面積法在平面幾何問題求解中的巧妙應(yīng)用

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上平面幾何問題的證明面積法（教案）教學(xué)目的：掌握面積法在平面幾何解題中的巧妙應(yīng)用 教學(xué)重點：1、三角形、凸四邊形面積公式的推導(dǎo) 2、面積法在平面幾何解題中的巧妙應(yīng)用 教學(xué)內(nèi)容： 專心-專注-專業(yè) 2002年，張景中院士推出新概念幾何，其中對三角學(xué)作了全新的處理，他把邊長為1、夾角為的菱形的面積定義為，由此研究正弦的性質(zhì)，到處理余弦，用面積的方法證明大量的平面幾何問題，把三角學(xué)和幾何學(xué)打成一片，別具一格，極有新意。張院士指出：抓住面積，不但能把平面幾何課程變得更容易學(xué)，而且使幾何問題求解變得更有趣味。在求解平面幾何問題的時候，根據(jù)有關(guān)幾何量與涉及的有關(guān)圖形面積之間的內(nèi)在聯(lián)

2、系，用面積或面積比表示有關(guān)的幾何量或其比，從而把要論證的幾何量之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為有關(guān)面積之間的關(guān)系，并通過圖形面積的等積變換對所論問題來進行求解的方法，這就是面積法。一、為運用面積法解題，我們需要一些面積公式：1、 設(shè)中，角所對的邊依次為，又為邊上的高，為其外接圓半徑，為其內(nèi)切圓半徑，則（1） ； （2）; （3）; (4); (5)； (6)。（海倫公式） 2、在凸四邊形中，邊長分別為，兩對角線長為兩對角線夾角，且，則：（1） (2) (3) （當(dāng)四點共圓時） (4) ，或引理1：圓內(nèi)接四邊形的四邊是則四邊形的面積 ，。事實上，以E為一組對邊的交點，設(shè)。由得 ，而 ，同理 ，由海倫公式得對于一

3、般情況的凸四邊形，不滿足四個頂點共圓，就沒有如上的相似三角形，所以面積公式有所不同。定理：一般地，任意凸四邊形的四邊是則四邊形的面積為其中，.證明：設(shè)對角線， 由于任意四邊形由四條邊和一個內(nèi)角確定，所以可將內(nèi)角看作是內(nèi)角的函數(shù)，即。、兩式兩邊同時對角求導(dǎo)得： 將式代入式有 將式代入式有上式兩邊積分得,其中是待定的常數(shù)。當(dāng)四邊形的四點共圓時，,此時 所以任意凸四邊形ABCD的面積 , 同理可證任意凸四邊形ABCD的面積 由此我們也看出，四邊給定的所有四邊形中，當(dāng)四點共圓時，四邊形面積最大。二、面積法在平面幾何解題中的應(yīng)用引理2：共邊定理 若直線和直線交于,可能的情況如下圖，則. 例1、設(shè)是的平分

4、線上任一點，過引交的延長線于,過引交的延長線于,求證：.連接由有.由有.故又P是的平分線上的點，P點到及的距離相等，即的邊上的高等于的邊上的高，從而.例2、如圖，在中，是邊上的高上的任一點，直線交于，直線交于，連接，求證：. 證明：過點A作的平行線，分別交的延長線于則有, ,3、 小結(jié)：正如張院士所說的抓住面積，不但能把平面幾何課程變得更容易學(xué)，而且使幾何問題求解變得更有趣味。因此，在求解平面幾何問題的時候，根據(jù)有關(guān)幾何量與涉及的有關(guān)圖形面積之間的內(nèi)在聯(lián)系，用面積或面積比表示有關(guān)的幾何量或其比，從而把要論證的幾何量之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為有關(guān)面積之間的關(guān)系求解。四、課后思考題： 1、用面積法證明塞瓦定理。塞瓦（Ceva）定理：設(shè)分別是的邊所在直線上的點（即三點中或三點或一點在邊上），則三直線共點或平行的充要條件是 證明 必要性：若三直線交于一點，則 若三直線平行，則充分性：若直線交于一點，設(shè)與的交點為，則由必要性知。而題設(shè)有，由此有，即，由此知與重合，從而三直線共點。若,則代入已知條件有,由此知.故。證畢。2、 凸四邊形中，,對角線交于點.求.證明 法1（常規(guī)解法）：由題意可知且四點共圓。設(shè)，則