學(xué)習(xí)奧數(shù)基本方法十二找簡單數(shù)列的規(guī)律

1、第 12 講找簡單數(shù)列的規(guī)律教學(xué)目標(biāo)1、認(rèn)識(shí)數(shù)列，掌握數(shù)列的分類及幾種常見的數(shù)列。2、分析數(shù)列的規(guī)律，把握數(shù)列的特征。3、通過舉例，加深對(duì)各種數(shù)列的認(rèn)識(shí)。重點(diǎn)1、認(rèn)識(shí)數(shù)列，掌握數(shù)列的分類及幾種常見的數(shù)列。2、分析數(shù)列的規(guī)律，把握數(shù)列的特征。難點(diǎn)1、分析數(shù)列的規(guī)律，把握數(shù)列的特征。2、編寫數(shù)列，加深印象。教學(xué)內(nèi)容【內(nèi)容概述】日常生活中，我們經(jīng)常接觸到許多按一定順序排列的數(shù)，如：（1）自然數(shù)：1，2，3，4，5, 6，7,（2） 年份：1990, 1991, 1992, 1993, 1994, 1995, 1996（3） 某年級(jí)各班的學(xué)生人數(shù)（按班級(jí)順序一、二、三、四班排列）：45, 45, 44

2、, 46 像上面的這些例子，按一定次序排列的一列數(shù)就叫做數(shù)列數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，第1 個(gè)數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第 1 項(xiàng)，第 2 個(gè)數(shù)稱為第 2項(xiàng)，第 n 個(gè)數(shù)就稱為第 n 項(xiàng)。如數(shù)列（3）中，第 1 項(xiàng)是，第 2 項(xiàng)也是，第 4 項(xiàng)。根據(jù)數(shù)列中項(xiàng)的個(gè)數(shù)分類，我們把項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列（即有有窮多個(gè)項(xiàng)的數(shù)列）稱為有窮數(shù)列，把項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列（即有無窮多個(gè)項(xiàng)的數(shù)列）稱為無窮數(shù)列，上面的幾個(gè)例子中，（2） （ 3）是有窮數(shù)列，（1）是無窮數(shù)列。 練習(xí)：1）按排列的一列數(shù)就叫做數(shù)列。請(qǐng)寫出二個(gè)不同的數(shù)列2）數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的，其中第個(gè)數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第1 項(xiàng)，第個(gè)數(shù)稱為第 2 項(xiàng)，第

3、個(gè)數(shù)就稱為第n 項(xiàng).3）根據(jù)數(shù)列中項(xiàng)的個(gè)數(shù)分類：把項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列稱為數(shù)列，舉例，如把項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列稱為數(shù)列。舉例，如【典型問題一 1】等差數(shù)列例 1、觀察下面的數(shù)列，找出其中的規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律，在括號(hào)中填上合適的數(shù)12, 5, 8, 11, （）, 17, 20。219, 17, 15, 13, （）, 9, 7。分析：中從第 2 項(xiàng)開始，每一項(xiàng)減去它前面一項(xiàng)所得的差都等于3。2中從第 2 項(xiàng)開始， 每一項(xiàng)減去它后面一項(xiàng)所得的差都等于2.解：括號(hào)中應(yīng)填的數(shù)是 14，即：11 + 3=14。括號(hào)中應(yīng)填 11,即：13 2=11。小結(jié)：把與聯(lián)系起來繼續(xù)觀察，容易看出：1、數(shù)列中，隨項(xiàng)數(shù)的增大，每一

4、項(xiàng)的數(shù)值也相應(yīng)增大，即數(shù)列是遞增的；2、數(shù)列中，隨項(xiàng)數(shù)的增大，每一項(xiàng)的值卻依次減小，即數(shù)列是遞減的。3、 這兩個(gè)數(shù)列卻有一個(gè)共同的性質(zhì)：即相鄰兩項(xiàng)的差都是一個(gè)定值。我們把類似這樣的數(shù)列，稱為等差數(shù)列。練習(xí) 1:你能舉幾個(gè)等差數(shù)列例子嗎？1遞減的_2遞增的_練習(xí) 2：判斷下面的數(shù)列是等差數(shù)列嗎？并說明理由。 1, 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1 21,2 , 3,4 , 3,2 , 3,2 , 1 【典型問題一 2】等比數(shù)列例 2、觀察下面的數(shù)列，找出其中的規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律，在括號(hào)中填上合適的數(shù)31, 3, 9, 27,(), 243。464, 32, 16, 8, (),2。分析：中，

5、從相鄰兩項(xiàng)的差是看不出規(guī)律的，但是，從第2 項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都是其前面一項(xiàng)的3 倍.即：3=1X3, 9= 3X3, 27=9X3。4中，從第 1 項(xiàng)開始，每一項(xiàng)是其后面一項(xiàng)的 2 倍解：27X3=81， 8-2= 4小結(jié)：1、數(shù)列是遞增的數(shù)列，2、數(shù)列是遞減的數(shù)列，3、 它們共同的特點(diǎn)：每列數(shù)中，相鄰兩項(xiàng)的商都相等像這樣的數(shù)列，我們把它稱 為等比數(shù)列。練習(xí) 3:你能舉幾個(gè)等比數(shù)列例子嗎？1遞減的_2遞增的_練習(xí) 4:判斷下面的數(shù)列是等比數(shù)列嗎？并說明理由。 1, 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1 1,2 , 4, 8,16 , 8,4 , 8【典型問題-3】兔子數(shù)列 例 3、觀察下面的數(shù)

6、列，找出其中的規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律，在括號(hào)中填上合適的數(shù)51,1， 2, 3， 5， 8， ()， 21， 3461, 3, 4, 7 11, 18, (), 47分析：我們先來看一個(gè)有趣的問題：裴波那契是意大利著名數(shù)學(xué)家在他的著作算盤書中許多有趣的問題， 最富成功的問題是著名的兔子繁殖問題”：如果每對(duì)兔子每月繁殖一對(duì)子兔，而子兔在出生后第二個(gè)月就有生殖能力，試問一對(duì)兔子一年能繁殖多少對(duì)兔子？理想情況下，每一對(duì)兔子都是一公一母，兔子的數(shù)目將按一定的規(guī)律迅速增長，按順序記錄每個(gè)月中所有兔子的數(shù)目(以對(duì)為單位，一月記一次)，就得到了數(shù)列的原型，5既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系是：從第

7、 3 項(xiàng)開始，每一項(xiàng)等于它前面兩項(xiàng)的和即 2=1 + 1, 3=2+1 , 5=2+3, 8=3+ 5.6的規(guī)律是：從第 3 項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都等于其前兩項(xiàng)的和。解 ：括號(hào)中應(yīng)填的數(shù)是 13，即 13=5+8 , 2 仁 8+13 , 34=13+21。括號(hào)中應(yīng)填的是 29,即 29=11 + 18。小結(jié)：數(shù)列不同于數(shù)列：數(shù)列的第2 項(xiàng)為 3,而數(shù)列為 1,數(shù)列稱為魯卡斯數(shù)列。【典型問題-4】平方數(shù)數(shù)列例 4、觀察下面的數(shù)列，找出其中的規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律，在括號(hào)中填上合適的數(shù)71, 4, 9, 16, 25, (), 49, 64。80, 3, 8, 15, 24, (), 48, 63。分析：

8、1=1X1, 4=2X2, 9=3X3,16=4X4,25=5X5, 49= 7X7, 64=8X8,即每項(xiàng)都等于自身項(xiàng)數(shù)與項(xiàng)數(shù)的乘積，所以括號(hào)中的數(shù)是36。的每一項(xiàng)加上 1 正好等于數(shù)列，因此，本數(shù)列的規(guī)律是項(xiàng)=項(xiàng)數(shù)X項(xiàng)數(shù)-1.解 ：中應(yīng)填的是 36,即 6X6= 36，中應(yīng)填的是 35,即 6X6- 1 = 35小結(jié)：本題各項(xiàng)只與項(xiàng)數(shù)有關(guān)，如果從相鄰項(xiàng)關(guān)系來考慮問題，勢必要走彎路。練習(xí) 5:請(qǐng)仿照例，編寫一個(gè)類似的數(shù)列【典型問題一 5】雙系列數(shù)列例 5、觀察下面的數(shù)列，找出其中的規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律，在括號(hào)中填上合適的數(shù)91, 2, 2, 4, 3, 8, 4, 16, 5,()102, 1,

9、 4, 3, 6, 9, 8, 27, 10,().分析：奇數(shù)項(xiàng)：第 1 項(xiàng)、第 3 項(xiàng)、第 5 項(xiàng)、第 7 項(xiàng)和第 9 項(xiàng)，分別是 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,偶數(shù)項(xiàng)：第2項(xiàng)、第 4 項(xiàng)、第 6 項(xiàng)、第 8 項(xiàng)和第 10 項(xiàng)，分別是 2, 4, 8, 16,（） 可以看出，奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成一等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成一等比數(shù)列。奇數(shù)項(xiàng)：第 1 項(xiàng)、第 3 項(xiàng)、第 5 項(xiàng)、第 7 項(xiàng)和第 9 項(xiàng)，分別是 2，4，6，8，10，偶數(shù)項(xiàng)：第 2 項(xiàng)、第 4 項(xiàng)、第 6 項(xiàng)、第 8 項(xiàng)和第 10 項(xiàng)，分別是 1，3，9，27，（） 可以看出，奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成一等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成一等比數(shù)列。解：應(yīng)為 32

10、（32=16X2），應(yīng)填 81 （ 81=27X3）。小結(jié)：像這樣的數(shù)列，每個(gè)數(shù)列中都含有兩個(gè)系列，這兩個(gè)系列的規(guī)律各不相同，類似這樣的數(shù)列，稱為雙系列數(shù)列或雙重?cái)?shù)列。（你能給這種數(shù)列取一個(gè)形象有趣的名字：_專利權(quán)屬_ 所有。）練習(xí) 6:請(qǐng)仿照例，編寫一個(gè)類似的數(shù)列請(qǐng)仿照例，編寫一個(gè)類似的數(shù)列例是兩個(gè)數(shù)列合并在一起，可不可以是3 個(gè)或更多數(shù)列組合在一起，請(qǐng)編寫_（發(fā)明者_(dá) ）_（發(fā)明者_(dá) ）【典型問題-6】數(shù)組數(shù)列例 6、下面數(shù)列的每一項(xiàng)由 3 個(gè)數(shù)組成的數(shù)組表示，它們依次是：（1，3，5），（ 2，6，10），（ 3，9，15）問：第 100 個(gè)數(shù)組內(nèi) 3 個(gè)數(shù)的和是多少？分析一：數(shù)組的第

11、1 個(gè)分量依次是：1, 2，3構(gòu)成等差數(shù)列，所以第 100 個(gè)數(shù)組中的第 1 個(gè)數(shù)為 100; 數(shù)組的第 2個(gè)分量 3，6, 9也構(gòu)成等差數(shù)列，所以第 100 個(gè)數(shù)組中的第 2 個(gè)數(shù)為 3X100=300;同理，第 3 個(gè)分量為 5X100=500,所以，第 100 個(gè)數(shù)組內(nèi)三個(gè)數(shù)的和為 100+300+500=900。解： 第 100 個(gè)數(shù)組內(nèi)三個(gè)數(shù)的和為 100+300+500=900。分析二：以不去求組里的三個(gè)數(shù)而直接求和，考察各組的三個(gè)數(shù)之和。第 1 組：1+3+5=9,第 2 組：2+6+10=18 第 3 組：3+ 9+ 15= 27 ，9, 18, 27構(gòu)成一等差數(shù)列， 第 10

12、0項(xiàng)為9X100=900,即第100個(gè)數(shù)組內(nèi)三個(gè)數(shù)的和為 900。 解： 9X100=900,即第 100 個(gè)數(shù)組內(nèi)三個(gè)數(shù)的和為 900。練習(xí) 7：下面數(shù)列的每一項(xiàng)由 3 個(gè)數(shù)組成的數(shù)組表示，它們依次是：（1 , 2, 5）,（ 2, 4, 10）,（3, 6,?）問：？處填什么數(shù)字？第100 個(gè)數(shù)組內(nèi) 3 個(gè)數(shù)的和是多少？課堂鞏固練習(xí):1、找出下面數(shù)列的規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律在括號(hào)里填出適當(dāng)?shù)臄?shù)。(1)3, 6, 9,12,(),18,21(2)28, 26, 24, 22, (),18 , 16(3)60, 63, 68, 75, (),()(4)180, 155,131,108 ,(), ()

13、(5)196, 148,108,76, 52, ()(6)6, 1, 8,3, 10,5 ,12 ,乙 (),()(7)0, 1, 1,2, 3, 5 , 8,()()(8)10, 98, 15, 94, 20 , 90,(,()2、在下面數(shù)列中填出合適的數(shù)。(1)1 , 3 , 9 , 27 , (),243(2)1 , 2 , 6 ,24 , 120 ,(:),5040(3)1 , 1,3 ,7 , 13 ,(),31(4)0 , 3 , 8 ,15 , 24 ,(),48, 633、 在下面數(shù)列的每一項(xiàng)由3 個(gè)數(shù)組成的數(shù)組成的數(shù)表示，它們依次是：（1，5，9）,（ 2, 10 , 18）,（3, 15, 27）,。問第 50 個(gè)數(shù)組內(nèi)三個(gè)數(shù)的和是多少？4、按要求編寫數(shù)列差為 5 的有窮數(shù)列（從小到大） ：_差為 4 的無窮數(shù)列（從小到大） ：_差為 2 的有窮數(shù)列（從大到?。?：_比為 2 的無窮數(shù)列（從小到大）比為 4 的無窮數(shù)列（從小到大）:兩個(gè)等比數(shù)列組成的雙重?cái)?shù)列_一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列組成的雙重?cái)?shù)列_家庭作業(yè)1、按一定的規(guī)律在括號(hào)中填上適當(dāng)?shù)臄?shù):(1)1,2,3,4,5,(),7(2)10095,90,85,80,(),70(3)1,2,4,8,16,(),64(4)1,9,2,8,3,