此題也可直接用換元法求解令=，那么=例31假設(shè)，那么=_；2假設(shè)，求=_分析 這是求變限函數(shù)導(dǎo)數(shù)的問題，利用下面的公式即可解 1=；2由于在被積函數(shù)中不是積分變量，故可提到積分號(hào)外即，那么可得 =例4 設(shè)

2、連續(xù)，且，那么=_解 對(duì)等式兩邊關(guān)于求導(dǎo)得，故，令得，所以例5 函數(shù)的單調(diào)遞減開區(qū)間為_解，令得，解之得，即為所求例6求的極值點(diǎn)解 由題意先求駐點(diǎn)于是=令=，得，列表如下：-故為的極大值點(diǎn)，為極小值點(diǎn)例7兩曲線與在點(diǎn)處的切線一樣，其中，試求該切線的方程并求極限分析 兩曲線與在點(diǎn)處的切線一樣，隱含條件，解由條件得，且由兩曲線在處切線斜率一樣知故所求切線方程為而例8 求 ； 分析該極限屬于型未定式，可用洛必達(dá)法那么解=注 此處利用等價(jià)無窮小替換和屢次應(yīng)用洛必達(dá)法那么例9試求正數(shù)與，使等式成立分析 易見該極限屬于型的未定式，可用洛必達(dá)法那么解=，由此可知必有，得又由 ，得即，為所求例10設(shè)，那么當(dāng)時(shí)

3、，是的 A等價(jià)無窮小 B同階但非等價(jià)的無窮小 C高階無窮小 D低階無窮小解法1由于 故是同階但非等價(jià)的無窮小選B解法2 將展成的冪級(jí)數(shù)，再逐項(xiàng)積分，得到，那么例11計(jì)算分析被積函數(shù)含有絕對(duì)值符號(hào)，應(yīng)先去掉絕對(duì)值符號(hào)然后再積分解注在使用牛頓萊布尼茲公式時(shí),應(yīng)保證被積函數(shù)在積分區(qū)間上滿足可積條件如，那么是錯(cuò)誤的錯(cuò)誤的原因那么是由于被積函數(shù)在處連續(xù)且在被積區(qū)間內(nèi)無界.例12設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且，那么分析 此題只需要注意到定積分是常數(shù)為常數(shù)解 因連續(xù)，必可積，從而是常數(shù)，記，那么，且所以，即，從而，所以 例13 計(jì)算分析由于積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此首先應(yīng)考慮被積函數(shù)的奇偶性解 =由于是偶函數(shù)，而是奇函數(shù)

4、，有, 于是=由定積分的幾何意義可知, 故 例14 計(jì)算，其中連續(xù)分析 要求積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，但被積函數(shù)中含有，因此不能直接求導(dǎo)，必須先換元使被積函數(shù)中不含，然后再求導(dǎo)解由于=故令，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，而，所以=，故=錯(cuò)誤解答錯(cuò)解分析這里錯(cuò)誤地使用了變限函數(shù)的求導(dǎo)公式，公式中要求被積函數(shù)中不含有變限函數(shù)的自變量，而含有，因此不能直接求導(dǎo)，而應(yīng)先換元例15 計(jì)算分析 被積函數(shù)中出現(xiàn)冪函數(shù)與三角函數(shù)乘積的情形，通常采用分部積分法解例16 計(jì)算分析 被積函數(shù)中出現(xiàn)對(duì)數(shù)函數(shù)的情形，可考慮采用分部積分法解 = =例17計(jì)算分析被積函數(shù)中出現(xiàn)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)乘積的情形通常要屢次利用分部積分法 解由于， 1而 ， 2將2式代入1式可得 ,故 例18計(jì)算分析 被積函數(shù)中出現(xiàn)反三角函數(shù)與冪函數(shù)乘積的情形，通常用分部積分法解1令，那么 2將2式代入1式中得 例19設(shè)上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，求