最新微積分課件-醫(yī)學(xué)課件

1、微積分rxdtdx微微 積積 分分微積分第一章第一章 函數(shù)函數(shù)第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)第三章第三章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分第四章第四章 中值定理中值定理, ,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第五章第五章 不定積分不定積分第六章第六章 定積分定積分第七章第七章 無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)( (不要求不要求) )第八章第八章 多元函數(shù)多元函數(shù)第九章第九章 微分方程微分方程復(fù)習(xí)微積分第一章第一章 函數(shù)函數(shù) 集合集合 函數(shù)概念函數(shù)概念 函數(shù)的幾種特性函數(shù)的幾種特性 反函數(shù)反函數(shù) 復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù) 初等函數(shù)初等函數(shù) 微積分函數(shù)函數(shù)-集合集合是指具有特定性質(zhì)的一些事集合是指具有特定性質(zhì)的一些事物的總體物的總體. .組成

2、這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素. . 通常用大寫拉丁字母表示集合，小寫字母表示元素.a是集合M的元素,記作aM(讀作a屬于M)；a不是集合M的元素,記作aM (讀作a不屬于M).集集合合定定義義微積分函數(shù)函數(shù)-集合例子例子1. 19901. 1990年年1010月月1 1日在南寧市出生的人。日在南寧市出生的人。2. 2. 彩電、電冰箱、彩電、電冰箱、VCDVCD。3. 3. x x2 2-5x+6=0-5x+6=0的根。的根。集合具有確定性，即對(duì)某一個(gè)元素是否屬于某個(gè)集合具有確定性，即對(duì)某一個(gè)元素是否屬于某個(gè)集合是確定的，是或不是二者必居其一。集合是確定的，是

3、或不是二者必居其一。由有限個(gè)元素構(gòu)成的集合由有限個(gè)元素構(gòu)成的集合，稱為有限集合。，稱為有限集合。由無(wú)限多個(gè)元素構(gòu)成的集合由無(wú)限多個(gè)元素構(gòu)成的集合，稱為無(wú)限集合；，稱為無(wú)限集合；4. 4. 全體偶數(shù)全體偶數(shù)。微積分函數(shù)函數(shù)-集合集合的表示法集合的表示法1. 列舉法列舉法：按任意順序列出集合的所有元素,并用括起來(lái)。例例： 由x2-5x+6=0的根所構(gòu)成的集合A，可表示為：A=2,3注注：必須列出集合的所有元素，不得遺漏和重復(fù)。微積分函數(shù)函數(shù)-集合2.描述法描述法：設(shè)P(a)為某個(gè)與a有關(guān)的條件或法則，A為滿足P(a)的一切a構(gòu)成的集合，記為：A=a|P(a)例例： 由x2-5x+6=0的根所構(gòu)成的

4、集合A，表示為：A=x|x2-5x+6=0例例：全體實(shí)數(shù)組成的集合通常記作R，即：R=x|x為實(shí)數(shù)微積分函數(shù)函數(shù)-集合子集如果集合A的元素都是集合B的元素，即若 xA則必xB，就說(shuō)A是B的子集，記作AB(讀作A包含于B)或BA(讀作B包含A)如果A B且或AB，則稱A與B相等。1. AA即集合A是其自己的子集。2. 傳遞性 AB、B C 則A C。3. A，即空集是任何集合A的子集。微積分函數(shù)函數(shù)-集合全集與空集全集與空集所研究的所有事物構(gòu)成的集合稱為全集所研究的所有事物構(gòu)成的集合稱為全集, ,記為記為: :U U。不含任何元素的集合稱為空集，記為：不含任何元素的集合稱為空集，記為： 。例例1

5、 1：x x2 2+1=0+1=0實(shí)數(shù)根集合為空集。實(shí)數(shù)根集合為空集。例例2 2：平面上兩條平行線的交點(diǎn)集合為空集。：平面上兩條平行線的交點(diǎn)集合為空集。注：注： 0 0 及及 都不是空集，前者有元素都不是空集，前者有元素0 0，后者，后者有元素有元素。微積分函數(shù)函數(shù)-集合集合的運(yùn)算集合的運(yùn)算集合的并：集合的并：A A B=x|x B=x|x A A 或或x x B B 集合的交：集合的交：A A B=x|x B=x|x A A 且且x x B B 集合的差：集合的差：A A- -B=x|x B=x|x A A 且且x x BB 微積分函數(shù)函數(shù)-集合區(qū)區(qū)間間 在一條直線上指定了一點(diǎn)作為在一條直線

6、上指定了一點(diǎn)作為原點(diǎn)原點(diǎn)OO，再指，再指定了定了正向正向，此外又規(guī)定了，此外又規(guī)定了單位長(zhǎng)度單位長(zhǎng)度，這條直，這條直線就稱為數(shù)軸。線就稱為數(shù)軸。 數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)之間可以建立一一對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)之間可以建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。有時(shí)為了形象化起見，把的關(guān)系。有時(shí)為了形象化起見，把數(shù)數(shù)x x稱為點(diǎn)稱為點(diǎn)x x，就是指數(shù)軸上與數(shù)，就是指數(shù)軸上與數(shù)x x對(duì)應(yīng)的那個(gè)點(diǎn)。對(duì)應(yīng)的那個(gè)點(diǎn)。1 1-1-10 0OOx x微積分函數(shù)函數(shù)-集合閉區(qū)間： a,b=x|axba,b=x|axb開區(qū)間：( (a,b)=x|axba,b)=x|axb左閉右開區(qū)間： a,b)=x|axba,b)=x|axb左開右閉區(qū)間：(

7、(a,b=x|axba,b=x|axb有有限限區(qū)區(qū)間間OOx xa ab bOOx xa ab bOOx xa ab bOOx xa ab b微積分函數(shù)函數(shù)-集合a, + a, + )=x|ax)=x|ax(- (- ,b=x|xb ,b=x|xb(- (- ,b)=x|xb ,b)=x|xb無(wú)無(wú)限限區(qū)區(qū)間間實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集(- (- ,+ ,+) )=x | - =x | - x+ x+ OOx xa aOOx xb b(a, +(a, +)=x|ax)=x|axOOx xb bOOx xa a微積分函數(shù)函數(shù)-集合鄰鄰域域(a,)=x| |x-a| =x|a-xa+=(a-,a+)稱為點(diǎn)a的鄰域

8、鄰域。a稱為鄰域的中心，稱為鄰域的半徑。xaa- a+ 例例：(2 ,1 )= x | |x-2|1 =x | 1x3 =( 1, 3)x213=1=1微積分函數(shù)函數(shù)-集合空空心心鄰鄰域域( a , )= x | 0|x-a| = x | a- xa 或或 axa+ =(a- , a)U(a , a+ )稱為點(diǎn)a的空心鄰域空心鄰域。xaa- a+ 例例：U(2,1)=x|0|x-2|1=x|1x2或或2x03x-2 1x2/3x 1D=(2/3,1) (1,+)例例2：確定函數(shù)y=arcsin 的定義域。25-x21x-15+解：解：解：解：x-15 125-x2 025-x2 0-4x 6

9、|x-1| 525-x2 0-5x0tgx 0tgx1x ( k , k + )解：解：xk +2 2x (k + , k + )42x (k + , k + ), k=0, 1, 2, 3, 為所求的定義域4 2微積分函數(shù)函數(shù)-函數(shù)的性質(zhì)1函數(shù)的有界性函數(shù)的有界性:,)(, 0,成立成立有有若若MxfXxMDX .)(否否則則稱稱無(wú)無(wú)界界上上有有界界在在則則稱稱函函數(shù)數(shù)XxfM-Myxoy=f(x)X有界有界M-MyxoX0 x無(wú)界無(wú)界存在存在任意任意微積分函數(shù)函數(shù)-函數(shù)的性質(zhì)例例1:f(x)=sinx在(-,+)內(nèi)是有界的。因?yàn)閨sinx| 1。例例2:f(x)=1/x在(0 ,1)內(nèi)是無(wú)

10、界的。在1,+)內(nèi)有界。例例3:內(nèi)有界在),(1)(2xxxf),(211) 1(11)(222122xxxxxxxxf微積分函數(shù)函數(shù)-函數(shù)的性質(zhì)2函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性:,)(DIDxf 區(qū)間區(qū)間的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)樵O(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),2121時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)及及上任意兩點(diǎn)上任意兩點(diǎn)如果對(duì)于區(qū)間如果對(duì)于區(qū)間xxxxI ),()()1(21xfxf 恒有恒有;)(上上是是單單調(diào)調(diào)增增加加的的在在區(qū)區(qū)間間則則稱稱函函數(shù)數(shù)Ixf)(xfy )(1xf)(2xfxyoI微積分函數(shù)函數(shù)-函數(shù)的性質(zhì),2121時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)及及上任意兩點(diǎn)上任意兩點(diǎn)如果對(duì)于區(qū)間如果對(duì)于區(qū)間xxxxI ),()()2(21xfxf 恒有恒有;

11、)(上是單調(diào)減少的上是單調(diào)減少的在區(qū)間在區(qū)間則稱函數(shù)則稱函數(shù)Ixf)(xfy )(1xf)(2xfxyoI,)(DIDxf 區(qū)間區(qū)間的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)樵O(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)微積分例如例如, 函數(shù)函數(shù) y x 3 在在( , )內(nèi)單調(diào)增加。內(nèi)單調(diào)增加。3xy xyo微積分 而函數(shù)而函數(shù) y x 2 在區(qū)間在區(qū)間( , 0)內(nèi)單調(diào)減少；在區(qū)間內(nèi)單調(diào)減少；在區(qū)間(0, )內(nèi)單調(diào)增加。內(nèi)單調(diào)增加。2xy xyo微積分函數(shù)函數(shù)-函數(shù)的性質(zhì)例例1: 1:判斷函數(shù)y=y=x x3 3的單調(diào)性。解：解：對(duì)于任意的xl、x2 ，設(shè)xlx2x23 -x130,所以x23 x13 ，故 y=x3在(- ,+)是單調(diào)增加的。

12、當(dāng) x1 x2 0 時(shí) x12 + x1 x2 + x22 0 所以f(x2)-f(x1)0f(x2)-f(x1)=x23 - x1 3 =(x2 - x1)(x12 + x1 x2 + x22)當(dāng) x1 x2 0所以f(x2)-f(x1)0微積分函數(shù)函數(shù)-函數(shù)的性質(zhì)例例2:2:判斷函數(shù)y=2y=2x x2 2+1的單調(diào)性。解：解： xl、x2 R ，設(shè)xlx2(x1+x2)0f(x1)f(x2)f(x)單調(diào)減少單調(diào)減少(x1+x2)0當(dāng)當(dāng) xl、x2 0,+ )f(x1)-f(x2)0f(x1)1時(shí)，函數(shù)單調(diào)增加；時(shí)，函數(shù)單調(diào)增加；當(dāng)當(dāng)0a1 時(shí)時(shí), 函數(shù)單調(diào)增加；函數(shù)單調(diào)增加；當(dāng)當(dāng) 0a0

13、,a1)對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù) y=logax (a是常數(shù),a0,a1)三角函數(shù)三角函數(shù) y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx,y=secx, y=cscx;反三角函數(shù)反三角函數(shù) y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx . 0,過(guò)(0,0),(1,1),在(0, +)遞增 1遞增,0a1遞增,0a1遞減由常數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算及有限由常數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算及有限次的復(fù)合所構(gòu)成并可以用一個(gè)式子表示的函數(shù)，叫次的復(fù)合所構(gòu)成并可以用一個(gè)式子表示的函數(shù)，叫初等函數(shù)初等函數(shù)。微積分函數(shù)函數(shù)-初等函數(shù)三角函數(shù)三角函數(shù)

14、y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx,y=secx, y=cscx;函數(shù)定義域值域周期奇偶單調(diào)y=sinx(-, +)-1,12奇(-/2+2k, /2+2k)遞增(/2+2k, 3 /2+2k)遞減y=cosx(-, +)-1,12偶(+2k, 2 +2k)遞增(2k, +2k)遞減y=tgxx/2+k(-, +)奇(-/2+k, /2+k)遞增y=ctgxxk(-, +)奇(k, +k)遞減y=secxx /2+k (-, -1U1, +)2偶(2k, /2+2k),(/2+2k, +2k) 遞增(-/2+2k,2k),(+2k,3/2+2k)遞減y=cscxxk(-

15、, -1U1, +)2奇(-/2+2k,2k),(2k, /2+2k)遞增(/2+2k,+2k),(+2k, 3/2+2k)遞減微積分函數(shù)函數(shù)-初等函數(shù)y=cscxy=secxy=ctgxy=tgxy=cosxy=sinx微積分函數(shù)函數(shù)-初等函數(shù)y=arcsinxy=arccosxy=arcctgxy=arctgx微積分 由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算或復(fù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算或復(fù)合運(yùn)算得到的一切函數(shù)統(tǒng)稱為合運(yùn)算得到的一切函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù)初等函數(shù). . 二、初等函數(shù)二、初等函數(shù)例如，例如，21xy ，xy2sin ，)sin1ln(xy 等等。等等。本課程討論的函數(shù)絕大多數(shù)都

16、是初等函數(shù)本課程討論的函數(shù)絕大多數(shù)都是初等函數(shù). .微積分例例1 1xxysin 是初等函數(shù)嗎？是初等函數(shù)嗎？利用對(duì)數(shù)恒等式利用對(duì)數(shù)恒等式,logxaxa ,eelnsinlnsinsinxxxxxxy 解解是初等函數(shù)。是初等函數(shù)。一般地，一般地，冪指函數(shù)冪指函數(shù))()(xgxfy )0)( xf也是初等函數(shù)：也是初等函數(shù)：)()(xgxfy .)(log)(xfxgaa 微積分例例2 2分段函數(shù)是初等函數(shù)嗎？分段函數(shù)是初等函數(shù)嗎？解解不是初等函數(shù)；不是初等函數(shù)； 010001sgnxxxxy當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù) 0000|xxxxxxy當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)是初等函數(shù)，因?yàn)槭浅醯群瘮?shù)，因?yàn)?|2xxy 分段函數(shù)可能是初等函數(shù)，也可能不是。分段分段函數(shù)可能是初等函數(shù)，也可能不是。分段只是一