第2章數(shù)學(xué)建模方法論

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第2章 數(shù)學(xué)建模方法論不同的實(shí)際問(wèn)題，建模的模式千差萬(wàn)別，各不相同，這與問(wèn)題的性質(zhì)、建模的目的以及建模者自身的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和專長(zhǎng)有關(guān)。然而，還是有一些普遍適用的思想方法與思維方式，本章將從方法論的角度介紹建模時(shí)通常會(huì)采用的一般方法。2.1 概 論 數(shù)學(xué)建模首先在學(xué)習(xí)形式上與別的數(shù)學(xué)課程有很大的差別，它不像許多人想像的那樣單靠一個(gè)人、一支筆、一張紙就可以解決問(wèn)題，它經(jīng)常表現(xiàn)為一種集體性質(zhì)的活動(dòng)，三、五個(gè)人甚至于更多的人組成一個(gè)團(tuán)隊(duì)，通過(guò)個(gè)人的智慧和與別人的合作來(lái)解決一個(gè)甚至一類實(shí)際問(wèn)題。因此，培養(yǎng)良好的交流、合作和表達(dá)能力非常重要。對(duì)于個(gè)人來(lái)講，在整個(gè)建模過(guò)程中，應(yīng)該自

2、始至終堅(jiān)持做好記錄，獨(dú)自思考時(shí)隨時(shí)記下好的想法。再次，在進(jìn)行集體討論時(shí)借助于文字進(jìn)行交流，并記下討論要點(diǎn)；工作中記下方法、計(jì)劃、進(jìn)程和結(jié)果，以輔助我們高效地進(jìn)行交流以及作為論文寫作的原始資料。另外，思考時(shí)養(yǎng)成記錄的習(xí)慣可以幫助我們整理思路，并經(jīng)?？梢约ぐl(fā)我們產(chǎn)生出新的、創(chuàng)造性的思想。其次，數(shù)學(xué)建模在思考方法和思維方式上與學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)課程有很大差別。這表現(xiàn)在數(shù)學(xué)建模過(guò)程是一種創(chuàng)新過(guò)程，它需要相當(dāng)高程度的觀察力、想像力以及一些靈感和頓悟。數(shù)學(xué)建模講求創(chuàng)新，而我們同學(xué)最缺乏的就是創(chuàng)新思維，創(chuàng)新思維是創(chuàng)新能力的核心與靈魂，創(chuàng)新思維主要有類比思維、歸納思維、逆向思維、發(fā)散思維、猜測(cè)思維等等。下面介紹幾種

3、常用的思維方法。 2.1.1發(fā)散性思維方法 發(fā)散性思維是創(chuàng)新思維的重要組成部分，是發(fā)明創(chuàng)造的一個(gè)有力的武器。遇到問(wèn)題(特別是難題)時(shí)最好不要有一點(diǎn)想法就一條路走下去，應(yīng)把自己的思路盡量打開(kāi)，去尋求更佳的方案。這里介紹兩種方法：一種是借助于一系列問(wèn)題來(lái)展開(kāi)思路；另一種是借助于下意識(shí)的聯(lián)想來(lái)展開(kāi)思路。 第一種方法我們稱之為提問(wèn)題法。當(dāng)你想到什么主意或者面臨什么難題時(shí)，通過(guò)提出一系列問(wèn)題來(lái)導(dǎo)出一些想法或一個(gè)好的方案。一些常用的問(wèn)題如下: (1)這個(gè)問(wèn)題和什么問(wèn)題相類似? (2)假如變動(dòng)問(wèn)題的某些條件將會(huì)怎樣? (3)將問(wèn)題分解成若干部分再考慮會(huì)怎樣?(4)重新組合又會(huì)怎樣? 對(duì)問(wèn)題已有初步的想法或解

4、決方案時(shí)，為進(jìn)一步打開(kāi)思路還可提出以下問(wèn)題: (5)我們還可以做些什么工作? (6)還有沒(méi)有需要進(jìn)一步完善的內(nèi)容? (7)可否換一種數(shù)學(xué)工具來(lái)解決此問(wèn)題?另一種方法我們稱之為關(guān)鍵詞聯(lián)想法。即抓住問(wèn)題或方案的關(guān)鍵詞，然后不受任何約束地浮想聯(lián)翩，并把聯(lián)想到的內(nèi)容記在卡片上，再在這些卡片的激發(fā)下產(chǎn)生新的想法，進(jìn)一步想出新的主意。經(jīng)過(guò)這樣一個(gè)過(guò)程后，把積攢的卡片相互搭配，形成解決問(wèn)題的初步思路與步驟。例1A、B兩個(gè)加油站位于同一公路旁，為在公路上行駛的汽車提供同一種汽油，彼此競(jìng)爭(zhēng)激烈。一天，A站推出降價(jià)銷售，以吸引顧客，造成B站的顧客被拉走。B站決定也降價(jià)銷售以拉回顧客。請(qǐng)你站在B加油站的立場(chǎng)上為其提

5、供決策支持。不論是A加油站還是B加油站，不管他們采用什么手段，其主要目的還是為獲得更多的利潤(rùn)。影響利潤(rùn)的主要因素有銷售量和價(jià)格。對(duì)于B加油站來(lái)講，其決策需要考慮銷售量和成本價(jià)格，而銷售量又取決于銷售價(jià)格，銷售價(jià)格的確定需要考慮A站的銷售價(jià)格，B站確定的新的銷售價(jià)格以及其他加油站的銷售價(jià)格。這些要素之間的關(guān)系如下：銷售量?jī)r(jià)格社會(huì)價(jià)格A站價(jià)格B站價(jià)格成本價(jià)格 2.1.2 從整體上把握問(wèn)題的方法 利用上面拓展思路的思維方法，我們對(duì)問(wèn)題和問(wèn)題的解決有了一些初步的認(rèn)識(shí)后，可能還是不知從何處入手解決問(wèn)題，往往陷于問(wèn)題的某個(gè)局部而不能自拔。這就要求我們必須努力把握住問(wèn)題的全貌，而把握住問(wèn)題的全貌的一個(gè)非常有

6、效的途徑便是研究問(wèn)題的結(jié)構(gòu)。 層次結(jié)構(gòu)是一種最常見(jiàn)的結(jié)構(gòu)。許多問(wèn)題都可以分解為若干個(gè)子問(wèn)題，每個(gè)子問(wèn)題又可以進(jìn)一步分解，如此類推。我們把各個(gè)部分用線段連接起來(lái)，便構(gòu)成了一個(gè)具有層次結(jié)構(gòu)的網(wǎng)狀圖。我們還可以在圖上進(jìn)一步分析，并標(biāo)示出問(wèn)題的特點(diǎn)和難點(diǎn)部分，這樣我們就能對(duì)問(wèn)題的整體框架一目了然。例2某公司現(xiàn)有2個(gè)工廠，4個(gè)倉(cāng)庫(kù)，工廠單一生產(chǎn)某種產(chǎn)品，工廠和倉(cāng)庫(kù)均可向所轄的50個(gè)客戶供貨。由于經(jīng)營(yíng)需要，公司擬對(duì)倉(cāng)庫(kù)作適當(dāng)變更，變更的內(nèi)容是指：可對(duì)1號(hào)庫(kù)擴(kuò)容；可在已選定的地址上新建一個(gè)倉(cāng)庫(kù)；可關(guān)閉2號(hào)庫(kù)或3號(hào)庫(kù)。公司不主張倉(cāng)庫(kù)的個(gè)數(shù)超過(guò)4個(gè)。由于向客戶供貨的運(yùn)費(fèi)和倉(cāng)庫(kù)改建的費(fèi)用均由公司負(fù)擔(dān)，故需建模為公

7、司選擇方案。若有可能，應(yīng)將所建模型推廣為適應(yīng)于雷斯蒂更一般情形下的方案選擇。顯然，公司的目標(biāo)是使總費(fèi)用最小。那么費(fèi)用是怎么構(gòu)成的呢？如下圖：總費(fèi)用運(yùn)輸費(fèi)用倉(cāng)庫(kù)改建費(fèi)用工廠到倉(cāng)庫(kù)工廠到客戶倉(cāng)庫(kù)到客戶1號(hào)庫(kù)的擴(kuò)建費(fèi)用5號(hào)庫(kù)的新建費(fèi)用2、3號(hào)庫(kù)節(jié)約費(fèi)用 C55C6C 總費(fèi)用結(jié)構(gòu)圖為：C6C55其中： 另外再介紹一種簡(jiǎn)單而有效的把握問(wèn)題整體的方法一一分解問(wèn)題法，即將問(wèn)題分解為“三要素”的三個(gè)部分，即分為：初態(tài)、目標(biāo)態(tài)和過(guò)程。 初態(tài)：覺(jué)察到的現(xiàn)在狀態(tài)。 目標(biāo)態(tài)：覺(jué)察到的希望目標(biāo)。 過(guò)程：能在初態(tài)和目標(biāo)態(tài)之間發(fā)生作用的行動(dòng)。“初態(tài)”可以理解為我們目前“有什么”，比如條件、數(shù)據(jù)等；“目標(biāo)態(tài)”則往往是我們希望

8、達(dá)到的、或想要得到什么或希望避免什么等等；“過(guò)程”則可以理解為我們要“做什么”。例3以例2說(shuō)明。初態(tài)：現(xiàn)有工廠和倉(cāng)庫(kù)以及運(yùn)輸費(fèi)用和倉(cāng)庫(kù)改建費(fèi)用。目標(biāo)態(tài)：擴(kuò)容、新建或關(guān)閉。過(guò)程： 建立判斷的優(yōu)化管理方案及相應(yīng)算法。 大家熟知的數(shù)學(xué)題目模式往往是從“已知”到“求(證)”，所以目前的教學(xué)很大程度上是致力于教會(huì)學(xué)生們?cè)诮o定條件下“怎樣做”以達(dá)到目標(biāo)，換言之，在事先己設(shè)定好初態(tài)和目標(biāo)態(tài)的情況下，教會(huì)你采用何種過(guò)程來(lái)達(dá)到目標(biāo)。可是我們?cè)诮鉀Q實(shí)際問(wèn)題時(shí)，通常要盡很大的努力才能分析出問(wèn)題的初態(tài)和目標(biāo)態(tài)。需要避免的是，在清晰地描述出問(wèn)題的初態(tài)和目標(biāo)態(tài)之前，不要急于去形成并運(yùn)用一個(gè)過(guò)程，即過(guò)早地進(jìn)入解決問(wèn)題的階段

9、。這樣做的后果是：由于條件不清、目標(biāo)不明，好比盲人摸象似的，工作很可能事倍功半。2.1.3 小組群體思維的方法 前面已經(jīng)說(shuō)過(guò)，數(shù)學(xué)建模經(jīng)常表現(xiàn)為一種集體性質(zhì)的活動(dòng)，它經(jīng)常需要不同部門或不同專長(zhǎng)的人們相互合作，各自發(fā)揮自己的特長(zhǎng)，正如俗話所說(shuō)“三個(gè)臭皮匠頂一個(gè)諸葛亮”。在建?；顒?dòng)中，經(jīng)常會(huì)發(fā)生這樣的事：兩個(gè)合作者(尤其是青年學(xué)生)激烈地爭(zhēng)論了很久，雙方都不讓步；又或者在沒(méi)有搞清楚對(duì)方想法的情況下，盲目地爭(zhēng)論否認(rèn)對(duì)方的想法，在爭(zhēng)論很久以后才發(fā)現(xiàn)雙方的論點(diǎn)竟然是完全一致的。為了高效率地合作，提高交流能力，減少無(wú)謂的爭(zhēng)辯，在建模時(shí)有必要制定一些交流、討論的原則。 首先，良好的合作必須建立在相互平等、相

10、互尊重和充分交流的基礎(chǔ)上。要真正做到這一點(diǎn)，就必須注意一些“交流忌語(yǔ)”： (1)武斷的評(píng)價(jià)。輕易使用“這絕對(duì)不行”、“這根本行不通”這類語(yǔ)句，不僅會(huì)刺傷同伴的自尊心，往往還會(huì)束縛自己思路。 (2)回避責(zé)任。遇到問(wèn)題的第一反應(yīng)便是“怎么辦呢?”，這是只能依靠別人時(shí)所使用的語(yǔ)句。而“我想這樣做，你看怎么樣?”這種自己也承擔(dān)一部分責(zé)任的態(tài)度是很必要的。如若不然，對(duì)問(wèn)題的觀察和分析、對(duì)工作的適應(yīng)能力就會(huì)變得越來(lái)越遲鈍。 (3)無(wú)可奈何?！皼](méi)辦法!”，說(shuō)這話只是為了回避問(wèn)題，不僅使自己的能力不能充分發(fā)揮出來(lái)，而且還會(huì)壓抑人們對(duì)問(wèn)題的深入觀察、思考和實(shí)際行動(dòng)的能力。 (4)對(duì)交流失去信心。“很難聽(tīng)懂他說(shuō)的

11、什么”、“他簡(jiǎn)直無(wú)動(dòng)于衷!”，這也反映出一種對(duì)待問(wèn)題的消極態(tài)度。面對(duì)問(wèn)題應(yīng)采取積極的態(tài)度去分析、去解決。這里應(yīng)該從說(shuō)、聽(tīng)兩個(gè)方面去檢查原因：表達(dá)者是否清楚地表達(dá)了自己的意思?最好把自己的想法寫出來(lái)，這樣使對(duì)方有充分的時(shí)間去思考并理解你的思想，同時(shí)你在書寫的時(shí)候還能更好地整理你的思路。作為傾聽(tīng)的一方應(yīng)積極反饋，“你對(duì)哪一部分還不理解?”或“我是這樣理解的，你看對(duì)不對(duì)？”。 交流中還必須注意學(xué)會(huì)傾聽(tīng)，首先讓對(duì)方把話說(shuō)完，稍加思考后再發(fā)表自己的看法。傾聽(tīng)的時(shí)候，努力去把握對(duì)方講話的要點(diǎn)，最好做一下筆記，并用反饋的方式確認(rèn)是否真正理解了對(duì)方的思路。另外，正確的身體姿態(tài)也會(huì)增強(qiáng)交流的效果，如目光正視對(duì)方

12、、理解時(shí)面帶微笑地點(diǎn)點(diǎn)頭以鼓勵(lì)對(duì)方繼續(xù)下去。相反的，如果聽(tīng)的一方左顧右盼，或毫無(wú)表情，則會(huì)嚴(yán)重影響講話者的情緒。事實(shí)上，正確的肢體語(yǔ)言可強(qiáng)化交流效果，反之，錯(cuò)誤的肢體語(yǔ)言很可能造成對(duì)方的反感，致使交流失敗。一位名叫阿萊斯庫(kù)·奧茲龐的美國(guó)人提出了一種集體思考法方法，這種方法是采取召開(kāi)會(huì)議的形式，讓大家暢所欲言地出主意、想辦法。作為一條原則，就是對(duì)別人的意見(jiàn)不予批評(píng)，讓大家自由地思考、不受約束地提出各自的方案，或借助于別人的想法進(jìn)一步制定出更好的方案?？傊谝粋€(gè)開(kāi)放的環(huán)境中，大家應(yīng)充分交流、相互啟發(fā)、積極吸取別人的長(zhǎng)處.2.2 建模方法論在第一章中我們介紹了數(shù)學(xué)建模的一般步驟和流程，其

13、中最為重要的五個(gè)步驟為：?jiǎn)栴}的分析、模型假設(shè)、建立模型、模型求解以及對(duì)模型的分析、檢驗(yàn)、修改與推廣。當(dāng)我們面臨新的建模問(wèn)題時(shí)，由這五個(gè)步驟構(gòu)成的流程是非常具有指導(dǎo)意義的。下面我們結(jié)合實(shí)例對(duì)上述流程的各個(gè)步驟作具體說(shuō)明。2.2.1問(wèn)題分析（模型準(zhǔn)備） 進(jìn)行數(shù)學(xué)建模和做很多數(shù)學(xué)“應(yīng)用題”具有非常顯著的差別，首先，“應(yīng)用題”通常有不多不少恰到好處的條件和數(shù)據(jù)，內(nèi)容和方法也基本限制在該節(jié)或該章。而數(shù)學(xué)建模問(wèn)題經(jīng)常是由各領(lǐng)域的應(yīng)用者提出的，因而既不可能明確提出該用什么方法，也不會(huì)給出恰到好處的條件(可能有多余的條件，也可能缺少必要的條件和數(shù)據(jù))。更經(jīng)常出現(xiàn)的情形是：?jiǎn)栴}本身就是含糊不清的。問(wèn)題含糊不清的

14、產(chǎn)生原因很可能是來(lái)自不向領(lǐng)域的人們相互間的交流發(fā)生障礙，也可能是提出問(wèn)題的人只是感覺(jué)到需要解決某些方面的問(wèn)題，但他還不能清楚地描述這個(gè)問(wèn)題，當(dāng)然，也可能存在你對(duì)問(wèn)題是否能準(zhǔn)確理解的情形.所以，數(shù)學(xué)建模的第一步便是對(duì)問(wèn)題的分析。為此，要充分了解問(wèn)題的實(shí)際背景，明確建立模型的目的，盡可能弄清楚對(duì)象的特征，并為此搜集必需的各種信息或數(shù)據(jù)。要善于捕捉對(duì)象特征中隱含的數(shù)學(xué)因素，并將其一一列出（這時(shí)是不怕多的，只怕一個(gè)也列不出）。至此，我們便有了一個(gè)很好的開(kāi)端，因而可以初步確定用哪一類模型。只有情況明確了才能保證方法對(duì)，這一步一定不能忽視。如果不經(jīng)過(guò)這一步，過(guò)早地著手解決問(wèn)題，往往會(huì)陷入一些意想不到的陷阱

15、，或者偏離方向。我們看一下的例子。例4（方桌問(wèn)題）日常生活中經(jīng)常碰到這樣的事情：把方桌置于地面上時(shí)，常常是只有三只腳著地而放不穩(wěn)，通常需要調(diào)整幾次方可將方桌放穩(wěn)，試用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)此問(wèn)題給以表述，并用數(shù)學(xué)工具給予說(shuō)明：方桌能否在地面上放穩(wěn)?若能，請(qǐng)給予證明并給出做法，否則說(shuō)明理由。我們來(lái)看看這個(gè)似乎與數(shù)學(xué)毫無(wú)關(guān)系的實(shí)際問(wèn)題怎樣一步步轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，并用數(shù)學(xué)工具給以證明的。問(wèn)題分析：所謂方桌能否在地面放穩(wěn)是指方桌的四個(gè)腳能否同時(shí)著地，而四個(gè)桌腳是否同時(shí)著地是指四個(gè)桌腳與地面的距離是否同時(shí)為零。于是我們可以轉(zhuǎn)而研究四個(gè)桌腳與地面的距離是否同時(shí)等于零。這個(gè)距離顯然是變化的，于是可視為函數(shù)，那么作為函數(shù)，

16、它隨哪個(gè)量的改變而改變？ 構(gòu)造這個(gè)距離函數(shù)成為主要建模目的。為了構(gòu)造函數(shù)和設(shè)定相關(guān)參數(shù)，讓我們實(shí)際操作一下，從中搜集信息，弄清其特征（這也是建模中常用的策略）。要想四個(gè)桌腳同時(shí)著地，通常有兩種方法，其一是將方桌搬離原地，換個(gè)位置試驗(yàn)，另一個(gè)做法是在原地進(jìn)行旋轉(zhuǎn)試驗(yàn)。前法需要研究的范圍可能要很大，這里采取第二種做法（請(qǐng)讀者一定做一下：沿逆時(shí)針或順時(shí)針慢慢旋轉(zhuǎn)幾個(gè)小角度即可）。易得出結(jié)論：只要地面相對(duì)平坦，沒(méi)有地面大起大落情況，那么隨著旋轉(zhuǎn)角度的不同，三只腳同時(shí)落地后，第四只腳與地面距離也不同（不僅如此，旋轉(zhuǎn)中總有兩個(gè)腳同時(shí)著地，而另兩個(gè)腳不穩(wěn)定）而最終找到一個(gè)角度，使這個(gè)距離為零。也就是說(shuō)，這個(gè)

17、距離與旋轉(zhuǎn)角度有關(guān)，是旋轉(zhuǎn)角度的函數(shù)，于是一個(gè)確定的函數(shù)關(guān)系找到了。我們的問(wèn)題也順其自然地轉(zhuǎn)化為：是否存在一角度，使得四個(gè)距離函數(shù)同時(shí)為零？ 綜上分析，問(wèn)題可以歸結(jié)為證明函數(shù)的零點(diǎn)的存在性，遂決定試用函數(shù)模型予以處理。 請(qǐng)注意上述內(nèi)容中的黑體字，它實(shí)際上蘊(yùn)涵了使方桌放穩(wěn)的一些前提條件，而這些往往是下一步我們要做出的假設(shè)的部分內(nèi)容。 例5. （走路問(wèn)題）考慮如下問(wèn)題：人在勻速行走時(shí)，步長(zhǎng)多大才能最省力? 問(wèn)題分析：對(duì)這樣的問(wèn)題，好像一時(shí)無(wú)法回答,你必須搞清楚這個(gè)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是要做什么.所謂省力是指走步所作的功最少，走步時(shí)步長(zhǎng)過(guò)大或過(guò)小都不省力，因而必有一個(gè)合適的步長(zhǎng)，使作功最少（作功大小應(yīng)是步長(zhǎng)的

18、函數(shù)）。當(dāng)然，所做功還與許多因素有關(guān)，譬如提高人體重心所需勢(shì)能，兩腿運(yùn)動(dòng)所需動(dòng)能（可由數(shù)學(xué)公式表達(dá)）；所穿衣物多少，是否負(fù)有重物，穿的鞋子是否輕便，行走地面是否平坦、干燥，走路時(shí)腿的運(yùn)動(dòng)形式（可否都用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)？）等。建模目標(biāo)：求一個(gè)功函數(shù)，它應(yīng)該是步長(zhǎng)的函數(shù)。 例6（熱傳導(dǎo)問(wèn)題） 在比較寒冷的北方城鎮(zhèn)，雙層玻璃密封窗使用的十分普遍。這種窗戶上的玻璃是雙層的，兩層玻璃中間有一定空隙，利用橡膠制品將中間的空氣與外界隔離開(kāi)制成。據(jù)說(shuō)這種窗戶保暖效果比過(guò)去沿用多年的單層玻璃窗要好，試建立其數(shù)學(xué)模型以描述雙層玻璃密封窗的保溫功能。問(wèn)題分析：1建模目的是分析雙層玻璃密封窗的保溫功能。所謂窗戶的保溫效果

19、是指室內(nèi)的熱量通過(guò)玻璃窗散發(fā)出去的量的分析，它與室內(nèi)室外的溫度有關(guān)系，與窗戶的密封情況、玻璃材料，以及房間大門的保溫情況也有關(guān)。2雙層玻璃密封窗保溫效果的優(yōu)與劣自然是相對(duì)于單層玻璃窗保溫效果來(lái)說(shuō)的，故可以通過(guò)對(duì)比方式來(lái)研究效果。3關(guān)于熱量擴(kuò)散問(wèn)題，應(yīng)查閱相關(guān)物理資料以備用。 例7（宇宙速度問(wèn)題） 眾所周知，數(shù)值7.9km/秒與11.2km/秒被稱為第一與第二宇宙速度，那么它們是怎么得到的?如此精確的數(shù)量結(jié)果恐怕除使用數(shù)學(xué)模型外的其它方法是難已獲得的。問(wèn)題分析：衛(wèi)星發(fā)射情形大家至少都在電視中見(jiàn)過(guò)：一枚運(yùn)載火箭豎立于發(fā)射架上，一旦點(diǎn)火，火箭便騰空而起飛向太空。火箭的去向大體上有兩個(gè)，其一是擺脫地球

20、引力而飛向遠(yuǎn)方，其二是不脫離地球引力范圍而沿著固定軌道繞地球運(yùn)行。前者恐怕要去探測(cè)其它行星的秘密，后者便是人們所說(shuō)的人造地球衛(wèi)星。不論哪種情形，有兩個(gè)基本原理在起著關(guān)鍵作用：一個(gè)是它們都屬于運(yùn)動(dòng)模型，故應(yīng)首先考慮牛頓運(yùn)動(dòng)定律的應(yīng)用；另一個(gè)是它們的飛行均與地球引力直接相關(guān)，因此，還要考慮萬(wàn)有引力定律的的運(yùn)用。另外，衛(wèi)星質(zhì)量，火箭質(zhì)量及其流線形式，還有那個(gè)不可忽視的空氣阻力等都應(yīng)在考慮之列。2.22 模型假設(shè) 模型假設(shè)是與問(wèn)題分析緊密銜接的一個(gè)重要步驟。根據(jù)對(duì)象的特征和建模目的，在問(wèn)題分析的基礎(chǔ)上需要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行必要的、合理的取舍簡(jiǎn)化，并使用精確的語(yǔ)言作出假設(shè)，這是建模至關(guān)重要的一步。這是因?yàn)?，一個(gè)

21、實(shí)際問(wèn)題往往是復(fù)雜多變的，如不經(jīng)過(guò)合理的簡(jiǎn)化假設(shè)，將很難轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型，即便轉(zhuǎn)化成功，也可能是一個(gè)復(fù)雜的難于求解的模型從而使建模歸于失敗。于是，我們必須忍痛割愛(ài)，從中舍去次要因素，抓住主要因素，進(jìn)行必要的篩選；如果我們認(rèn)定的主要因素還是覺(jué)得多的話，為了能順利建模，也必須，或者說(shuō)至少是暫時(shí)不予以考慮而舍棄，等到最后在模型分析時(shí)再給予考慮，或者在本模型建立中根本不予考慮。當(dāng)然，假設(shè)作得不合理或過(guò)分簡(jiǎn)單也同樣會(huì)因?yàn)榕c實(shí)際相去甚遠(yuǎn)而使建模歸于失敗。 一般地，作出假設(shè)時(shí)要充分利用與問(wèn)題相關(guān)的有關(guān)學(xué)科知識(shí)，充分發(fā)揮想象力和觀察判斷力，分清問(wèn)題的主次，抓住主要因素，舍棄次要因素。另一方面，在我們選定的因素里

22、，為建模需要，也常常要進(jìn)行合理的簡(jiǎn)化，諸如線性化，均勻化，理想化等近似化處理，這也是滿足建模所用數(shù)學(xué)方法必須的前提條件。當(dāng)然，假設(shè)不能違背實(shí)際問(wèn)題主要特征和建模目的。有人說(shuō)，進(jìn)行假設(shè)的目的就在于在第一步列出的各種因素中選出主要因素，忽略非本質(zhì)因素，既使得問(wèn)題簡(jiǎn)化以便進(jìn)行數(shù)學(xué)處理，又抓住了問(wèn)題的本質(zhì)，是不無(wú)道理的。另外，為建模順利，寫出假設(shè)時(shí)，語(yǔ)言要準(zhǔn)確，就象作習(xí)題時(shí)寫出已知條件一樣。所有這些就是模型假設(shè)這一步要做的工作。我們結(jié)合以下例子給予說(shuō)明。1對(duì)方桌問(wèn)題來(lái)說(shuō)，依前面的問(wèn)題分析，我們可做出如下假設(shè)： （1）桌子的四條腿同長(zhǎng)（這個(gè)假設(shè)顯然合理，而且避免了問(wèn)題與桌腿長(zhǎng)度有關(guān)使問(wèn)題變復(fù)雜）。 （2

23、）將方桌的桌腳與地面接觸處看成是一個(gè)幾何點(diǎn)，四腳連線為正方形（這是因?yàn)閱?wèn)題本身考慮的是能否四腳著地而與桌腿樣式、粗細(xì)、質(zhì)地等無(wú)關(guān)。像這樣將問(wèn)題抽象化，將易于在數(shù)學(xué)上進(jìn)行處理）。 （3）地面相對(duì)平坦，即在旋轉(zhuǎn)所在地面范圍內(nèi)，方桌在任何位置至少有三只腳同時(shí)著地（自然這是符合實(shí)際的合理假設(shè)，也是我們?cè)趩?wèn)題分析中注意到了的）。（4）地面高度連續(xù)變化，即可視地面為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面（這樣，所設(shè)的高度函數(shù)便成為角度的連續(xù)函數(shù)）。在上述假設(shè)之下，我們所設(shè)的高度函數(shù)是定義在角度區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)。若設(shè)角度為，則可寫高度函數(shù)為。至于其模型建立就不在話下了。2對(duì)走路問(wèn)題來(lái)說(shuō)，依前面的問(wèn)題分析，我們可做出如下假設(shè)：（1

24、）人行走時(shí)所作的功由兩部份組成：抬高人體重心所需勢(shì)能與兩腿前后運(yùn)動(dòng)所需動(dòng)能。暫不考慮負(fù)重（劃定主要因素）。（2）運(yùn)動(dòng)與所穿鞋子、衣服情況無(wú)關(guān)，地面是相對(duì)平坦而干燥的（舍棄次要因素）。（3）人的行走可視為腿（直桿）繞腰部的轉(zhuǎn)動(dòng)（理想化表達(dá)）。（4）設(shè)定下列參量：M人的體重；m人的腿重；H人的腿長(zhǎng)；v行走速度；n單位時(shí)間行走的步數(shù)；x步長(zhǎng)。有了以上分析和假設(shè)，我們只須根據(jù)物理中的勢(shì)能公式和動(dòng)能公式計(jì)算出運(yùn)動(dòng)所做的勢(shì)能和動(dòng)能（他們自然是步長(zhǎng)的函數(shù)），然后求其最小值即可。3對(duì)熱傳導(dǎo)問(wèn)題來(lái)說(shuō)，依前面的問(wèn)題分析，我們可做出如下假設(shè)：（1）兩層玻璃的密封性能很好，即其中間的空氣是不流動(dòng)的，這樣，熱量的傳播過(guò)

25、程只有傳導(dǎo)而沒(méi)有對(duì)流，故此屬熱傳導(dǎo)問(wèn)題（抓住主要因素）。（2）設(shè)室內(nèi)溫度T1 ，室外溫度T2 均為常數(shù)，即沿?zé)醾鲗?dǎo)方向，單位時(shí)間通過(guò)單位面積的熱量是常數(shù)。（3）玻璃材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)（此與假設(shè)2同為均勻化和理想化處理，使模型便于處理又不失合理性）。（4）室內(nèi)溫度從其它途徑（門等）傳播情況忽略不計(jì)（忽略非主要因素影響）。有了上述分析和假設(shè)，就可以建立兩種不同玻璃窗熱量傳導(dǎo)值，從而通過(guò)比較其大小說(shuō)明問(wèn)題了。4對(duì)宇宙速度問(wèn)題來(lái)說(shuō)，依前面的問(wèn)題分析，我們可做出如下假設(shè)：（1）視火箭及其搭載物為一個(gè)質(zhì)量為定數(shù)的物體，與火箭搭載物的形狀，大小和尺寸等無(wú)關(guān)（簡(jiǎn)單化）。（2） 火箭的升天過(guò)程視為一個(gè)物

26、體在地球表面被垂直上拋的過(guò)程（實(shí)際情況）。（3）為使模型簡(jiǎn)單，忽略物體飛行中的空氣阻力不計(jì)（理想化）。（4）設(shè)定如下參量： m被垂直上拋的物體質(zhì)量； M地球質(zhì)量； R地球半徑； k萬(wàn)有引力常數(shù)（k>0） ； v0垂直上拋物體的初始速度。 這里，我們注意到一個(gè)似乎很不合理的假設(shè)：忽略空氣阻力。事實(shí)上，空氣阻力是不可避免的，而且是一個(gè)主要因素。那么，這個(gè)大膽的理想化處理的結(jié)果如何？你只需繼續(xù)做下去便可見(jiàn)分曉：它竟然給出了第二宇宙速度。然后，你不妨再將此因素考慮進(jìn)來(lái)，看看所建模型的結(jié)果，就會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)和體會(huì)。在上述分析和假設(shè)之下，建立其模型已經(jīng)是水到渠成。2.2.3 建立模型有了問(wèn)題分析和模型

27、假設(shè)做雄厚基礎(chǔ)，就到了建立模型這個(gè)最關(guān)鍵的步驟了。根據(jù)假設(shè)分析相關(guān)變量間的關(guān)系，尋求等量（不等量）關(guān)系或其它關(guān)系以建立模型時(shí)，應(yīng)充分利用已知領(lǐng)域的已知模型或結(jié)果，通過(guò)類比聯(lián)想等方法構(gòu)造模型，利用圖示方法等等。至于建立何種模型，要依據(jù)問(wèn)題分析與模型假設(shè)的情況，更要結(jié)合自己的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和使用模型的對(duì)象等具體情況，不能一概而論。這里先對(duì)上兩講所提到的幾個(gè)實(shí)例進(jìn)行建模。ABCDOx1建立例4的數(shù)學(xué)模型：如圖，以長(zhǎng)方形的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，且不妨設(shè)A、C兩桌腳開(kāi)始時(shí)位于橫軸上，則問(wèn)題與旋轉(zhuǎn)角度有關(guān)。注意到假設(shè)3，設(shè)A、B兩個(gè)桌腳與地面距離之和為，另外兩個(gè)桌腳與地面距離之和為則又由假設(shè)

28、2，以上兩個(gè)函數(shù)均為旋轉(zhuǎn)角度的連續(xù)函數(shù)，于是有命題：已知?jiǎng)t，使得這就是問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。2.建立例6的數(shù)學(xué)模型： 由物理學(xué)知道，在上述假設(shè)下，熱傳導(dǎo)過(guò)程遵從下面的物理規(guī)律： 厚度為的均勻介質(zhì)，兩側(cè)溫度差為，則單位時(shí)間由溫度高的一側(cè)向溫度低的一側(cè)通過(guò)單位面積的熱量為，與成正比，與成反比，即 （1）其中為熱傳導(dǎo)系數(shù)。 （1）雙層玻璃的熱量流失記雙層窗內(nèi)窗玻璃的外側(cè)溫度為，外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度為，玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)為，空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)為，由（1）式單位時(shí)間單位面積的熱量傳導(dǎo)（熱量流失）為： （2）由及可得再代入就將（2）中、消去，變形可得： （3）（2）單層玻璃的熱量流失對(duì)于厚度為的單層玻璃窗戶，容易寫出

29、熱量流失為： （4）（3） 單層玻璃窗和雙層玻璃窗熱量流失比較比較（3）（4）有： （5）顯然，。2.2.4 模型求解依據(jù)所建模型的特點(diǎn)和歸屬（哪個(gè)數(shù)學(xué)分支）尋求其求解方法，常有可能找不到相應(yīng)的數(shù)學(xué)工具，這時(shí)可考慮如下方案解決：（1）在問(wèn)題允許范圍內(nèi)，適當(dāng)修改所建模型，以方便求解；（2）若解析解求不出，通?？稍谠试S范圍內(nèi)求其近似解、數(shù)值解和圖解，也可考慮用計(jì)算機(jī)模擬；（3）若為未見(jiàn)過(guò)的全新模型，則需要你去發(fā)明新的算法，但一定給出嚴(yán)格的證明。1例4模型的求解：只須證明上述命題即可。將桌子旋轉(zhuǎn)，則A、B兩點(diǎn)與D、C兩點(diǎn)恰好交換位置。由假設(shè)便有，又由前述假設(shè)，令則有由于的連續(xù)性知也是連續(xù)函數(shù)。依據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)（零點(diǎn)定理），必至少存在一個(gè)角度， 使得，即又根據(jù)成立，故有2例6模型的求解： 為了獲得更具體的結(jié)果，我們需要的數(shù)據(jù)，從有關(guān)資料可知，不流通、干燥空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)（焦耳/厘米.秒.度），常用玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)（焦耳/厘米.秒.度），于是 在分析雙層玻璃窗比單層玻璃窗可減少多少熱量損失時(shí)，我們作最保守的估計(jì)，即取，由（3）（5