特殊四邊形經(jīng)典例題(有詳解)

1、特殊四邊形經(jīng)典例題1. 2022?金山區(qū)二模在以下命題中，是真命題的是A .兩條對(duì)角線相等的四邊形是矩形B .兩條對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形C .兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形D .兩條對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形2. 2022?泰州以下四個(gè)命題： 一組對(duì)邊平行且一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形； 對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形； 順次連接矩形四邊中點(diǎn)得到的四邊形是菱形； 正五邊形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形其中真命題共有A . 1個(gè)B . 2個(gè)C . 3個(gè)D . 4個(gè)3. ，在平面直角坐標(biāo)系中放置了 5個(gè)如下列圖的正方形 用陰影表示，點(diǎn)B1在y軸上， 點(diǎn)C1、E1、

2、E2、C2、E3、E4、C3均在x軸正半軸上.假設(shè)正方形 A1B1C1D1的邊長(zhǎng)為1,/ B1C1O=60 ° 且 B1C1 / B2C2/ B3C3,那么點(diǎn) A3 的坐標(biāo)是 yR；nA2VW.QG£Ei Ci亍A.UB .寧.yD4. 以下命題中正確的選項(xiàng)是A.對(duì)角線相互垂直的平行四邊形是矩形 B .對(duì)角線相等的平行四邊形是菱形 C .對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形D .對(duì)角線相等的四邊形是平行四邊形5. 如圖，在平行四邊形 ABCD中，E, F分別是邊AD , BC的中點(diǎn)，AC分別交BE, DF于點(diǎn)M, N .給出以下結(jié)論: ABM CDN ; AM=DN=2NF ; S

3、四邊形 BFNM=-平行四邊形ABCD .其中正確的結(jié)論有A . 1個(gè)B . 2個(gè)C . 3個(gè)6. 如圖，正方形 ABCD中，點(diǎn)E、N是對(duì)角線BD上兩動(dòng)點(diǎn)，過(guò)這兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)作矩形 EFCH ,MNQP，分別內(nèi)接于 BCD和厶ABD，設(shè)矩形 EFCH，MNQP的周長(zhǎng)分別為 mi, m2,貝U m1，m2的大小關(guān)系為A . mi> m2C. mi=m27.如圖， AD是三角形紙片 ABC的高, 給出以下判斷： EF是厶ABC的中位線； DEF的周長(zhǎng)等于 ABC周長(zhǎng)的一半； 假設(shè)四邊形AEDF是菱形，那么 AB=AC ; 假設(shè)/ BAC是直角， 其中正確的選項(xiàng)是B. miv m2D . mi, m

4、2的大小不確定將紙片沿直線 EF折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合,那么四邊形 AEDF是矩形, LIAZB1A .Pi巳B .C.D .&如圖， A1, A2, A3, -An 是 x 軸上的點(diǎn)，且 0A 仁 A1A2=A2A3= -=An-lAn=1，分別過(guò)點(diǎn)Ai, A2, A3, -An作x軸的垂線交反比例函數(shù) y= ° x > 0的圖象于點(diǎn)Bi, B2, B3, -Bn,X過(guò)點(diǎn)B2作B2P1丄AiBi于點(diǎn)Pi,過(guò)點(diǎn)B3作B3P2丄A2B2于點(diǎn)P2，記厶B1P1B2的面積為 Si, B2P2B3 的面積為 S2， BnPnBn+i 的面積為 Sn,貝U Si+S2+S3+ -

5、+Sn=.9. 20i3?歷城區(qū)三模如圖，在斜邊長(zhǎng)為i的等腰直角三角形 OAB中，作內(nèi)接正方形AiBiDiCi;在等腰直角三角形 OAiBi中作內(nèi)接正方形 A2B2D2C2；在等腰直角三角形 OA2B2 中作內(nèi)接正方形 A3B3D3C3;；依次做下去，那么第 n個(gè)正方形AnBnDnCn的邊長(zhǎng)是i0.如圖，在線段BG同側(cè)作正方形 ABCD和正方形 CEFG,其中BG=i0 , BC: CG=2 : 3,貝H Saecg=, Saaeg=.25.如圖，在 Rt ABC中，/ C=90° AC=6 , BC=8，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始，沿邊 AC向點(diǎn)C以每秒i個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A開(kāi)

6、始，沿邊AB向點(diǎn)B以每秒"個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，且恰好能始終保持連結(jié)兩動(dòng)點(diǎn)的直線PD丄AC,動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開(kāi)始，沿邊CB向點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，連結(jié) PQ.點(diǎn)P, D , Q分別從點(diǎn)A , C同時(shí)出 發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另兩個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒t%.1當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形 BQPD的面積為 ABC面積的丄？2是否存在t的值，使四邊形 PDBQ為平行四邊形？假設(shè)存在，求出t的值；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由；3是否存在t的值，使四邊形 PDBQ為菱形？假設(shè)存在，求出 t的值；假設(shè)不存在，說(shuō) 明理由，并探究如何改變點(diǎn) Q的速度勻速運(yùn)動(dòng)，使四邊形PDBQ在某一時(shí)刻為

7、菱形，求 點(diǎn)Q的速度.11 鄰邊不相等的矩形紙片，剪去一個(gè)正方形，余下一個(gè)四邊形，稱為第一次操作；在余下的四邊形中減去一個(gè)正方形，又余下一個(gè)四邊形，稱為第二次操作；，以此類推，假設(shè)第n次操作后余下的四邊形是正方形，那么稱原矩形是n階矩形.如圖1,矩形ABCD中，假設(shè)AB=1 , AD=2，那么矩形ABCD是1階矩形.探究：1兩邊分別是2和3的矩形是 _ 階矩形；2小聰為了剪去一個(gè)正方形， 進(jìn)行如下的操作：如圖2,把矩形ABCD沿著B(niǎo)E折疊點(diǎn) E在AD上，使點(diǎn)A落在BC的點(diǎn)F處，得到四邊形 ABFE .請(qǐng)證明四邊形 ABFE是正方 形.3操作、計(jì)算： 矩形的兩邊分別是 2, a a>2，而

8、且它是3階矩形，請(qǐng)畫(huà)出此矩形及裁剪線的示意圖，并在示意圖下方直接寫(xiě)出a的值； 矩形的兩鄰邊長(zhǎng)為 a, b, a> b，且滿足a=5b+m, b=4m .請(qǐng)直接寫(xiě)出矩形是幾階 矩形.AD AE,iF*$占圍1SF圉2 *12. 2022?江西如圖1，在等腰梯形 ABCD中，AD / BC ,E是AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF/ BC 交 CD 于點(diǎn) F. AB=4 , BC=6 , / B=60 度.1求點(diǎn)E到BC的距離；2點(diǎn)P為線段EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò) P作PM丄EF交BC于點(diǎn)M，過(guò)M作MN / AB交 折線ADC于點(diǎn)N，連接PN，設(shè)EP=x. 當(dāng)點(diǎn)N在線段AD上時(shí)如圖2， PMN的形狀是否發(fā)

9、生改變？假設(shè)不變，求出 PMN的周長(zhǎng)；假設(shè)改變，請(qǐng)說(shuō)明理由； 當(dāng)點(diǎn)N在線段DC上時(shí)如圖3，是否存在點(diǎn) 卩，使厶PMN為等腰三角形？假設(shè)存在， 請(qǐng)求出所有滿足要求的 x的值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.-Vffi 1圖2圏313. 如圖，梯形 ABCD 中 AD / BC, AB 丄 CB, AB=6cm , BC=14cm , AD=8cm，點(diǎn) E 為AB上一點(diǎn)，且 AE=2cm ;點(diǎn)F為AD上一動(dòng)點(diǎn)，以 EF為邊作菱形 EFGH，且點(diǎn)H落在邊 BC上，點(diǎn)G在梯形ABCD的內(nèi)部或邊 CD上，設(shè)AF=x1直接寫(xiě)出腰 CD的長(zhǎng)與/ DCB的度數(shù)；2在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某個(gè) x的值，使得四邊形 E

10、FGH為正方形？假設(shè)存在， 請(qǐng)求出x的值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.x的值.答案詳解1. 2022?金山區(qū)二模在以下命題中，是真命題的是A .兩條對(duì)角線相等的四邊形是矩形B .兩條對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形C.兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形D .兩條對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形解答：應(yīng)選C.2. 2022?泰州以下四個(gè)命題： 一組對(duì)邊平行且一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形； 對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形； 順次連接矩形四邊中點(diǎn)得到的四邊形是菱形； 正五邊形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形其中真命題共有A . 1個(gè)B . 2個(gè)C. 3個(gè)D . 4個(gè)解答：解：一組對(duì)邊平行，且

11、一組對(duì)角相等，那么可以判定另外一組對(duì)邊也平行，所以該 四邊形是平行四邊形，故該命題正確； 對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形不一定是正方形，也可以是普通的四邊形例如 箏形，箏形的對(duì)角線垂直但不相等，不是正方形，故該命題錯(cuò)誤； 因?yàn)榫匦蔚膶?duì)角線相等，所以連接矩形的中點(diǎn)后都是對(duì)角線的中位線，所以四邊 相等，所以是菱形，故該命題正確； 正五邊形只是軸對(duì)稱圖形不是中心對(duì)稱圖形，故該命題錯(cuò)誤；所以正確的命題個(gè)數(shù)為 2個(gè)，應(yīng)選B .3. ，在平面直角坐標(biāo)系中放置了5個(gè)如下列圖的正方形用陰影表示，點(diǎn)B1在y軸上，點(diǎn)C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3均在x軸正半軸上.假設(shè)正方形 A1B1C1D1的邊長(zhǎng)為 1,

12、 / B1C1O=60 ° 且 B1C1/ B2C2/ B3C3,那么點(diǎn) A3 的坐標(biāo)是A .一B . r 考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).點(diǎn)評(píng):oci=2 xi=2,CiEi=''Xi：一：； = ,EiE2丄 X1 =2 2222A1B1C1D1的邊長(zhǎng)為1,丄C2E3=E2B2=,2E3E4=X- 2 3E4C3=X'=,63 66點(diǎn)A3延長(zhǎng)正方形的邊交 x軸于M,斗丄遲衛(wèi)A3N=並總3 3 39 ?9C3N=24X23 3E2C2詁 一 ；=,X A，過(guò). B3C3=2E4C3=2 X =-6 3過(guò)點(diǎn)A3作A3N丄x軸于N，貝

13、yA3M="IsC3M=IS.應(yīng)選C.,ON=3+3 1 3 任.二 ，=*，'點(diǎn)A3在第一象限，.點(diǎn)A3的坐標(biāo)是-'：，:此題考查了正方形的四條邊都相等性質(zhì)，解含30°角的直角三角形，依次求出 x軸上專題：規(guī)律型.分析：根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得/ B3C3O=Z B2C2O= / BiCiO=60°,然后解直角三角形求出 OCi、C1E、E1E2、E2C2、C2E3、E3E4、E4C3,再求出 B3C3,過(guò)點(diǎn) A3延長(zhǎng) 正方形的邊父x軸于M,過(guò)點(diǎn)A3作A3N丄x軸于N，先求出A3M，再解直角三角形 求出A3N、C3N，然后求出ON，再根據(jù)點(diǎn)

14、A3在第一象限寫(xiě)出坐標(biāo)即可.解答：解：如圖，/ BiCi/ B2C2/ B3C3, / B3C3O= / B2C2O= / B1C1O=60 ° 正方形各線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于過(guò)點(diǎn)A3作輔助線構(gòu)造出含 60°角的直角三角形.4. 以下命題中正確的選項(xiàng)是A .對(duì)角線相互垂直的平行四邊形是矩形B .對(duì)角線相等的平行四邊形是菱形C.對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形D .對(duì)角線相等的四邊形是平行四邊形考點(diǎn)：命題與定理.分析：根據(jù)矩形、菱形、等腰梯形、平行四邊形的判定方法對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除 法求解.解答：解：A、對(duì)角線相互垂直的平行四邊形是菱形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、對(duì)角線相

15、等的平行四邊形是矩形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形，正確，故本選項(xiàng)正確；D、對(duì)角線相等的四邊形形狀不確定，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤. 應(yīng)選C.點(diǎn)評(píng)：此題主要考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題.判 斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理.5. 如圖，在平行四邊形 ABCD中，E, F分別是邊AD , BC的中點(diǎn)，AC分別交BE, DF于點(diǎn)M, N .給出以下結(jié)論: ABM CDN ; AM=AC ; DN=2NF ; S四邊形BFNM =1=1S平行四邊形ABCD .其中正確的結(jié)論有考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì).分析：先結(jié)

16、合平行四邊形性質(zhì)，根據(jù) ASA得出 ABM CDN，從而得出DN=BM , AM=CN ;再由三角形中位線定理、相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得出CN=MN ,BM=DN=2NF ;由S?BFDE=S?ABCD , S四邊形BFNM_S?BFDE，易證得 S四邊形BFNM=S平行四邊形ABCD .la:丄解答：解: 四邊形 ABCD 是平行四邊形， AD=BC , AB=CD , 且 AD / BC AB / CD ,C. 3個(gè)D. 4個(gè) / BAM= / DCN ,/ E, F分別是邊AD , BC的中點(diǎn)， DE=BF , 四邊形BFDE是平行四邊形， BE / DF, / AMB= / EMN=

17、 / FNM= / CND，在 ABM CDN ,、加CD ABM CDN AAS，故 正確； AM=CN , BM=DN ,/ AMB= / DNC= / FNA , NF / BM , / F為BC的中點(diǎn)， NF為三角形 BCM 的中位線， BM=DN=2NF ,4 S?ABCD , S四邊形CN=MN=AM ,BFNM=：S?BFDE , S 四邊形 BFNM AMAC , DN=2NF，故 正確；/ S?BFDE平行四邊形ABCD .故 正確；綜上所述，正確的結(jié)論是： ，共有4個(gè).應(yīng)選D .點(diǎn)評(píng):此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的判 定與性質(zhì).注意，

18、三角形中位線定理的應(yīng)用.mi v m2mi, m2的大小不確定6. 如圖，正方形 ABCD中，點(diǎn)E、N是對(duì)角線BD上兩動(dòng)點(diǎn)，過(guò)這兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)作矩形 EFCH , MNQP，分別內(nèi)接于 BCD和厶ABD，設(shè)矩形 EFCH , MNQP的周長(zhǎng)分別為 mi, m2,貝Um1, m2的大小關(guān)系為A . mi > m2C. mi=m2D.考 正方形的性質(zhì)；等腰直角三角形；矩形的性質(zhì).占：八、分根據(jù)正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)角可得/ ABD= / ADB= / CBD= / CDB=45 °然后析： 求出MN=BN , PQ=QD , BF=EF , EH=DH，再設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為 a,然后用a

19、表示出 mi, m2，進(jìn)行判斷即可.解 解：點(diǎn)E、N是正方形ABCD對(duì)角線BD上兩動(dòng)點(diǎn)，答: / ABD= / ADB= / CBD= / CDB=45 °四邊形EFCH和四邊形 MNQP是矩形，BMN , PQD, BEF , DEH是等 腰直角三角形， MN=BN , PQ=QD , BF=EF, EH=DH，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為 a,貝U BD= : a,所以 mi=EF+FC+CH+EH=BE+FC+CH+DH=BC+CD=2a , m2=MN+NQ+PQ+PM=BN+NQ+QD+PM=BD+PM=Ya+PM , / PM 的長(zhǎng)度無(wú)法確定， 2a與 3+PM的大小無(wú)法確定， mi

20、, m2的大小不確定.應(yīng)選 D.點(diǎn)此題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，用正方形評(píng)： ABCD的邊長(zhǎng)表示出 mi, m2是解題的關(guān)鍵.7. 如圖，AD是三角形紙片 ABC的高，將紙片沿直線 EF折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合, 給出以下判斷： EF是厶ABC的中位線； DEF的周長(zhǎng)等于 ABC周長(zhǎng)的一半; 假設(shè)四邊形AEDF是菱形，那么 假設(shè)/ BAC是直角， 其中正確的選項(xiàng)是那么四邊形AB=AC ;AEDF是矩形,fvAAEDJA .C .B .D .考點(diǎn)：翻折變換折疊問(wèn)題；三角形中位線定理；菱形的性質(zhì)；矩形的判定.分析：根據(jù)折疊可得EF是AD的垂直平分線，再加上條件 AD

21、是三角形紙片 ABC的高可AK AK ATI 1以證明EF/ BC，進(jìn)而可得 AEFABC，從而得到 ="-=，進(jìn)而得到EFAL AC AD 2是厶ABC的中位線；再根據(jù)三角形的中位線定理可判斷出 AEF的周長(zhǎng)是 ABC的一半，進(jìn)而得到 DEF的周長(zhǎng)等于 ABC周長(zhǎng)的一半；根據(jù)三角形中位線定理可得AE=AB , AF=AC，假設(shè)四邊形 AEDF是菱形貝U AE=AF，即可得至U AB=AC .解答：解：/ AD是厶ABC的高， AD丄BC, / ADC=90 °根據(jù)折疊可得： EF是AD 的垂直平分線， AO=DO=|aD , AD 丄 EF, / AOF=90 °

22、; / AOF= / ADC=90 ° EF / BC , AEF ABC，衛(wèi)型衛(wèi)L! EF是厶ABC的中位線，故 正確；/ EF是厶ABC的中位線, AEF的周長(zhǎng)是 ABC的一半，根據(jù)折疊可得 AEF DEF, DEF的周長(zhǎng)等于 ABC周長(zhǎng)的一半，故 正確；/ EF是厶ABC的中位線，/ AE=_AB ,2AF二丄AC，假設(shè)四邊形 AEDF是菱形，那么AE=AF , AB=AC，故正確；根據(jù)折疊只能證明 / BAC= / EDF=90 °不能確 定/ AED和/ AFD的度數(shù)，故 錯(cuò)誤；應(yīng)選：A .點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圖形的翻折變換，以及三角形中位線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握三角

23、形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.&如圖， A 1, A2, A3, An是 x 軸上的點(diǎn)，且 OA 1=A 1A2=A2A3=-uAn-lAn=1，分別過(guò)點(diǎn)Ai, A2, A3, -An作x軸的垂線交反比例函數(shù) y=亠x > 0的圖象于點(diǎn)B1, B2, B3, -Bn,y過(guò)點(diǎn)B2作B2P1丄A1B1于點(diǎn)Pi,過(guò)點(diǎn)B3作B3P2丄A2B2于點(diǎn)P2，記厶BiPl B2的面積為 Si, B2P2B3 的面積為 S2， BnPnBn+1 的面積為 Sn,貝U S1+S2+S3+ +$*=_.2 ln+1J反比例函數(shù)綜合題.: 考點(diǎn)專題分析規(guī)律型.解答:由O

24、Ai=AiA2=A2A3=An-iAn=i可知Bi點(diǎn)的坐標(biāo)為i , yi, B2點(diǎn)的坐標(biāo)為2, y2，B3點(diǎn)的坐標(biāo)為3, y3-Bn點(diǎn)的坐標(biāo)為n, yn，把x=i , x=2 , 比例函數(shù)的解析式即可求出yi、y2、y3的值，再由三角形的面積公式可得出S2、S3Sn的值，故可得出結(jié)論.解：/ OA 仁AiA2=A2A3= -=An-iAn=i ,設(shè) Bi i, yi，B2 2, y2，B3 3, y3，Bn n, yn，=1X在反比例函數(shù)yx> 0的圖象上， yi=i , y2 = blx=3代入反Si、/ Bi,y3毛.ynA , Si# XI X yiJ,1.1 ry2=f xx i

25、 七i S2令 XX y2 y3=言 XTh，舄J 事寺寺;S3令X X y3 y4 Si+S2+S3+ VnJ i-1 1+2 2+ -1 1+ -：n1n+1_ n =故答案為:2 Cn+1)-點(diǎn)此題考查的是反比例函數(shù)綜合題，熟知反比例函數(shù)圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合此函評(píng)： 數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵.9. 2022?歷城區(qū)三模如圖，在斜邊長(zhǎng)為 1的等腰直角三角形 OAB中，作內(nèi)接正方形A1B1D1C1;在等腰直角三角形 OA1B1中作內(nèi)接正方形 A2B2D2C2；在等腰直角三角形 OA2B2 中作內(nèi)接正方形 A3B3D3C3;；依次做下去，那么第 n個(gè)正方形AnBnDnCn的邊長(zhǎng)是_一_.

26、呻考占：八、專題:分析:相似三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì).規(guī)律型.過(guò)O作OM垂直于AB，交AB于點(diǎn)M ,交A1B1于點(diǎn)N，由三角形 OAB與三角形 OA1B1都為等腰直角三角形，得到 M為AB的中點(diǎn)，N為A1B1的中點(diǎn)，根據(jù)直角三 角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得出OM為AB的一半，由AB=1求出OM的長(zhǎng)，再由ON為A1B1的一半，即為 MN的一半，可得出 ON與0M的比值，求出 MN的長(zhǎng)，即為第1個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，同理求出第 2個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，依此類推即可 得到第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng).解答:解：過(guò)O作OM丄AB,交AB于點(diǎn)M，交A1B1于點(diǎn)N，如下列圖： A1B1/ AB , ON丄A1B1

27、, OAB為斜邊為1的等腰直角三角形,OM=-；AB=，又/ OA1B1為等腰直角三角形，44 ON : OM=1 : 3, 第 1 個(gè)正方形的邊長(zhǎng) A1C1=MN= ONA1B1MN ,。忙4二，同理第2個(gè)正2 2 1方形的邊長(zhǎng) A2C2=ON=；亍=r，那么第n個(gè)正方形AnBnDnCn的邊長(zhǎng)為： .故答33 6 刖311案為:占八、評(píng):此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，以及正方形的性質(zhì)，屬于一道規(guī)律型的題，熟 練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.10.如圖，在線段BG同側(cè)作正方形 ABCD和正方形 CEFG,其中BG=10 , BC: CG=2 : 3,貝U Saecg=18_, Sa

28、aeg =18考 正方形的性質(zhì).占：八、分 求出BC, CG，根據(jù)三角形面積公式和矩形的面積公式求出即可.析：解 解：/ BG=10 , BC : CG=2 : 3, / BC=4 , CG=6 , ：四邊形 ABCD 和四邊形 EFGC 答：是正方形， BC=AB=4 , FG=EF=CG=6，延長(zhǎng)FE和BA交于N, /四邊形ABCD和四邊形 EFGC是正方形， / NED= / EDA= / DAN=90 ° 四邊形 BNFG 是矩形， EN=BC=4 , NF=BG=10 , BN=CF=6 ,- Saecg >CG >FG= 1 >6>6=18, Sa

29、aeg=S 矩形 nbgf - Sabg Saefg Saane=10 疋-2>4>o 2冷疋-X 6 - 4>4=18，故答案為：18 , 18.2 2 2點(diǎn)此題考查了正方形性質(zhì)，矩形性質(zhì)，三角形面積的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算能評(píng)：力.11.如圖，在 RtA ABC中，/ C=90° AC=6 , BC=8，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始，沿邊 AC向點(diǎn)C以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A開(kāi)始，沿邊AB向點(diǎn)B以每秒''個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，且恰好能始終保持連結(jié)兩動(dòng)點(diǎn)的直線PD丄AC,動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開(kāi)始，沿邊CB向點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，連結(jié) PQ

30、.點(diǎn)P, D , Q分別從點(diǎn)A , C同時(shí)出 發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另兩個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒t%.1當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形 BQPD2是否存在t的值，使四邊形 PDBQ為平行四邊形？假設(shè)存在，求出t的值；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由；3是否存在t的值，使四邊形 PDBQ為菱形？假設(shè)存在，求出 t的值；假設(shè)不存在，說(shuō) 明理由，并探究如何改變點(diǎn) Q的速度勻速運(yùn)動(dòng)，使四邊形PDBQ在某一時(shí)刻為菱形，求 點(diǎn)Q的速度.考四邊形綜合題.占：八、分1首先表示出四邊形面積以及求出三角形面積，進(jìn)而解方程得出即可；析： 2易得 APDACB，即可求得 AD與BD的長(zhǎng)，由BQ / DP，可得當(dāng)BQ=DP時(shí)

31、，四邊形PDBQ是平行四邊形；3利用2中所求，即可求得此時(shí) DP與BD的長(zhǎng)，由DP書(shū)D，可判定?PDBQ 不能為菱形；然后設(shè)點(diǎn) Q的速度為每秒v個(gè)單位長(zhǎng)度，由要使四邊形 PDBQ為菱形， 那么PD=BD=BQ，列方程即可求得答案.解 解：1T 直線 PD 丄 AC,.BC / PD, 四邊形 BQPD 的面積為：1 BQ+DPXPC=_答：:8 - 2t+二tX 6 - t ABC 面積為：丄AC BC=_ 0疋=24 , 四邊形 BQPD的面322積為 ABC 面積的 2時(shí)：2>24= 8-2t 6- t，解得：t仁9+§ , t2=9 -既怎,223/當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，

32、另兩個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)， Z ti=9+3 口不合題意舍去，當(dāng)t為9 - 3 時(shí)，四邊形BQPD的面積為 ABC面積的一；22存在，在 Rt ABC 中，/ C=90 ° AC=6 , BC=8 , AB=10 / PD / BC, APD ACB ,V 壬即冷，-ADW，二 BD=AB - AD=10BQ DP，當(dāng)BQ=DP時(shí)，四邊形 PDBQ是平行四邊形，即 8 -2t，解得：.存在t丄355時(shí)，使四邊形PDBQ為平行四邊形；3不存在，理由：當(dāng) t=,時(shí)，PD=丄,53 55BD=10 - 丄丄=6, DPBD ,3 5 ?PDBQ不能為菱形.設(shè)點(diǎn)Q的速度為每秒 v個(gè)單位長(zhǎng)度，那

33、么 BQ=8 - vt, PDt, BD=10 -1，要使四邊-t=10-1，解得：t二333當(dāng)1010PD=BQ , t= 時(shí)，即；t=8 - _ '，解得:MJ*O16v=一15形PDBQ為菱形，貝U PD=BD=BQ，當(dāng)PD=BD時(shí)，即當(dāng)點(diǎn)Q的速度為每秒荃個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，經(jīng)過(guò)更'秒，四邊形PDBQ是菱形.153點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)此題綜合性很強(qiáng) 難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.12 鄰邊不相等的矩形紙片，剪去一個(gè)正方形，余下一個(gè)四邊形，稱為第一次操作；在余下的四邊形中減去一個(gè)正方形，又余下一個(gè)四邊形，

34、稱為第二次操作；，以此類推，假設(shè)第n次操作后余下的四邊形是正方形，那么稱原矩形是n階矩形.如圖1,矩形ABCD中，假設(shè)AB=1 , AD=2，那么矩形ABCD是1階矩形.探究：1兩邊分別是2和3的矩形是 2 階矩形：2小聰為了剪去一個(gè)正方形，進(jìn)行如下的操作：如圖2,把矩形ABCD沿著B(niǎo)E折疊點(diǎn)E在AD上，使點(diǎn)A落在BC的點(diǎn)F處，得到四邊形 ABFE .請(qǐng)證明四邊形 ABFE是正方 形.3操作、計(jì)算： 矩形的兩邊分別是 2, a a>2，而且它是3階矩形，請(qǐng)畫(huà)出此矩形及裁剪線的示意圖，并在示意圖下方直接寫(xiě)出a的值； 矩形的兩鄰邊長(zhǎng)為a, b, a> b，且滿足a=5b+m, b=4m

35、 .請(qǐng)直接寫(xiě)出矩形是幾階矩形.E pif考四邊形綜合題.占：八、分 1通過(guò)操作畫(huà)圖可以得出第一次應(yīng)該減去是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，就剩下一個(gè)析： 長(zhǎng)為2寬為1的矩形，再進(jìn)行第二次操作減去一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形那么余下的就是一個(gè)邊長(zhǎng)為1正方形，故得出結(jié)論 2階矩形；2由折紙可以得出 AB=BF , AE=FE，從而得出 AEB FEB，就可以得出 AE=FE , / BFE= / A=90 °就有四邊形 ABFE是矩形，就有矩形 ABFE為正方形；3 由n階矩形的意義通過(guò)畫(huà)圖就可以求出a的值；先由條件可以表示出 a=21m，然后通過(guò)操作畫(huà)出圖形就可以求出結(jié)論.解 解：1由題意，得，第一次操

36、作應(yīng)該減去一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，答：就剩下一個(gè)長(zhǎng)為2寬為1的矩形，再進(jìn)行第二次操作減去一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形那么余下的就是一個(gè)邊長(zhǎng)為 1正方形.共操作2次.這個(gè)矩形是2階矩形故答案 為：2;2/ AEB 與厶 FEB 關(guān)于直線 BE 成軸對(duì)稱， AEB FEB , AE=FE ,/ BFE= / A四邊形 ABCD 是矩形， / A= / ABF=90 ° / A= / ABF= / BFE=90 ° 四邊形 ABFE為矩形. AE=FE , 矩形ABFE為正方形； a的值為8或5由題意，得/ a=5b+m, b=4m, a=21m，如圖是8階矩形.3由題意，得如圖1 ,!1

37、屋11aS a的值=8,!IV HI1«S2a=5 a的值=5,同理可得出:點(diǎn)評(píng)： 此題考查了矩形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，軸對(duì)稱的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用 分類討論思想在幾何題目中的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)題意正確畫(huà)出圖形是關(guān)鍵.13 .2022?江西如圖1，在等腰梯形 ABCD中，AD / BC , E是AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) E作EF / BC 交 CD 于點(diǎn) F. AB=4 , BC=6 ,1求點(diǎn)E到BC的距離；2點(diǎn)P為線段EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)/ B=60 度.P作PM丄EF交BC于點(diǎn) M，過(guò) M作MN / AB交折線ADC于點(diǎn)N，連接PN，設(shè)EP=x.當(dāng)點(diǎn)N在線段AD上

38、時(shí)如圖2， PMN的形狀是否發(fā)生改變？假設(shè)不變，求出 PMN的周長(zhǎng)；假設(shè)改變，請(qǐng)說(shuō)明理由； 當(dāng)點(diǎn)N在線段DC上時(shí)如圖3，是否存在點(diǎn)卩，使厶PMN為等腰三角形？假設(shè)存在,請(qǐng)求出所有滿足要求的 x的值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.考占：等腰梯形的性質(zhì)；等腰三角形的判定；勾股定理；三角形中位線定理.八、:專題：壓軸題.分析：1可通過(guò)構(gòu)建直角三角形然后運(yùn)用勾股定理求解.2 PMN的形狀不會(huì)變化，可通過(guò)做 EG丄BC于G,不難得出PM=EG，這樣 就能在三角形 BEG中求出EG的值，也就求出了 PM的值，如果做 PH丄MN于H , PH是三角形 PMH和PHN的公共邊，在直角三角形 PHM中，有PM的值，/

39、 PMN 的度數(shù)也不難求出，那么就能求出 MH和PH的值，也就求出 HN和PN的值了，有 了 PN, PM , MN的值，就能求出三角形 MPN的周長(zhǎng)了.此題分兩種情況進(jìn)行討論：1、N在CD的DF段時(shí)，PM=PN .這種情況同 的計(jì)算方法.2、N在CD的CF段時(shí)，又分兩種情況進(jìn)行討論MP=MN時(shí)，MC=MN=MP，這樣有了 MC的值，x也就能求出來(lái)了NP=NM 時(shí)，我們不難得出 / PMN=120 °又因?yàn)? MNC=60。因此/ PNM+ / MNC=180度.這樣點(diǎn)P與F就重合了， PMC即這是個(gè)直角三角形，然 后根據(jù)三角函數(shù)求出 MC的值，然后就能求出 x 了.綜合上面的分析把

40、 PMC是等腰三角形的情況找出來(lái)就行了.解答：解：1如圖1,過(guò)點(diǎn)E作EG丄BC于點(diǎn)G. / E為AB的中點(diǎn)，/ BEAB=2在2Rt EBG 中，/ B=60 ° / BEG=30 度./ BG=BE=1 , EG=j2? 一 1 二血即點(diǎn) E 到BC的距離為“了 2當(dāng)點(diǎn)N在線段AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)， PMN的形狀不發(fā)生改 變./ PM 丄 EF, EG 丄 EF, PM / EG ,又 EF / BC, 四邊形 EPMG 為矩形， EP=GM , PM=EG="同理 MN=AB=4 .如圖 2，過(guò)點(diǎn) P 作 PH 丄 MN 于 H ,/ MN / AB , / NMC= / B=

41、60 ° 又/ PMC=90 ° / PMH= / PMC -2/ NMC=30 ° PHPM二2 “ c_： 二 MH=PM ?cos30°=-那么 NH=MN - MH=4 -_丄在 Rt PNH 中,PN=aW+PhTI2+2二訴 PMN的周長(zhǎng)=PM+PN+MN= . _；-+當(dāng)點(diǎn)N在線段DC上運(yùn)動(dòng)時(shí)， PMN的形狀發(fā)生改變，但 MNC恒為等邊三角 形.當(dāng)PM=PN時(shí)，如圖3,作PR丄MN于R,貝U MR=NR .類似，PM=.'；,Z PMR=30 °MR=PMcos30 ° :X''', MN

42、=2MR=3 . / MNC是等邊三角形，2 I 2 MC=MN=3 .此時(shí)，x=EP=GM=BC - BG - MC=6 - 1 - 3=2 .當(dāng) MP=MN 時(shí)，/ EG=;， MP=MN= ./ Z B= / C=60° MNC 是等邊三角形， MC=MN=MP= . :如圖 4，此時(shí)，x=EP=GM=6 - 1 - 血乏負(fù) 當(dāng) NP=NM 時(shí)，如圖 5, Z NPM= Z PMN=30 度. Z PNM+ Z MNC=180度.因此點(diǎn) P與F重合， 形. MC=PM ?tan30°1 .此時(shí)，x=EP=GM=6 - 綜上所述，當(dāng)x=2或4或5 -.：時(shí)， PMN貝U / PNM=120 ° 又/ MNC=60 ° PMC為直角三角1 - 1=4.為等腰三角形.GMa 5打33DC此題綜合考查了等腰梯形，等腰直角三角形的性質(zhì)，中位線定理，勾股定理等知識(shí) 點(diǎn)的應(yīng)用.QG 團(tuán)3占八、評(píng)：14 .如圖，梯形 ABCD 中 AD / BC, AB 丄