南昌大學(xué)08級高數(shù)(上)A卷和答案

1、南昌大學(xué)20082009 學(xué)年第一學(xué)期期末考試試卷及答案試卷編號：(A)卷課程編號： T課程名稱：高等數(shù)學(xué) (). (上)考試形式： 閉卷適用班級：08 級理工科姓名：學(xué)號：班級：學(xué)院：專業(yè)：考試日期： 上午題號一二三四五六七八九十總分累 分 人題分15151614141412100簽名得分考生注意事項(xiàng)： 1、本試卷共7 頁，請查看試卷中是否有缺頁或破損。如有立即舉手報(bào)告以便更換。2、考試結(jié)束后，考生不得將試卷、答題紙和草稿紙帶出考場。一、填空題 (每個空3 分，共15 分 )得分評閱人1.設(shè) f ( x)的定義域是 0,1 , 則函數(shù) f ( xa) (a0)的定義域是。2.lim 3nsi

2、n2。3nn3.設(shè) yf (ex ), f (x) 為可導(dǎo)函數(shù) , 則 dy。4.若點(diǎn) (1, 3) 是曲線 y ax3bx2的拐點(diǎn) ,則 a,b 。二、單項(xiàng)選擇題 ( 每小題 3 分, 共 15 分)得分評閱人1. 下列函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)的是 ( ) 。(A)f ( x)cos x,x0,ln xcos x.sin x,x（B） f (x)0.f (x)1 ,x0,f ( x)x1,x0,(C)x(D)0,x0,0,x0.x1,x0.2曲線 yarctanx在橫坐標(biāo)為1 的點(diǎn)處的切線方程是（）。(A)y41 ( x 1)；(B)y1 ( x1)；22（ C） y4x 1；（D） y x 1

3、。3在區(qū)間 1,1上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件的函數(shù)是()。111（ A）（C） 2x1 3 ；(D)arctanx； (B) ln x；。2x4 曲線 yx34x23x4的凹區(qū)間是（）.（ A）,)； （B） (, ； （C） 2, 0；D44（ ）沒有凹區(qū)間。33y205函數(shù) yy(x) 是可微函數(shù)且由方程0 etdtx costdt0所確定,則 y '(x)( )。（ A） ey 2cosx ；（B） ey2； (C)e y 2cos x ；（D） e y2cos x 。三、求下列極限（共2 小題，每小題 8 分，共 16 分）得分評閱人1 limx解: 原式2 limx02x3

4、x 12x。12x1lim11x2x2 x1lim222111x2x2x 1ex t 2 et2 dt02 。xex12 2 分 6 分 8 分解: 由洛必達(dá)法則有2 x2原式 limx e22x2ex2x 0 exlimx20x 0 12x2 6 分 8 分四、求下列導(dǎo)數(shù)（共2 小題，每小題 7 分，共 14 分）得分評閱人1設(shè) y3 x3 x , 求 y '(x) 。13 x212解: y '1x 3x333xln(1t 2 ),求d 2 y。2設(shè)dx2yt arctant ,解:yt'11t2, xt'12t.1t21 t 2t 2dyy'tt.x

5、t'dx2dyx'1dt.21d 2 y dyx'11 t22dx2dtdx2t4t.dt1 t 2 8 分 2 分 4 分 5 分 7 分五、求下列不定積分（共2 小題，每小題 7 分，共 14 分）得分評閱人1. tan3 x secxdx。解:原式tan2 xd (sec x)(sec2 x1)d (sec x)1 sec3 xsecx C3ln x2.dx 。x21解:原式ln xdx2 分5分7 分2 分ln x1xx2 dx5 分ln x17 分xCx.六、計(jì)算題（共2 小題，每小題 7分，共 14 分）得分評閱人1計(jì)算定積分cos2xcos4x dx。0解

6、:原式cos2 x(1 cos2 x) dxcos2 xsin2 x dx000cosx sin xdx3分2 cos xsin x dxcos x sin x dx5分022 sin x d (sin x)sin x d (sin x)0221 sin2 x01.1 sin2 x7分20222(應(yīng)用題 )某車間靠墻壁要蓋一間長方形小屋，現(xiàn)有存磚只夠砌20m長的墻壁，問應(yīng)圍成怎樣的長方形才能使這間小屋的面積最大？解:如圖所示.設(shè)這間小屋的寬為x ,長為y ,則小屋的面積為 Sxy.已知2xy20,即y202x . 2分則 Sx(202x)20x2x2 .x(0,10).S '204x.

7、令S '0 ,得駐點(diǎn)x5.由 S ''40 知 x5 為極大值點(diǎn) , 又駐點(diǎn)唯一 , 故極大值點(diǎn)就是最大值點(diǎn).因此當(dāng)寬為 5m, 長為 10m 時, 這間小屋的面積最大.3 分5分6 分7 分xy七、解下列各題 （共 2 小題，第 1 小題 7 分，第 2 小題 5 分 , 共 12 分）.得分評閱人x3 sin1x0,0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。1. 討論函數(shù) f ( x)x在 x0,x0解:limf ( x)lim102 分x3 sinx 00,x0x而f (0)f (x) 在 x0處連續(xù) .4 分lim f (x)f(0)x3 sin 10又 f '(0)limx6 分x0x0x 0x 0lim x2 sin 10 .x0x故 f (x) 在 x0處可導(dǎo) .7 分2. 設(shè)函數(shù)f ( x) 在 0, 2 上連續(xù) , 在 (0, 2) 內(nèi)可導(dǎo) ,且 f (0) f (1)2 ,f (2)1. 證明：必存在(0, 2) ，使 f '()0 。證明 :f (x) 在 0,2 上連續(xù) ,f (x) 在0,1 上連續(xù) ,且在 0,1 上必有最大值 M 和最小值 m ,于是m f (0)M ,mf (1)M .2 分故2mf (0)f (1)2Mmf (0)f (1)M .3分20,1 , 使由介值定理知