最新完美版圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、圓錐曲線的方程與性質(zhì)1. 橢圓（1）橢圓概念平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) Fi、F2的距離的和等于常數(shù) 2a （大于 廳店2丨）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離 2c叫橢圓的焦距。若 M為橢圓上任意一點(diǎn)，則有|MF1 | |MF2 |=2a。一、 、 X y2y2 x2、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：22=1 （ a b 0）（焦點(diǎn)在x軸上）或 r 2 = 1 （ a b 0）（焦點(diǎn)在y軸a ba b上）。注：以上方程中a,b的大小a b 0 ,其中b2 =a2 -c2 ；X2 y2y2 x222 在二 2 =1和 =1兩個(gè)方程中都有a b 0的條件，要分清焦點(diǎn)的位置，只要看x和y的分aba

2、b2 2母的大小。例如橢圓 =1 （ m 0， n0 , m = n ）當(dāng)m時(shí)表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；當(dāng) m ： n時(shí)m n表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓。（2）橢圓的性質(zhì)x2 y2 范圍：由標(biāo)準(zhǔn)方程 2二1知|xa ,|y亞b，說明橢圓位于直線 x=a，y所圍成的矩形里；a b 對(duì)稱性：在曲線方程里，若以-y代替y方程不變，所以若點(diǎn)（x, y）在曲線上時(shí)，點(diǎn)（x,-y）也在曲線上，所以曲線關(guān)于x軸對(duì)稱，同理，以 -x代替x方程不變，則曲線關(guān)于 y軸對(duì)稱。若同時(shí)以 -x代替x，-y代替y 方程也不變，則曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。所以，橢圓關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱。這時(shí)，坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是對(duì)稱中心，橢

3、圓的對(duì)稱中心 叫橢圓的中心； 頂點(diǎn)：確定曲線在坐標(biāo)系中的位置，常需要求出曲線與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，令x =0，得y =b，則B/O, -b）， B2（0,b）是橢圓與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)。同理令 y =0得x -二a，即A（-a,0），A?（a,0）是橢圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)。 所以，橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)有四個(gè)，這四個(gè)交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)。同時(shí)，線段 入A、B1B2分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，它們的長(zhǎng)分別為2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)。由橢圓的對(duì)稱性知：橢圓的短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為a ；在RtAOB2F2中，|OB2 |=b , |0F2 |= c , | B2F2

4、 |=a ,且 |OF2 I2=| B2F2 |2 _|OB2 |2，即 C2 =a2 _b2 ；c離心率：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸的比 e 叫橢圓的離心率。：a c 00：；e：1，且e越接近1, c就a越接近a，從而b就越小，對(duì)應(yīng)的橢圓越扁；反之，e越接近于0, c就越接近于0，從而b越接近于a，這時(shí)橢圓越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng) a =b時(shí)，c=0，兩焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為x2 y2二a2。2. 雙曲線(1) 雙曲線的概念平面上與兩點(diǎn)距離的差的絕對(duì)值為非零常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線(| PR | - I PF2 |= 2a )。注意：式中是差的絕對(duì)值，在0 ： 2a ： | F, F2 |條件下；|

5、PF, |-| PF2 |=2a時(shí)為雙曲線的一支； |PF2|PFi2a時(shí)為雙曲線的另一支(含 F,的一支)；當(dāng)2a =| F,F2|時(shí)，| PF, | - | PF21戶2a表示兩條射 線；當(dāng)2a | F1F21時(shí)，|PFi |-|PF2|=2a不表示任何圖形；兩定點(diǎn) Fi,F2叫做雙曲線的焦點(diǎn)，| F1F2 |叫做 焦距。(2) 雙曲線的性質(zhì)2 2 范圍：從標(biāo)準(zhǔn)方程 篤-篤-1，看出曲線在坐標(biāo)系中的范圍：雙曲線在兩條直線x= a的外側(cè)。即a2 b222x >a , x >a即雙曲線在兩條直線 x = ±a的外側(cè)。2 2 對(duì)稱性：雙曲線 篤-每=1關(guān)于每個(gè)坐標(biāo)軸和原點(diǎn)都

6、是對(duì)稱的，這時(shí)，坐標(biāo)軸是雙曲線的對(duì)稱軸，原點(diǎn)a b2 2是雙曲線 務(wù)=1的對(duì)稱中心，雙曲線的對(duì)稱中心叫做雙曲線的中心。a b2 2 頂點(diǎn)：雙曲線和對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做雙曲線的頂點(diǎn)。在雙曲線篤-篤=1的方程里，對(duì)稱軸是 x,y軸，所a b22以令y = 0得x = a，因此雙曲線和x軸有兩個(gè)交點(diǎn) A (-a,0) A2(a,0)，他們是雙曲線 令 嶺=1的頂點(diǎn)。a b令x = 0，沒有實(shí)根，因此雙曲線和y軸沒有交點(diǎn)。1） 注意：雙曲線的頂點(diǎn)只有兩個(gè)，這是與橢圓不同的（橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)），雙曲線的頂點(diǎn)分別是實(shí)軸的兩個(gè) 端點(diǎn)。2） 實(shí)軸：線段 A A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)等于2a,a叫做雙曲線的實(shí)半軸

7、長(zhǎng)。虛軸：線段B B2叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)等于 2b,b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)。 漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對(duì)角線，這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從2 2圖上看，雙曲線 篤-占-1的各支向外延伸時(shí)，與這兩條直線逐漸接近。a b 等軸雙曲線：1） 定義：實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式：a二b ；2） 等軸雙曲線的性質(zhì)：（1 ）漸近線方程為：y=x ；（ 2）漸近線互相垂直。注意以上幾個(gè)性質(zhì)與定義式彼此等價(jià)。亦即若題目中出現(xiàn)上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時(shí)其 他幾個(gè)亦成立。22H.3） 注意到等軸雙曲線的特征 a = b，則等軸雙曲線可以設(shè)為：x

8、- y = C - 0），當(dāng)-0時(shí)交點(diǎn)在x軸, 當(dāng) < 0時(shí)焦點(diǎn)在y軸上。X2 y2y2 x2 注意1與1的區(qū)別：三個(gè)量a,b,c中a,b不同（互換）c相同，還有焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)1699 16軸也變了。3. 拋物線（1）拋物線的概念平面內(nèi)與一定點(diǎn) F和一條定直線I的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線（定點(diǎn)F不在定直線I上）。定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線 I叫做拋物線的準(zhǔn)線。方程y = 2 px p 0叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。注意：它表示的拋物線的焦點(diǎn)在 x軸的正半軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)是F（衛(wèi)，0）,它的準(zhǔn)線方程是 x = -;2 2（2）拋物線的性質(zhì)一條拋物線，由于它在坐標(biāo)系的位置不同，方程也不同，有

9、四種不同的情況，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其 他幾種形式：y2 = -2px , x2 =2py , x2二-2 py.這四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程如 下表：標(biāo)準(zhǔn)方程y2 =2px(P=o)yy2 = -2 px (P = o)x2 二(P：= 2py>o)x2 = -2 py(Po)圖形l4*環(huán)2kl焦點(diǎn)坐標(biāo)（匕o）2p（歩0）p(o£2p（o二）準(zhǔn)線方程x2x2TV范圍x KOx woyy蘭o對(duì)稱性x軸x軸y軸y軸頂點(diǎn)（o,o）（o,o）（o,o）（o,o）離心率e = 1e = 1e = 1e = 1說明：（1）通徑：過拋物線的焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦稱

10、為通徑；（2）拋物線的幾何性質(zhì)的特點(diǎn)：有一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線，一條對(duì)稱軸，無對(duì)稱中心，沒有漸近線；（3）注意強(qiáng)調(diào)p的幾何意義：是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。4. 高考數(shù)學(xué)圓錐曲線部分知識(shí)點(diǎn)梳理一、方程的曲線：在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C（看作適合某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡）上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f（x,y）=O 的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：（1）曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；（2）以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)，那么這個(gè)方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線。點(diǎn)與曲線的關(guān)系：若曲線 C的方程是f（x,y）=0 ，則點(diǎn)Po（x o,y 0）在曲線C上二f（x o,y o）=0 ;點(diǎn)P

11、o（x o,y o）不在曲線 C 上二 f（x o,y o）豐 O。兩條曲線的交點(diǎn)：若曲線Ci, C2的方程分別為fi（x,y）=o,f 2（x,y）=O,則點(diǎn)Po（x o,y o）是C, C2的交點(diǎn)= fi（xo,yo） =0方程組有n個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，兩條曲線就有n個(gè)不同的交點(diǎn)；方程組沒有實(shí)數(shù)解，曲線就沒f2（x）,yo） =o. . . . 2 2 22、方程：標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心在 c（a,b），半徑為r的圓方程是（x-a） +（y-b） =r圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r的圓方程是x2+y2=r2一般方程：當(dāng) D2+W-4F >0時(shí)，一元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圓的一般方

12、程，圓心為 _)半徑2 2, rDE22是 D E-4F。配方，將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 化為(x+ ) 2+(y+ ) 2=D E- 4F2224 當(dāng)D2+E2-4F=0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)(-D，-)；2 2 當(dāng)D2+E2-4F V 0時(shí)，方程不表示任何圖形.(3) 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系已知圓心C(a,b),半徑為r,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x o,y 0)，則丨MC| V r= 點(diǎn)M在圓C內(nèi)，丨MC| =r= 點(diǎn) M在圓 C上，| MC| > r ：= 點(diǎn) M在圓 C內(nèi)，其中丨 MC| = ., (x0 -a)2 (y0 -b)2。二有兩個(gè)公共點(diǎn)；直(4) 直線和圓的位置關(guān)系：直線和圓

13、有相交、相切、相離三種位置關(guān)系：直線與圓相交線與圓相切二 有一個(gè)公共點(diǎn)；直線與圓相離 二 沒有公共點(diǎn)。直線和圓的位置關(guān)系的判定:(i)判別式法;(ii)利用圓心C(a,b)到直線Ax+By+C=0的距離d二Aa+ Bb 十 Ck A2B2與半徑r的大小關(guān)系來判定。三、圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn) P(x,y)到一個(gè)定點(diǎn)F(c,0)的距離與到不通過這個(gè)定點(diǎn)的一條定直線I的距離之比是一個(gè)常數(shù)e(e> 0),則動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線。其中定點(diǎn)F(c,0)稱為焦點(diǎn)，定直線l稱為準(zhǔn)線，正常數(shù) e稱為離心率。當(dāng)0v ev 1時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng) e=1時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng) e> 1時(shí)，軌跡為

14、雙曲線。四、橢圓、雙曲線、拋物線：橢圓雙曲線拋物線定義1 .到兩定點(diǎn)F1,F2的距離之 和為定值2a(2a>|F 1F2I)的點(diǎn)的軌跡2 .與定點(diǎn)和直線的距離之 比為定值e的點(diǎn)的軌跡.(0<e<1)1. 到兩定點(diǎn)F1,F 2的距離之差的 絕對(duì)值為定值2a(0<2a<|F 1F2I)的點(diǎn)的軌跡2. 與定點(diǎn)和直線的距離之比為 定值e的點(diǎn)的軌跡.(e>1)與定點(diǎn)和直線的距離相等的 點(diǎn)的軌跡軌跡條件點(diǎn)集：(M | =2a, | F| MF+ | MF | 1F2 | V 2a.點(diǎn)集：M|=± 2a,MF | - | MF|.F2F2 | > 2a.點(diǎn)

15、集M |線| MF | =點(diǎn)M至悄I的距離.圖形tr.ijrMAH711k方 程標(biāo)準(zhǔn)方程2 2Xyp + = 1 ( a a b >0) ab2 2Xy22 =1(a>°,b>0)aby2 = 2 px參數(shù)方程= a cos日y =bsi nO（參數(shù)日為離心角）x = asecQ y = btan日（參數(shù)日為離心角）"一2卩 （t為參數(shù)） 川= 2pt范圍a毀空，一b今切|x|> a , yERxX0中心原點(diǎn)0( 0, 0)原點(diǎn)O (0, 0)頂點(diǎn)(a,0), ( a,0),(0,b) , (0, b)(a,0), ( a,0)(0,0)對(duì)稱軸x軸，

16、y軸；長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a,短軸長(zhǎng)2bx軸，y軸； 實(shí)軸長(zhǎng)2a,虛軸長(zhǎng)2b.x軸焦占八 '、八、Fi(c,0), F2( c,0)F1(c,0), F2( c,0)F&0)準(zhǔn)線2亠a x= 土 c準(zhǔn)線垂直于長(zhǎng)軸，且在橢圓外2亠a x= 土 c準(zhǔn)線垂直于實(shí)軸，且在兩頂點(diǎn)的內(nèi)側(cè).x=-衛(wèi)2準(zhǔn)線與焦點(diǎn)位于頂點(diǎn)兩側(cè)， 且到頂點(diǎn)的距離相等.焦距/ 2 22c (c= * a -b )2c (c= U a2 + b2 )離心率ce = (0 c e £1) ae = ' (e >1)ae=1【備注1】雙曲線:等軸雙曲線：雙曲線 X2 -y2 = 'a2稱為等軸雙曲線，

17、其漸近線方程為y = *，離心率 心2 .2 2共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸， 實(shí)軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線 .二-仝二' 與 a bb2_ 互為共軛雙曲線,它們具有共同的漸近線:2 X 2 ab22 2 2 2共漸近線的雙曲線系方程：篤一篤=，('=0)的漸近線方程為 篤一與=0如果雙曲線的漸近線為a ba b2 2它的雙曲線方程可設(shè)為 冷一爲(wèi)=( =0) a b【備注2】拋物線：(1) 拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(匕0)，準(zhǔn)線方程x=- £，開口向右；拋物線y2 =-2px(p>0)的焦點(diǎn)坐2 2標(biāo)是(-匕0)，

18、準(zhǔn)線方程x=P，開口向左；拋物線x2 =2py(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,)，準(zhǔn)線方程y=-衛(wèi) ，開2 2 2 2口向上；拋物線x2=-2py ( p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,-)，準(zhǔn)線方程y=，開口向下2 2(2) 拋物線y2 =2px(p>0)上的點(diǎn)M(x0,y0)與焦點(diǎn)F的距離 MF =x° +衛(wèi);拋物線y2 =-2px(p>0)上的點(diǎn)M(x0,y0)2與焦點(diǎn)F的距離MFx02(3) 設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2 =2px(p>0)，則拋物線的焦點(diǎn)到其頂點(diǎn)的距離為衛(wèi)，頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離 衛(wèi)，焦點(diǎn)2 2到準(zhǔn)線的距離為 p.2(4) 已知過拋物線y =2px(

19、p>0)焦點(diǎn)的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，則線段AB稱為焦點(diǎn)弦，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則弦長(zhǎng)AB =洛 +x2 +p 或AB2 p22( a為直線AB的傾斜角)，y°2 - - P ,sin :AF =x, +衛(wèi)(AF2叫做焦半徑).五、坐標(biāo)的變換：(1)坐標(biāo)變換：在解析幾何中，把坐標(biāo)系的變換(如改變坐標(biāo)系原點(diǎn)的位置或坐標(biāo)軸的方向)叫做坐標(biāo)變換.實(shí)施坐標(biāo)變換時(shí)，點(diǎn)的位置，曲線的形狀、大小、位置都不改變，僅僅只改變點(diǎn)的坐標(biāo)與曲線的方程(2)坐標(biāo)軸的平移：坐標(biāo)軸的方向和長(zhǎng)度單位不改變，只改變?cè)c(diǎn)的位置，這種坐標(biāo)系的變換叫做坐標(biāo)軸的平移，簡(jiǎn)稱移軸。(3)坐標(biāo)軸的平移公式

20、：設(shè)平面內(nèi)任意-中的坐標(biāo)是(x',y').設(shè)新坐標(biāo)系的原點(diǎn)點(diǎn)M,它在原坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)是(x,y)，在新坐標(biāo)系0'在原坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)是(h,k)，則x 二 x' h 亠或y 二 y' kx ' O yx'= x - hy'二 yk叫做平移(或移軸)公式.(4)中心或頂點(diǎn)在(h,k)的圓錐曲線方程見下表:方程焦占八、八、焦線對(duì)稱軸橢圓(x-h)2 |(y-k)2=1a2b2(± c+h,k)2丄ax= ± +hcx=hy=k2 2(x-h) +(y-k)=1b2a2(h, ± c+k)2丄a,

21、y= ± +kcx=hy=k雙曲線(x-h)2(y-k)2 =12.21ab(± c+h,k)2,a , x= ± +kcx=hy=k(y-k)2(x-h)2=1(h, ± c+h)2,a , y= ±+kcx=hy=k2 .2 ab拋物線2(y-k) =2p(x-h)(-+h,k)2x=- +h2y=k2(y-k)=-2p(x-h)(-衛(wèi) +h,k)2xp +h2y=k2(x-h) =2p(y-k)(h,衛(wèi) +k)2y=- +k2x=h(x-h) 2=-2p(y-k)(h,-衛(wèi) +k)2y=-2 +k2x=h六、橢圓的常用結(jié)論:1. 點(diǎn)P處的

22、切線 PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的外角.2. PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的外角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)3. 以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相離.4. 以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切2 25. 若p0(x0,y0)在橢圓告=1上，則過P)的橢圓的切線方程是-y°2y =1.a ba b2 26. 若Po(Xo,yo)在橢圓 % -y2 =1外，則過P0作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為Pi、Pa,則切點(diǎn)弦PQ的直線方程是a b泌+空2 2a b2 27. 橢圓 務(wù)+占=1 (a > b > 0)的左右焦點(diǎn)分別

23、為Fi, F2，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)NFiPF2=Y，則橢圓的焦點(diǎn)a b2 Y角形的面積為 S參pf2 =b tan .2 2Xy8. 橢圓二 2=1 (a > b > 0)的焦半徑公式ab|MF! | = a+exo,MF? |=a exo( F,c,0) , F2(c,0) M (x°, y°).9. 設(shè)過橢圓焦點(diǎn)F作直線與橢圓相交 P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的橢圓準(zhǔn)線于 M N兩點(diǎn)，貝U MFL NF.10. 過橢圓一個(gè)焦點(diǎn) F的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q, A1、A為橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)，AP和AQ交于點(diǎn)M, AP和A

24、Q交于點(diǎn)N,貝U MFL NF.2 2 211. AB是橢圓 篤 爲(wèi)=1的不平行于對(duì)稱軸的弦，M(X0,y°)為AB的中點(diǎn)，貝y k°M Rab = -2，即a baK -咚AB2°a y。2222佗若P0(x0,y°)在橢圓篤每=1內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是 y°y =篤 y°f ；a ba b a b【推論】：2 2 2 2 2 21、若P°(X0, y°)在橢圓2=1內(nèi)，則過Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是22="X02。橢圓2 與=1a ba b a ba b(a>b>o)的兩個(gè)頂點(diǎn)為

25、 A(-a,0) , A2(a,0)，與y軸平行的直線交橢圓于P、R時(shí)A1P與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程2 2 是1_是 2.2a b22X y2、過橢圓 2 =1 (a > 0, b >0)上任一點(diǎn)A(x0, y0)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于B,C兩點(diǎn)，則直a b線BC有定向且kBC二聖(常數(shù))a y2 23、若P為橢圓篤占=1 (a >b> 0) 上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1, F 2是焦點(diǎn)，卩吋2八， PF2F1二,a b則二 tan cot .a c 2222X y4、設(shè)橢圓 右+吉=1(a> b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P (異于長(zhǎng)軸端點(diǎn))

26、為橢圓上任意一點(diǎn)，在PFF2中，記a bF1PF2，PF1F2 = 1 ,F1F2P =，則有 Sine.sin P 十 sin a2 25、若橢圓 篤 =1 (a> b> 0)的左、右焦點(diǎn)分別為 Fi、F2，左準(zhǔn)線為L(zhǎng),則當(dāng)0vew、. 2-1時(shí)，可在橢圓上a b求一點(diǎn)P,使得PFi是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離 d與PF的比例中項(xiàng).2 2x y6、 p為橢圓 牙=1 (a> b> 0)上任一點(diǎn),F 1,F2為二焦點(diǎn)，A為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，貝Ua b2a-| AF2 |_| PA| | PF1 I乞2a -ARI，當(dāng)且僅當(dāng) 代F2,P三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立2 27、橢圓十吟L &quo

27、t;與直線AX By C =0有公共點(diǎn)的充要條件是A2a2 B2b2 _(Ax02By。 C).2&已知橢圓務(wù)-爲(wèi)b2=1 (a > b> 0), O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且 OP丄OQ. (1)丄.丄2 2|OP| |OQ|222 ; (2) |OP| +|OQ|的最大值為 b24a2b2a2 b2a2b2；(3) S pPQ的最小值是 2 .a +b9、過橢圓2 z y a2 b2=1(a>b > 0)的右焦點(diǎn)F作直線交該橢圓右支于M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交x軸于P,則四|MN |10、已知橢圓2x+2a2 y_ b2=1 ( a>b

28、> 0) ,A、B是橢圓上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P(x°,0),2.2則:xaa2 -b211、設(shè)P點(diǎn)是橢圓(a > b > 0) 上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、F2為其焦點(diǎn)記 F1PF2，則(1) | PF1 | PF2 | =1 cos -2 2x y12、設(shè)A、B是橢圓2 =1 ( a > b>0)的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)， PAB = a b2 2 2 a -c cos-PBA = 一：， BPA二,c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1) |PA|= 2嚴(yán)嚴(yán)；1 .(2)tan ： tan ： = 1 -e2.(3)

29、S.pAB =2a2b2b2 -a2cot2 2X y13、已知橢圓 牙=1 （ a >b> 0）的右準(zhǔn)線I與x軸相交于點(diǎn)E，過橢圓右焦點(diǎn)F的直線與橢圓相交于 A、a bB兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線I上，且BC_x軸，則直線AC經(jīng)過線段EF的中點(diǎn).14、 過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直15、 過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.16、 橢圓焦三角形中，內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e（離心率）.（注：在橢圓焦三角形中，非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別

30、稱為內(nèi)、外點(diǎn).）17、 橢圓焦三角形中，內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.18、 橢圓焦三角形中，半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng).七、雙曲線的常用結(jié)論：1、點(diǎn)P處的切線 PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角.2、 PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線 PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩 個(gè)端點(diǎn).3、以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線 相交.4、 以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓相切.（內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支）2 2”x y5、右 F0(x°, y°)在雙曲線2 =1 ( a>0,b >0) 上,a

31、b則過F0的雙曲線的切線方程是xx _y_ya2 b22 26、若 F0(x0, y0)在雙曲線2每=1 ( a> 0，b > 0)外a b，則過Po作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為P、P2，則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是弩-智=1.a b2 27、雙曲線一2占-1 （a> 0，b > 0）的左右焦點(diǎn)分別為a bF1, F2,點(diǎn)P為雙曲線上任意一點(diǎn) F1PF '，則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為2 VS F1PF2 =bc0t?.2 2&雙曲線 務(wù)-占=1 （a> 0，b > 0）的焦半徑公式：（F1（-c，0） ， F2（c，0）當(dāng)M（x°，y0

32、）在右支上時(shí),a b| MF1 |=ex0 a，| MF? Iex。- a ；當(dāng) M （x。，y°）在左支上時(shí)，IMF1-ex0 a，| MF?- a。9、 設(shè)過雙曲線焦點(diǎn)F作直線與雙曲線相交 P、Q兩點(diǎn)，A為雙曲線長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于 焦點(diǎn)F的雙曲線準(zhǔn)線于 M N兩點(diǎn)，貝U MFL NF.10、 過雙曲線一個(gè)焦點(diǎn) F的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P、Q，A、A2為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)，AP和AQ交于點(diǎn)M, A2P和AQ交于點(diǎn)N,貝U MF丄NF.M：x。，y。）為AB的中點(diǎn)，則KomK -山K AB2,a y02 211、AB是雙曲線蕓十=1（ a > 0，b &

33、gt; °）的不平行于對(duì)稱軸的弦,b2x。即Kab -飛12、右Pj&yo)在雙曲線a22x y牙=1( a > 0,b > 0)內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是bax°x yoy22X。yob2a2 _ b22”x13、右P0(x0, y0)在雙曲線2a2y1 (a> 0,b > 0)內(nèi)，則過Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是-ba bx2xoxyo ya2b2【推論】：22x y1、雙曲線 2 =1 (a> 0,b >0)的兩個(gè)頂點(diǎn)為 A(-a,0), A2(a,0),與y軸平行的直線交雙曲線于R- P2時(shí)a b2 2A1P1與AP2

34、交點(diǎn)的軌跡方程是 篤爲(wèi)=1a b2 22、過雙曲線x y2=1 (a>0,b > o) 上任一點(diǎn) A(x°,y°)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交雙曲線于B,C兩點(diǎn),a b則直線BC有定向且kBC =b(常數(shù)).2a y。223、若P為雙曲線務(wù)-篤a b=1 (a > 0,b >0)右(或左)支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn),F 1, F 2 是焦點(diǎn)，/PFiF2=aPF2R =，則caaP二 tan co t 22(或= tan -cot ).224、設(shè)雙曲線篤-ab2=1 (a > 0,b > 0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為Fi、F2,P(異于長(zhǎng)軸端點(diǎn))為雙曲線上

35、任意一點(diǎn)，在PF1F2中，記 F1PF2sin -W W，則有 一(sin -sin Jce. ax25、若雙曲線a b=1 (a>0,b > 0)的左、右焦點(diǎn)分別為 Fi、F2,左準(zhǔn)線為L(zhǎng),則當(dāng)1v e匕、2 1時(shí)，可在雙曲線上求一點(diǎn) P,使得PFi是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF>的比例中項(xiàng).226、P為雙曲線 務(wù)占=1 (a > 0,b > 0) 上任一點(diǎn)，F(xiàn)1,F2為二焦點(diǎn)，A為雙曲線內(nèi)一定點(diǎn)，則a b| AF21 -2a <| PA | ' | PF1 |,當(dāng)且僅當(dāng) 代F2,P三點(diǎn)共線且P和A, F2在y軸同側(cè)時(shí)，等號(hào)成立2 27、雙曲線 令-冷

36、=1 (a> 0,b >0)與直線 Ax By0有公共點(diǎn)的充要條件是 A2a2 - B2b2乞C2.a b2 2X V&已知雙曲線 -=1 (b > a > 0), O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn)，且 OP丄OQ.a b(1)1 1 1 1+=|OP |2 |OQ |2 a2 b222(2)|OP| +|OQ|的最小值為4a2 b2T2 2b - a(3)S oPQ的最小值是a2bb2-a22 2X V9、過雙曲線 2 =1 (a > 0,b > 0)的右焦點(diǎn)F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交a bx軸于p,則吃！ =e

37、|MN |22 2XV10、已知雙曲線 2 =1( a>0,b >0),A、B是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P(x°,0),a b/ a2 +b2X0 2 ,2則X。旦或a2X11、設(shè)P點(diǎn)是雙曲線ab2=1 (a> 0,b > 0) 上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、F2為其焦點(diǎn)記 F1PF2 - v，則 |PR|PF2 卜2b21 -COST.(2)S.PRF2=b2 cot .22 2X v12、設(shè)A、B是雙曲線 2 =1 ( a> 0,b > 0)的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn)， PAB二,a bPBA=1, BPA=y&

38、#39;, c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(1) |PA|=22ab |cos： |2 2 2 | ac cos |(2) tan j tan ： = 1 -e2 .(3)S.pAB_ 2a2b2b2 a2cot .、X2 y213、 已知雙曲線 亍=1 (a>0,b > 0)的右準(zhǔn)線I與X軸相交于點(diǎn)E，過雙曲線右焦點(diǎn) F的直線與雙曲線相a b交于A B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線I上，且BC _ X軸，則直線AC經(jīng)過線段EF的中點(diǎn).14、過雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直.15、過雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)