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文檔簡介
1、立體幾何之外接球練習(xí)題(二)一選擇題(共23小題)1(2014陜西)已知底面邊長為1,側(cè)棱長為的正四棱柱的各頂點均在同一球面上,則該球的體積為()AB4C2D2(2012黑龍江)平面截球O的球面所得圓的半徑為1,球心O到平面的距離為,則此球的體積為()AB4C4D63(2006安徽)表面積為的正八面體的各個頂點都在同一個球面上,則此球的體積為()ABCD4(2006四川)如圖,正四棱錐PABCD底面的四個頂點A、B、C、D在球O的同一個大圓上,點P在球面上,如果,則求O的表面積為()A4B8C12D165(2005江西)在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角
2、BACD,則四面體ABCD的外接球的體積為()ABCD6(2004遼寧)設(shè)A、B、C、D是球面上的四個點,且在同一平面內(nèi),AB=BC=CD=DA=3,球心到該平面的距離是球半徑的一半,則球的體積是()ABCD7已知過球面上A、B、C三點的截面和球心的距離等于球半徑的一半,且AB=BC=CA=2,則球面面積是()ABC4D8如圖,有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器,容器高8cm,將一個球放在容器口,再向容器注水,當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6cm,如不計容器的厚度,則球的體積為()ABCD9(2014烏魯木齊三模)點A,B,C,D在同一個球的球面上,AB=BC=2,AC=2,若四面體ABCD
3、體積的最大值為,則該球的表面積為()AB8C9D1210(2014興安盟一模)在三棱椎A(chǔ)BCD中,側(cè)棱AB,AC,AD兩兩垂直,ABC,ACD,ADB的面積分別為,則該三棱椎外接球的表面積為()A2B6CD2411(2014河南模擬)四面體ABCD中,已知AB=CD=,AC=BD=,AD=BC=,則四面體ABCD的外接球的表面積為()A25B45C50D10012(2014遼寧二模)設(shè)A、B、C、D是半徑為2的球面上的四點,且滿足ABAC、ADAC、ABAD,則SABC+SABD+SACD的最大值為()A4B8C12D1613(2014梧州模擬)四棱錐SABCD的底面ABCD是正方形,側(cè)面SA
4、B是以AB為斜邊的等腰直角三角形,且側(cè)面SAB底面ABCD,若AB=2,則此四棱錐的外接球的表面積為()A14B18C20D2414(2014河池一模)如圖,在三棱錐SABC中,M、N分別是棱SC、BC的中點,且MNAM,若AB=2,則此正三棱錐外接球的體積是()A12B4CD1215(2014唐山三模)三棱錐SABC的四個頂點都在球面上,SA是球的直徑,ACAB,BC=SB=SC=2,則該球的表面積為()A4B6C9D1216(2014河南模擬)已知正三棱錐PABC的四個頂點均在球O上,且PA=PB=PC=2,AB=BC=CA=2,則球O的表面積為()A25BCD2017(2014懷化一模)
5、圓柱形容器內(nèi)盛有高度為6cm的水,若放入三個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后,水恰好淹沒最上面的球(如圖所示),則球的半徑是()AcmB2cmC3cmD4cm18(2014四川模擬)三棱錐SABC的所有頂點都在球O的表面上,SA平面ABC,ABBC,又SA=AB=BC=1,則球O的表面積為()ABC3D1219(2014貴陽模擬)已知四棱錐VABCD的頂點都在同一球面上,底面ABCD為矩形,ACBD=G,VG平面ABCD,AB=,AD=3,VG=,則該球的體積為()A36B9C12D420(2011廣州一模)如圖所示,已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2,長為2的線段MN的一
6、個端點M在棱DD1上運動,另一端點N在正方形ABCD內(nèi)運動,則MN的中點的軌跡的面積為()A4B2CD21棱長為的正四面體內(nèi)切一球,然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個小球,則這些球的最大半徑為()ABCD22點A、B、C、D在同一球面上,AB=BC=,AC=2,若四面體ABCD的體積的最大值為,則這個球的表面積為()AB8CD23在球O的表面上有A、B、C三個點,且,ABC的外接圓半徑為2,那么這個球的表面積為()A48B36C24D12二填空題(共7小題)24(2008浙江)如圖,已知球O的面上四點A、B、C、D,DA平面ABC,ABBC,DA=AB=BC=,則球O的體積等于_25(
7、2008海南)一個六棱柱的底面是正六邊形,其側(cè)棱垂直底面已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上,且該六棱柱的高為,底面周長為3,那么這個球的體積為_26(2003北京)如圖,一個底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水若放入一個半徑為r的實心鐵球,水面高度恰好升高r,則=_27已知OA為球O的半徑,過OA的中點M且垂直于OA的平面截球面得到圓M若圓M的面積為3,則球O的表面積等于_28三棱錐PABC的各頂點都在一半徑為R的球面上,球心O在AB上,且有PA=PB=PC,底面ABC中ABC=60°,則球與三棱錐的體積之比是_29將4個半徑都是R的球體完全裝入底面半徑是2R的圓柱形桶中,則桶的最
8、小高度是_30已知圓O1,O2,O3為球O的三個小圓,其半徑分別為,若三個小圓所在的平面兩兩垂直且公共點P在球面上,則球的表面積為_立體幾何之外接球練習(xí)題(二)參考答案與試題解析一選擇題(共23小題)1(2014陜西)已知底面邊長為1,側(cè)棱長為的正四棱柱的各頂點均在同一球面上,則該球的體積為()AB4C2D考點:球的體積和表面積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題:計算題;空間位置關(guān)系與距離分析:由長方體的對角線公式,算出正四棱柱體對角線的長,從而得到球直徑長,得球半徑R=1,最后根據(jù)球的體積公式,可算出此球的體積解答:解:正四棱柱的底面邊長為1,側(cè)棱長為,正四棱柱體對角線的長為=2又正四棱柱的頂點在同一球面上
9、,正四棱柱體對角線恰好是球的一條直徑,得球半徑R=1根據(jù)球的體積公式,得此球的體積為V=R3=故選:D點評:本題給出球內(nèi)接正四棱柱的底面邊長和側(cè)棱長,求該球的體積,考查了正四棱柱的性質(zhì)、長方體對角線公式和球的體積公式等知識,屬于基礎(chǔ)題2(2012黑龍江)平面截球O的球面所得圓的半徑為1,球心O到平面的距離為,則此球的體積為()AB4C4D6考點:球的體積和表面積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題:計算題分析:利用平面截球O的球面所得圓的半徑為1,球心O到平面的距離為,求出球的半徑,然后求解球的體積解答:解:因為平面截球O的球面所得圓的半徑為1,球心O到平面的距離為,所以球的半徑為:=所以球的體積為:=4故選B
10、點評:本題考查球的體積的求法,考查空間想象能力、計算能力3(2006安徽)表面積為的正八面體的各個頂點都在同一個球面上,則此球的體積為()ABCD考點:球的體積和表面積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題:計算題;綜合題分析:設(shè)出正八面體的邊長,利用表面積,求出邊長,然后求球的直徑,再求體積解答:解:此正八面體是每個面的邊長均為a的正三角形,所以由知,a=1,則此球的直徑為,球的體積為故選A點評:本題考查學(xué)生空間想象能力,邏輯思維能力,正八面體的外接球的體積,是中檔題4(2006四川)如圖,正四棱錐PABCD底面的四個頂點A、B、C、D在球O的同一個大圓上,點P在球面上,如果,則求O的表面積為()A4B8C12
11、D16考點:球的體積和表面積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題:計算題;綜合題分析:由題意可知,PO平面ABCD,并且是半徑,由體積求出半徑,然后求出球的表面積解答:解:如圖,正四棱錐PABCD底面的四個頂點A,B,C,D在球O的同一個大圓上,點P在球面上,PO底面ABCD,PO=R,SABCD=2R2,所以,R=2,球O的表面積是16,故選D點評:本題考查球的內(nèi)接體問題,球的表面積、體積,考查學(xué)生空間想象能力,是基礎(chǔ)題5(2005江西)在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角BACD,則四面體ABCD的外接球的體積為()ABCD考點:球的體積和表面積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題:計算
12、題分析:球心到球面各點的距離相等,即可知道外接球的半徑,就可以求出其體積了解答:解:由題意知,球心到四個頂點的距離相等,所以球心在對角線AC上,且其半徑為AC長度的一半,則V球=×()3=故選C點評:本題考查學(xué)生的思維意識,對球的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)的運用,是基礎(chǔ)題6(2004遼寧)設(shè)A、B、C、D是球面上的四個點,且在同一平面內(nèi),AB=BC=CD=DA=3,球心到該平面的距離是球半徑的一半,則球的體積是()ABCD考點:球的體積和表面積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題:計算題;綜合題分析:設(shè)出球的半徑,球心到該平面的距離是球半徑的一半,結(jié)合ABCD的對角線的一般,滿足勾股定理,求出R即可求球的體積解答:解
13、:設(shè)球的半徑為R,由題意可得R=球的體積是:=故選A點評:本題考查球的體積,考查空間想象能力,計算能力,是基礎(chǔ)題7已知過球面上A、B、C三點的截面和球心的距離等于球半徑的一半,且AB=BC=CA=2,則球面面積是()ABC4D考點:球的體積和表面積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題:計算題分析:由AB=BC=CA=2,求得ABC的外接圓半徑為r,再由R2(R)2=,求得球的半徑,再用面積求解解答:解:因為AB=BC=CA=2,所以ABC的外接圓半徑為r=設(shè)球半徑為R,則R2(R)2=,所以R2=S=4R2=故選D點評:本題主要考查球的球面面積,涉及到截面圓圓心與球心的連垂直于截面,這是求得相關(guān)量的關(guān)鍵8如圖,
14、有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器,容器高8cm,將一個球放在容器口,再向容器注水,當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6cm,如不計容器的厚度,則球的體積為()ABCD考點:球的體積和表面積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題:計算題;空間位置關(guān)系與距離分析:設(shè)正方體上底面所在平面截球得小圓M,可得圓心M為正方體上底面正方形的中心設(shè)球的半徑為R,根據(jù)題意得球心到上底面的距離等于(R2)cm,而圓M的半徑為4,由球的截面圓性質(zhì)建立關(guān)于R的方程并解出R=5,用球的體積公式即可算出該球的體積解答:解:設(shè)正方體上底面所在平面截球得小圓M,則圓心M為正方體上底面正方形的中心如圖設(shè)球的半徑為R,根據(jù)題意得球心到上底面的距離等
15、于(R2)cm,而圓M的半徑為4,由球的截面圓性質(zhì),得R2=(R2)2+42,解出R=5,根據(jù)球的體積公式,該球的體積V=故選A點評:本題給出球與正方體相切的問題,求球的體積,著重考查了正方體的性質(zhì)、球的截面圓性質(zhì)和球的體積公式等知識,屬于中檔題9(2014烏魯木齊三模)點A,B,C,D在同一個球的球面上,AB=BC=2,AC=2,若四面體ABCD體積的最大值為,則該球的表面積為()AB8C9D12考點:球的體積和表面積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題:計算題;球分析:根據(jù)幾何體的特征,判定外接球的球心,求出球的半徑,即可求出球的表面積解答:解:根據(jù)題意知,ABC是一個直角三角形,其面積為1其所在球的小圓的
16、圓心在斜邊AC的中點上,設(shè)小圓的圓心為Q,若四面體ABCD的體積的最大值,由于底面積SABC不變,高最大時體積最大,所以,DQ與面ABC垂直時體積最大,最大值為×SABC×DQ=,SABC=ACBQ=即××DQ=,DQ=2,如圖設(shè)球心為O,半徑為R,則在直角AQO中,OA2=AQ2+OQ2,即R2=()2+(2R)2,R=則這個球的表面積為:S=4()2=9;故選:C點評:本題考查的知識點是球內(nèi)接多面體,球的表面積,其中分析出何時四面體ABCD的體積的最大值,是解答的關(guān)鍵10(2014興安盟一模)在三棱椎A(chǔ)BCD中,側(cè)棱AB,AC,AD兩兩垂直,ABC,
17、ACD,ADB的面積分別為,則該三棱椎外接球的表面積為()A2B6CD24考點:球的體積和表面積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題:計算題;空間位置關(guān)系與距離分析:三棱錐ABCD中,側(cè)棱AB、AC、AD兩兩垂直,補成長方體,兩者的外接球是同一個,長方體的對角線就是球的直徑,求出長方體的三度,轉(zhuǎn)化為對角線長,即可求三棱錐外接球的表面積解答:解:三棱錐ABCD中,側(cè)棱AB、AC、AD兩兩垂直,補成長方體,兩者的外接球是同一個,長方體的對角線就是球的直徑,側(cè)棱AC、AC、AD兩兩垂直,ABC、ACD、ADB 的面積分別為、,ABAC=,ADAC=,ABAD=AB=,AC=1,AD=球的直徑為:=半徑為三棱錐外接球的
18、表面積為4×=6故選:B點評:本題考查三棱錐外接球的表面積,三棱錐轉(zhuǎn)化為長方體,兩者的外接球是同一個,以及長方體的對角線就是球的直徑是解題的關(guān)鍵所在11(2014河南模擬)四面體ABCD中,已知AB=CD=,AC=BD=,AD=BC=,則四面體ABCD的外接球的表面積為()A25B45C50D100考點:球的體積和表面積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題:空間位置關(guān)系與距離分析:將四面體補成長方體,通過求解長方體的對角線就是球的直徑,然后求解外接球的表面積解答:解:由題意可采用割補法,考慮到四面體ABCD的四個面為全等的三角形,所以可在其每個面補上一個以,為三邊的三角形作為底面,且以分別x,y,z長
19、、兩兩垂直的側(cè)棱的三棱錐,從而可得到一個長、寬、高分別為x,y,z的長方體,并且x2+y2=29,x2+z2=34,y2+z2=37,則有(2R)2=x2+y2+z2=50(R為球的半徑),得R2=,所以球的表面積為S=4R2=50故選:C點評:本題考查幾何體的外接球的表面積的求法,割補法的應(yīng)用,判斷外接球的直徑是長方體的對角線的長是解題的關(guān)鍵之一12(2014遼寧二模)設(shè)A、B、C、D是半徑為2的球面上的四點,且滿足ABAC、ADAC、ABAD,則SABC+SABD+SACD的最大值為()A4B8C12D16考點:球的體積和表面積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題:球分析:三棱錐ABCD是長方體的三個面,擴
20、展為長方體,它的對角線就是球的直徑,設(shè)出AB=a,AC=b,AD=c,求出三個三角形面積的和,利用直徑等于長方體的對角線的關(guān)系,以及基本不等式,求出面積最大值解答:解:設(shè)AB=a,AC=b,AD=c,因為AB,AC,AD兩兩互相垂直所以a2+b2+c2=4×22SABC+SACD+SADB=(ab+ac+bc)(a2+b2+c2)=8即最大值8故選:B點評:本題考查球的內(nèi)接體問題,考查基本不等式,空間想象能力,邏輯思維能力,是中檔題13(2014梧州模擬)四棱錐SABCD的底面ABCD是正方形,側(cè)面SAB是以AB為斜邊的等腰直角三角形,且側(cè)面SAB底面ABCD,若AB=2,則此四棱錐
21、的外接球的表面積為()A14B18C20D24考點:球的體積和表面積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題:計算題;空間位置關(guān)系與距離分析:利用側(cè)面SAB是以AB為斜邊的等腰直角三角形,且側(cè)面SAB底面ABCD,設(shè)ACBD=O,取AB中點E,可得O為球心,球的半徑,即可求出四棱錐SABCD的外接球表面積解答:解:側(cè)面SAB是以AB為斜邊的等腰直角三角形,且側(cè)面SAB底面ABCD,設(shè)ACBD=O,取AB中點E,有OE=SE=AB,OS=AB,O為球心,球的半徑為四棱錐SABCD的外接球表面積為4×()2=24故選:D點評:本題考查四棱錐SABCD的外接球表面積,考查學(xué)生的計算能力,確定四棱錐SABCD的外
22、接球的半徑是關(guān)鍵14(2014河池一模)如圖,在三棱錐SABC中,M、N分別是棱SC、BC的中點,且MNAM,若AB=2,則此正三棱錐外接球的體積是()A12B4CD12考點:球的體積和表面積;直線與平面垂直的判定菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題:球分析:由題意推出MN平面SAC,即SB平面SAC,ASB=BSC=ASC=90°,將此三棱錐補成正方體,則它們有相同的外接球,正方體的對角線就是球的直徑,求出直徑即可求出球的表面積解答:解:三棱錐SABC正棱錐,SBAC(對棱互相垂直)MNAC又MNAM而AMAC=A,MN平面SAC即SB平面SACASB=BSC=ASC=90°,將此三棱錐補
23、成正方體,則它們有相同的外接球側(cè)棱長為:2,R=,正三棱錐外接球的體積是=故選:B點評:本題是中檔題,考查三棱錐的外接球的體積,考查空間想象能力,三棱錐擴展為正方體,它的對角線長就是外接球的直徑,是解決本題的關(guān)鍵15(2014唐山三模)三棱錐SABC的四個頂點都在球面上,SA是球的直徑,ACAB,BC=SB=SC=2,則該球的表面積為()A4B6C9D12考點:球的體積和表面積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題:計算題;空間位置關(guān)系與距離分析:由題意,SA是球的直徑,可得SCAC,SBBA,利用ACAB,BC=SB=SC=2,可得AC=,AC=,即可求出SA,從而可求球的表面積解答:解:由題意,SA是球的直徑
24、,SCAC,SBBA,ACAB,BC=SB=SC=2,AC=,AC=SA2=6,SA=,球的半徑為,球的表面積為4=6,故選:B點評:本題考查球的表面積,考查學(xué)生的計算能力,確定SA是關(guān)鍵16(2014河南模擬)已知正三棱錐PABC的四個頂點均在球O上,且PA=PB=PC=2,AB=BC=CA=2,則球O的表面積為()A25BCD20考點:球的體積和表面積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題:空間位置關(guān)系與距離分析:先確定底面三角形外接圓的半徑,進而求得正三棱錐的高,再利用勾股定理,求得外接球的半徑,即可求得外接球的表面積解答:解:設(shè)P在平面ABC中的射影為D,則AB=BC=CA=2,AD=×
25、5;2=2,PA=2,PD=4,設(shè)外接球的半徑為R,則R2=22+(4R)2,R=,外接球的表面積為4R2=25,故選:A點評:本題考查正三棱錐的外接球的表面積,考查學(xué)生的計算能力,正確運用正三棱錐的性質(zhì)是關(guān)鍵17(2014懷化一模)圓柱形容器內(nèi)盛有高度為6cm的水,若放入三個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后,水恰好淹沒最上面的球(如圖所示),則球的半徑是()AcmB2cmC3cmD4cm考點:球的體積和表面積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題:球分析:設(shè)出球的半徑,三個球的體積和水的體積之和,等于柱體的體積,求解即可解答:解:設(shè)球半徑為r,則由3V球+V水=V柱可得3×r3+r2
26、5;6=r2×6r,解得r=3故選:C點評:本題考查幾何體的體積,考查學(xué)生空間想象能力,是基礎(chǔ)題18(2014四川模擬)三棱錐SABC的所有頂點都在球O的表面上,SA平面ABC,ABBC,又SA=AB=BC=1,則球O的表面積為()ABC3D12考點:球的體積和表面積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題:計算題;球分析:根據(jù)題意,三棱錐SABC擴展為正方體,正方體的外接球的球心就是正方體體對角線的中點,求出正方體的對角線的長度,即可求解球的半徑,從而可求三棱錐SABC的外接球的表面積解答:解:三棱錐SABC的所有頂點都在球O的表面上,SA平面ABC,ABBC,又SA=AB=BC=1,三棱錐擴展為正方體
27、的外接球,外接球的直徑就是正方體的對角線的長度,球的半徑R=球的表面積為:4R2=4=3故選:C點評:本題考查三棱錐SABC的外接球的表面積,解題的關(guān)鍵是確定三棱錐SABC的外接球的球心與半徑19(2014貴陽模擬)已知四棱錐VABCD的頂點都在同一球面上,底面ABCD為矩形,ACBD=G,VG平面ABCD,AB=,AD=3,VG=,則該球的體積為()A36B9C12D4考點:球的體積和表面積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題:計算題;空間位置關(guān)系與距離分析:分析可知,VAC所在的圓為球的大圓,從而知要解VAC;從而得到體積解答:解:底面ABCD為矩形,AB=,AD=3,AC=由ACBD=G,VG平面ABCD
28、知,VAC所在的圓為球的大圓,且在VAC中,由AC=,VG=,VG平面ABCD知,VA=VC=,AC2=VA2+VC2,則VAC為直角三角形,則球的半徑R=則該球的體積為V=4故選D點評:本題考查了學(xué)生的空間想象能力,難點在于找到球的半徑與四棱錐之間的量的關(guān)系屬于中檔題20(2011廣州一模)如圖所示,已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2,長為2的線段MN的一個端點M在棱DD1上運動,另一端點N在正方形ABCD內(nèi)運動,則MN的中點的軌跡的面積為()A4B2CD考點:球的體積和表面積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題:計算題;壓軸題分析:根據(jù)題意,連接N點與D點,得到一個直角三角形NMD,P為斜邊MN的
29、中點,所以|PD|的長度不變,進而得到點P的軌跡是球面的一部分解答:解:如圖可得,端點N在正方形ABCD內(nèi)運動,連接N點與D點,由ND,DM,MN構(gòu)成一個直角三角形,設(shè)P為MN的中點,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線長度為斜邊的一半可得不論MDN如何變化,P點到D點的距離始終等于1故P點的軌跡是一個以D為中心,半徑為1的球的球面積 所以答案為,故選D點評:解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉結(jié)合體的結(jié)構(gòu)特征與球的定義以及其表面積的計算公式21棱長為的正四面體內(nèi)切一球,然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個小球,則這些球的最大半徑為()ABCD考點:球的體積和表面積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題:計算題;壓軸題;轉(zhuǎn)化思想
30、分析:棱長為的正四面體內(nèi)切一球,那么球O與此正四面體的四個面相切,即球心到四個面的距離都是半徑,由等體積法求出球的半徑,求出上面三棱錐的高,利用相似比求出上部空隙處放入一個小球,求出這球的最大半徑解答:解:由題意,此時的球與正四面體相切,由于棱長為的正四面體,故四個面的面積都是=3又頂點A到底面BCD的投影在底面的中心G,此G點到底面三個頂點的距離都是高的倍,又高為=3,故底面中心G到底面頂點的距離都是2由此知頂點A到底面BCD的距離是=2此正四面體的體積是×2×3=2,又此正四面體的體積是×r×3×4,故有r=上面的三棱錐的高為,原正四面體的
31、高為2,所以空隙處放入一個小球,則這球的最大半徑為a,a=故選C點評:本題考查球的體積和表面積,用等體積法求出球的半徑,熟練掌握正四面體的體積公式及球的表面積公式是正確解題的知識保證相似比求解球的半徑是解題的關(guān)鍵22點A、B、C、D在同一球面上,AB=BC=,AC=2,若四面體ABCD的體積的最大值為,則這個球的表面積為()AB8CD考點:球的體積和表面積;球內(nèi)接多面體菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題:空間位置關(guān)系與距離分析:根據(jù)幾何體的特征,判定外接球的球心,求出球的半徑,即可求出球的表面積解答:解:根據(jù)題意知,ABC是一個直角三角形,其面積為1其所在球的小圓的圓心在斜邊AC的中點上,設(shè)小圓的圓心為Q,若
32、四面體ABCD的體積的最大值,由于底面積SABC不變,高最大時體積最大,所以,DQ與面ABC垂直時體積最大,最大值為SABC×DQ=,即×1×DQ=,DQ=2,如圖設(shè)球心為O,半徑為R,則在直角AQO中,OA2=AQ2+OQ2,即R2=12+(2R)2,R=則這個球的表面積為:S=4()2=;故選C點評:本題考查的知識點是球內(nèi)接多面體,球的表面積,其中分析出何時四面體ABCD的體積的最大值,是解答的關(guān)鍵23在球O的表面上有A、B、C三個點,且,ABC的外接圓半徑為2,那么這個球的表面積為()A48B36C24D12考點:球的體積和表面積;球內(nèi)接多面體菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
33、專題:計算題分析:根據(jù),OA=OB=OC,可得四面體OABC為正四面體,利用ABC的外接圓半徑為2,確定球的半徑,進而可求球的表面積解答:解:由題意,OA=OB=OC四面體OABC為正四面體設(shè)球的半徑為r,則正四面體的棱長為rABC的外接圓半徑為2,r=球的表面積為故選A點評:本題考查球的表面積,考查正四面體的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是確定球的半徑二填空題(共7小題)24(2008浙江)如圖,已知球O的面上四點A、B、C、D,DA平面ABC,ABBC,DA=AB=BC=,則球O的體積等于考點:球的體積和表面積;球內(nèi)接多面體菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題:計算題分析:說明CDB是直角三角形,ACD是直角三角形,球的
34、直徑就是CD,求出CD,即可求出球的體積解答:解:ABBC,ABC的外接圓的直徑為AC,AC=,由DA面ABC得DAAC,DABC,CDB是直角三角形,ACD是直角三角形,CD為球的直徑,CD=3,球的半徑R=,V球=R3=故答案為:點評:本題是基礎(chǔ)題,考查球的內(nèi)接多面體,說明三角形是直角三角形,推出CD是球的直徑,是本題的突破口,解題的重點所在,考查分析問題解決問題的能力25(2008海南)一個六棱柱的底面是正六邊形,其側(cè)棱垂直底面已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上,且該六棱柱的高為,底面周長為3,那么這個球的體積為考點:球的體積和表面積;棱柱的結(jié)構(gòu)特征菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題:計算題;綜合題;壓
35、軸題分析:先求正六棱柱的體對角線,就是外接球的直徑,然后求出球的體積解答:解:正六邊形周長為3,得邊長為,故其主對角線為1,從而球的直徑,R=1,球的體積故答案為:點評:正六棱柱及球的相關(guān)知識,易錯點:空間想象能力不強,找不出球的直徑空間想象能力是立體幾何中的一個重要能力之一,平時要加強培養(yǎng)26(2003北京)如圖,一個底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水若放入一個半徑為r的實心鐵球,水面高度恰好升高r,則=考點:球的體積和表面積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題:計算題;綜合題分析:先求半徑為r的實心鐵球的體積,等于升高的水的體積,可得結(jié)論解答:解:半徑為r的實心鐵球的體積是:升高的水的體積是:R2r所以
36、:故答案為:點評:本題考查球的體積,考查空間想象能力,是基礎(chǔ)題27已知OA為球O的半徑,過OA的中點M且垂直于OA的平面截球面得到圓M若圓M的面積為3,則球O的表面積等于16考點:球的體積和表面積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題:計算題;壓軸題分析:由題意求出圓M的半徑,設(shè)出球的半徑,二者與OM構(gòu)成直角三角形,求出球的半徑,然后可求球的表面積解答:解:圓M的面積為3,圓M的半徑r=,設(shè)球的半徑為R,由圖可知,R2=R2+3,R2=3,R2=4S球=4R2=16故答案為:16點評:本題是基礎(chǔ)題,考查球的體積、表面積的計算,理解并能夠應(yīng)用小圓的半徑、球的半徑、以及球心與圓心的連線的關(guān)系,是本題的突破口,解題重點所在,仔細(xì)體會28三棱錐PABC的各頂點都在一半徑為R的球面上,球心O在AB上,且有PA=PB=PC,底面ABC中ABC=60°,則球與三棱錐的體積之比是考點:球
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