正態(tài)分布簡述及其運用

1、畢 業(yè) 論 文（設 計）題目：正態(tài)分布的簡述及其應用： Description and Application of the NormalDistribution院 別：計算機科學學院專 業(yè)： 數(shù)學與應用數(shù)學（師范）姓 名：邱玉芬學 號：2005030144031指導教師：張姣玲答辯日期：2009 年6 月正態(tài)分布的簡述及其應用摘要本文主要介紹了正態(tài)分布的由來、概念和性質，描述了二維和n 維正態(tài)分布，給出正態(tài)分布求廣義積分的方法，把概率密度性質的計算從一維情形推廣到條件不同時的二維情形，并舉例說明；同時，從正態(tài)分布的矩母函數(shù)的計算出發(fā)，本文認為用矩母函數(shù)計算指數(shù)函數(shù)更加方便；并利用正態(tài)分布求出

2、數(shù)學物理方程中熱傳導方程cauchy 問題的基本解。另外，本文還使用一些例子以說明正態(tài)分布在現(xiàn)實生活中是非常有用的。關鍵詞：正態(tài)分布 ; 中心極限定理; 熱傳導方程; 基本解Description and Application of the NormalDistributionABSTRACTThis article introduces the origin of the normal distribution, and its definition and nature, discusses two-dimensional and n-dimensional normal distrib

3、ution, and provides the method of normal distribution for generalized integral.With examples, it applies the calculation of probability density from the one-dimensional to the Second dimensional under different conditions.According to the calculation of moment generating function in normal distribut

4、ion, it's believed that the moment generating function is more convenient than the exponential function. And then normal distribution is used to derive the fundamental solution to the cauchy problem in heat conduction equation, the mathematical physics equations. In addition, some examples are r

5、aised to show that normal distribution is very useful in real life.Key words ： Normal Distribution; Central Limit Theorem; Heat equation; Elementary solution1 正態(tài)分布的由來12 正態(tài)分布的概念、性質及推廣32.1 正態(tài)分布的定義32.2 正態(tài)分布的性質42.3 參數(shù) 和 的意義 52.4 二維正態(tài)分布及n 維正態(tài)分布6.3 關于正態(tài)分布一些應用73.1 正態(tài)分布的重要性分析73.2 正態(tài)分布的應用舉例93.2.1 正態(tài)隨機變量X ，落在

6、區(qū)間（ x1,x2） 內的概率計算93.2.2 2利用正態(tài)分布的相關概念方便地計算出一類廣義積分113.2.3 利用正態(tài)分布密度函數(shù)求解在數(shù)學物理方程中熱傳導方程Cauchy 問題的基本解 173.2.4 一些生活中與正態(tài)分布有關的例子 2.1參考文獻24致謝 25正態(tài)分布的簡述及其應用1 正態(tài)分布的由來在自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象中，正態(tài)分布1是一種最常見的連續(xù)型隨機變量的分布。它在概率論和數(shù)理統(tǒng)計中，無論在理論研究還是實際應用上都占有頭等重要的地位。這是因為它在誤差理論、無線電噪聲理論、自動控制、產品檢驗、質量控制、質量管理等領域都有廣泛應用。數(shù)理統(tǒng)計中許多重要問題的解決都是以正態(tài)分布為基礎的。大

7、量的實踐經驗和理論分析表明，多數(shù)的隨機變量都服從或近似服從正態(tài)分布。例如：測量誤差、各種產品的質量指標（如零件尺寸、材料的強度等）、人的身高或體重、某種植物的株高、某城市一天的用電量、某個教學班的考試成績等等。數(shù)學和經驗都證明：受大量、獨立、均勻小效應影響的隨機變量服從正態(tài)分布。在數(shù)理統(tǒng)計中用于統(tǒng)計推斷的許多統(tǒng)計量，不管資料的原分布是什么，只要樣本容量n 充分地大，它都近似服從正態(tài)分布。某些統(tǒng)計量，即使偏離了正態(tài)分布，只要偏離量不大也可以按正態(tài)分布處理。因此，正態(tài)分布的應用是十分廣闊的。從歷史上說，正態(tài)分布的發(fā)現(xiàn)，經過若干大學者的工作。最早是18 世紀 30 年代的法國概率論學者棣莫弗，他是在

8、研究對一個概率作近似計算時發(fā)現(xiàn)這個分布的。但是，他只是把它作為一個近似計算的工具，而并非作為刻畫隨機現(xiàn)象的概率分布。以后有幾位學者從其余的途徑得出這條曲線，但都未把它提到概率分布這個角度去看。直到 1809年，德國的大數(shù)學家高斯，在研究測量誤差的概率分布時，才第一次以概率分布的形式把這個分布提出來，所以這個分布有了“高斯分布”的名稱。當高斯在19 世紀初發(fā)現(xiàn)正態(tài)分布時，其應用還只限于天文和大地測量中的誤差處理問題。到后來，經過一些學者，如比利時天文兼社會學家魁特萊特，英國遺傳學家高爾登等人的工作，正態(tài)分布的應用迅速擴大到許多自然和社會科學領域，這種狀況在很大程度上一直延續(xù)到今日。如果說，充斥著

9、偶然性質的世界是一個紛亂的世界，那么，正態(tài)分布為這個紛亂的世界建立了一定的秩序。了解了正態(tài)分布的來由，下面我們來看一道題目：引例：某公共汽車設計公司要對公共汽車門進行設計，汽車門高度既要讓絕大多數(shù)的人能順利通過，又不能以人的最高身高來設計，否則會浪費材料。為了達到要求，我們作以下假設：假設要求公共汽車門的高度是按照成年男子與車門頂部碰頭的概率在1%以下設計的，由統(tǒng)計資料可知我國成年男子的平均身高為169.7cm，并且身高向兩邊逐漸減少，則汽車門的高度應設計為多高才能符合要求？ 從這種分布情況可以看出，它跟正態(tài)分布的曲線分布狀態(tài)極為相似。為解決以上問題，讓我們先來了解正態(tài)分布的定義及其一些性質、

10、運用。72 正態(tài)分布的概念、性質及推廣2.1 正態(tài)分布的定義我們定義連續(xù)型隨機變量X 的概率密度(x )2122x ， (1)為正態(tài)總體的平均值，為正態(tài)總f (x)e ，2(1) 式中，為 3.14159, ，e為2.71828, ，體的標準差，x為正態(tài)總體中隨機抽取的樣本值。其中, (0) 為常數(shù)，則稱隨機變量 X 服從參數(shù)為， 的正態(tài)分布，記作X N( , 2 ) 。上式是德國著名數(shù)學家高斯在找誤差分布時于1795 年推導發(fā)現(xiàn)的，因此正態(tài)分布又稱高斯分布、誤差分布或常態(tài)分布2。正態(tài)分布密度函數(shù)f (x)如圖 1 所示， 這圖形條曲線稱 “正態(tài)分布密度函數(shù)曲線”或“正態(tài)分布曲線”，簡稱“正態(tài)

11、曲線”。由于它的形狀象只鐘，又稱“鐘形曲線”，為紀念高斯又稱“高斯曲線”。簡單地畫出正態(tài)分布的形狀圖，如圖特別地，當0,1 時，概率密度函數(shù)為f(x)21 ex22x ( 2)這時稱 X 服從標準正態(tài)分布，記為X N (0,1)。2.2 正態(tài)分布的性質從密度函數(shù)以及圖像上可以找出關于正態(tài)分布的一些性質3，這些性質在解決問題當中將會給我們帶來方便。性質1：曲線是單峰的，位于x軸的上方，與x不相交，且關于直線x 對稱；性質2：當x 時，取到最大值f （ ）1，2并由這一點向左、右兩邊延伸，曲線逐漸降低，x離越遠， f （x）的值越小。這表明對于同樣長度的區(qū)間，當區(qū)間離越遠， X 落在這個區(qū)間上的概

12、率越??；性質3：在x 處曲線有拐點，曲線以Ox 軸為漸近線；性質4：如果固定，改變 的值，則圖形沿著Ox 軸平移，而不改變其形狀，換句話說正態(tài)分布的概率密度曲線y f （x）位置完全由參數(shù)所確定，稱為位置參數(shù)；t212性質5：e dt 1 ，即曲線與x軸所圍面積為1。2性質6：在正態(tài)分布曲線上： X 落在區(qū)間（，） 的概率為0.6826； X 落在區(qū)間（2 ，2 ） 的概率為0.9544； X 落在區(qū)間（3 ，3 ） 的概率為0.9974；就是說，在平均數(shù)落在區(qū)間（，） 范圍內包括曲線下全部面積的68.26%，在區(qū)間 （2 ，2 ）范圍內，包含總體的面積為95.46%， 在區(qū)間 （3 ，3 ）

13、范圍內， 包含總體的面積的99.73%。 因此， 在區(qū)間 （3 ，3 ）范圍以外，僅有 0.27%的面積，在統(tǒng)計中可以棄而不顧。但是，需注意的是，x軸上的距離相等，因在曲線中所處的位置不同，所包括的面積是不相同的。越離平均數(shù)較遠的地方，在其標準差內所包括的面積越少。2.3 參數(shù) 和 的意義和 是正態(tài)分布的兩個參數(shù)，當 和 確定后 ,正態(tài)曲線就完全確定了，和 不同，正態(tài)曲線的位置和形狀則不同。是位置參數(shù),它的大小決定曲線在x軸上的位置，是形狀參數(shù)，它的大小決定曲線的高矮胖瘦。若不變只讓變，則曲線形狀不變，僅在x軸上平行移動，如圖2所示，若不變只讓變，則曲線在x軸上的位置不變，僅形狀發(fā)生變化，越小

14、則曲線越顯得高瘦陡峭，越大則曲線越顯得矮胖平緩。如圖 3 所示從幾何角度看，是正態(tài)曲線極大值的橫坐標，是曲線拐點的橫坐標到之間的距離，或者說是凸、凹曲線連接點的橫坐標，從物理角度看，是正態(tài)曲線與x軸之間的平面圖形重心的橫坐標。在數(shù)理統(tǒng)計中, 是正態(tài)分布的數(shù)學期望或叫均值, 是標準偏差。在計量學中，是被測量的真值，是表征測量值分散特性的一個度量指標。越大 ,觀測值落在附近的概率越小，即觀測值分散，測量精度低，越小，觀測值落在 附近的概率越大，即觀測 值集中，測量精度高?？傊?，表明了觀測值的集中趨勢，反映了觀測值的分散程度。顯然，我們希望越小越好。廣東技術師范學院本科畢業(yè)論文(設計)2.4 二維正

15、態(tài)分布及n 維正態(tài)分布以上對一維情況下的正態(tài)分布的定義與性質進行了簡單介紹，那么當我們遇到連續(xù)型隨機變量是二維的情況時。我們該如何定義二維正態(tài)分布呢？接下來將對二維及更一般情況的n 維正態(tài)分布進行簡單介紹。對于二維正態(tài)分布，我們是如下定義的：x, y設二維隨機變量(X ,Y)的概率密度為f (x, y)2 exp 221 2 1 r 2(1 r )其中1，2，1，2， r都是常數(shù)，且1 0, 2 0， r 1，我們稱(X,Y)服從參數(shù)為1，2，1 ，2， r的二維正態(tài)分布，記為(X,Y) N 1, 2, 12, 22,r 。對于 n 維正態(tài)分布，我們是如下定義的：引入9n維正態(tài)分布隨機變量(X

16、1,X2, ,Xn)的概率密度為1f (x1 ,x2, ,xn)n1(2 )2 (det C)211exp ( X ) C 1 (X )2其中 C 是 (X1, X2, ,Xn)的協(xié)方差矩陣。廣東技術師范學院本科畢業(yè)論文（設計）133 關于正態(tài)分布的一些應用3.1 正態(tài)分布的重要性分析我們知道正態(tài)分布現(xiàn)象在人們的日常生活中是普遍存在的，例如：在生產，測量，生物等各方面都會有服從或近似服從正態(tài)分布的例子。然而，我們是否有反思過為何人們會經常遇到正態(tài)分布呢？以下的中心極限定理將會給我們答案：(李雅普諾夫(Liapunov)定理)設隨機變量X1， X2， Xn , 相互獨立，它們具有數(shù)學期望和方差：

17、E Xk k， D Xkk20， k 1,2,記B 2nn2kk1若存在正數(shù)，使得當n 時，1B n2n E Xk k1n則隨機變量之和X k 的標準化變量：k1Xk E XkXkZ k1nk1nD Xkk1k1nkk1BnFn x 對于任意x，滿足該定理表明，在定理的條件下，隨機變量lim Fn x lim PnnXkkk1k1Bnt22 dt x 。nnXkkZnk1k1Bnnnn 很大時， 近似地服從正態(tài)分布N 0,1 。 由此， 當 n 很大時，X k Bn k 近k1k1只要和式中加項的個數(shù)充分大，似地服從正態(tài)分布N n k,Bn2 。 也就是說在應用當中，k1就可以不必考慮和式中的

18、隨機變量服從什么分布，都可以用正態(tài)分布來近似。這個定理就揭示了為何正態(tài)分布隨機變量在概率論中占有重要的地位的一個基本原因，也從理論上揭示了為什么在實際應用中會經常遇到正態(tài)分布。這個定理證明了由大量微小的而且獨立的隨機因素引起并積累而成的變量，必須是一個正態(tài)隨機變量，由此我們可以知道，當測量一物體的長度時不可避免地有許多引起測量誤差的隨機因素影響著我們的測量結果，其中有些誤差是由測量儀器的情況引起的，這些情況可以在溫度、大氣壓力或其他因素的影響之下改變著；有些誤差是屬于測量者個人的誤差，這些誤差大都是由于視覺或聽覺引起的；等等。這些因素中的每一個都可能使測量結果產生很小的誤差，然而由于所有這些誤

19、差共同影響著測量結果，于是我們得到的是一個“總誤差”，所以實際測量得到的誤差可以看作是一個隨機變量 X ，n它是很多數(shù)值微小的獨立隨機變量Xi 的總和， 這個總和X X i 在某種具體的條件下，i1當 n 充分大時, 近似服從正態(tài)分布。中心極限定理就是概率論中論證隨機變量和的極限分布為正態(tài)分布的定理總稱。正態(tài)分布的簡述及其應用3.2 正態(tài)分布應用舉例3.2.1 正態(tài)隨機變量X，落在區(qū)間( x1,x2) 內的概率計算概率統(tǒng)計指出，連續(xù)隨機變量X 落在區(qū)間 ( x1,x2) 內的概率等于它的密度函數(shù)f (x)在該區(qū)間上的定積分，即：x2p(x1X x2 )f(x)dxx1對 X N(0,1)有：x

20、2p(x1Xx2 )2ex1x22 dx (3)對 X N( , 2)有：1x2p(x1Xx2)e2 x1(x )22 2 dx (4)式 (3)的幾何意義如下圖所示。有了正態(tài)分布表，計算上面兩個積分就十分容易了。對服從標準正態(tài)分布的隨機變量，可直接查正態(tài)分布表，對服從一般正態(tài)分布的隨機變量，通過變量置換也可以直接查正態(tài)分布表。191、當隨機變量X N(0,1)時的概率計算若 X N(0,1)，則 X 落在區(qū)間 ( x1,x2) 內的概率由式(3)和 (4)式得：p(x1 X x2)1 x2x22ex11x2dxe2x1x2dx 1 e22 dx(5)(x2)(x1)( x1) 和 ( x2)

21、 可由正態(tài)分布表查得。例：設 X N(0,1)，求p(0.3 X 1.2)； p(X 0.3)； p(X 1.2)。解：由 (5)式得，p(0.3 X 1.2)1.2x21.2x20.3x2111e 2 dxe 2 dxe 2 dx(1.2)(0.3)0.3 222(1.2) 0.88493，(0.3) 0.61791p(0.3 X 1.2) 0.88493 0.61791 0.26702 p(X0.3)dx(0.3) 0.61791p(X 1.2) 1 p(X 1.2) 1(1.2) 1 0.88493 0.11507由例知，p(X0.3)+ p(0.3 X 1.2) + p(X 1.2)

22、1X 在整個 x 軸上取值 , 故概率必為1，這也證明了正態(tài)曲線與x 軸所圍面積為12、當隨機變量X N( , 2)時的概率計算若 X N( , 2)， 則 X 落在區(qū)間 ( a,b) 內的概率,原則上講只要對它的密度函數(shù)在區(qū)間 ( a, b) 上積分p(a X b)ea2(x )22 2 dx即可求得。由分布函數(shù)的定義可知，服從一般正態(tài)分布的隨機變量的分布函數(shù)為：e 2 2 dxF (x) p(X x) p( X x)x令 y x ，則 X 落在區(qū)間(x1,x2 ) 內的概率為：x2p(x1 X x2 )x12x21 e2y2x12 dy(x)222x2dxy2e 2 dy (x-那么， p

23、(X x) 1 - p(Xx) 1 - ()(x )2122e 2 dxx1xxx2)(x1)例： X N(1,4)，求p(0 X 1.6)； p(X 2.3)(x )2122e 2 dx解： 1 ，21.6 10 1p(0 X 1.6)( . 2 )( 2 )(0.3)( 0.5)0.6179 0.3085 0.309423 1 p(X 2.3) 1 p(X 2.3) 1(2.3 1) 1(0.65) 1 0.7422 0.257823.2.2利用正態(tài)分布的相關概念方便地計算出一類廣義積分正態(tài)分布的概率、分布函數(shù)、期望、方差及矩函數(shù)等都可以用積分(多數(shù)情況下是無窮區(qū)間廣義積分)來表示。下面通

24、過實例進行探討在某些廣義積分收斂前提條件下，利用正態(tài)分布的相關概念方便地計算出一類廣義積分4。1、 利用正態(tài)分布的概率密度性質計算廣義積分定義 設 X 為連續(xù)型隨機變量，若X 的概率密度函數(shù)為1 (x )2f(x) e 2 22( x)，其中 ,2 為已知參數(shù)，則稱2X 服從正態(tài)分布，記作X N( , 2 )(x )2 e226)廣東技術師范學院本科畢業(yè)論文（設計）212（x ）2利用此式可以簡單地計算e 2 2 dx類型廣義積分。例 1 計算廣義積分x21） e dx；解： 1） 令 x t ，則(x 2)22)e 4 dx2）t221e dx e 2 dt2(x 2)2e4(x 2)dx2

25、21 e 2( 2)2 dx 222此例中，1）看作隨機變量X N（0,1） ； 2）看作隨機變量X N（2,（ 2）2），用通常微積分方法求解本例比較困難。把被積函數(shù)看作（或變換成）某個正態(tài)分布的概率密度，再利用（6）式計算積分，則較為簡單。將（6）式由一維情形推廣到二維情形得f (x, y)dxdy 11f (x, y)2 exp21 2 1 r2122(1 r 2)x 121x 1y 22r1222exp2(1 r2)2x 2rxy2121 2x, y令12 0, r 1 ，則1f (x, y)2例：求二重積分e22 25x2 40xr 25y218dxdyx1 2 1 r2 2 4xr

26、 y2525x2 40xr 25y2y解：e 18dxdy e1 (45)2dxdy正態(tài)分布的簡述及其應用25x2 40xr 25y2上式看作二維隨機變量(X,Y) N (0,0,1,1, )，則e 18dxdy562、 利用正態(tài)分布的期望定義、計算廣義積分定義 設連續(xù)型隨機變量的概率密度為f(x) ，若 xf (x)dx絕對收斂，則稱此積分為 X 的期望，記作EX對于正態(tài)分布X N( , 2)，可以證明EX ，即有1 (x )27)e 2 dx22利用( 7)可以較為方便地計算(x )xe 2 2 dx 型廣義積分。(x 4)2例 2 計算廣義積分( x 1) e 6 dx(x 4)2(x

27、4)2解 : 原式 xe (2 3) dxe 2( 3 ) dx2 3x123(x 4)2(2 3) 2 dx2323(x 4)22( 3)2dx 466 36本例中可看作隨機變量X N(4,( 3)2)，這類廣義積分一般利用換元法比較麻煩。而把被積函數(shù)看作(或變換成)某隨機變量正態(tài)分布的期望表達式，則很容易求解。313、 利用正態(tài)分布的方差定義計算廣義積分定義 設連續(xù)型隨機變量的期望為EX ，概率密度函數(shù)為f(x)，若E(X EX)2 存在( x)，則稱x E(x)2 f(x)dx為 X的方差，記作DX 。若 X N( , 2) ，則可證明DX 2 ，即有：(x )(x )221222e 2

28、 dx28)DX EX2 (EX)2， 即有EX 2DX (EX)2于是對于正態(tài)分布有x2(x )2122e22dx22義積分。利用(6) 、 ( 7) 、 ( 8)式可以比較方便地計算(xc) 2 21e(x )22 2 dx 型廣2例 3 計算廣義積分( x4)e(x 4)28 dx(x 4)212 22解：原式2 2( x 4) 2e 2 2 dx228)式知，原式2 2228 2 。這里把所求積分變換成某這類廣義積分一般需要用換元法和分部法是比較繁雜的，4、 利用正態(tài)分布的矩母函數(shù)計算廣義積分x定義 設連續(xù)型隨機變量X 的概率密度為f (x) ，若 X 的函數(shù) e x的期望存在，則稱E

29、(e x )為 X的矩母函數(shù)( h2h2)。記作：Mx( ) E(ex) e xf(x)dx可以證明E(xn )d nMx( )dn 0 ( n 為正整數(shù))。對于正態(tài)分布2X N( , 2 )，可以求得其矩母函數(shù)為Mx( ) e22 2 ，可以得到E(xn) xn12(x )2 e 22dx22n2n (e ) 0 ( 9)利用( 9)式可以較方便地計算如下類型積分(x c)ne(x )22 2 dx。4例 4 計算廣義積分x e(x 3)22 dx解：原式2(x 3)22 dxd42 E(x )2d432(e 201 3 8232此例可看作隨機變量X N (3,1) ，則 Mx( ) e 2

30、 ，這里把所求積分變換成E(xn )形，利用矩母函數(shù)求解，簡單方便。從(9)式的廣義積分推導可知，取f (x)那么Mx( )0e x e xdxE(xn)dnMx( )dn0En(x )x n e xdx0e x x 0,00 x0e( )xd( )x e0( )x 0()n!()n1 0n!n!n!xne xdx n 10例5：計算x3e 2xdx分法較復雜的計算，快速解決問題。解：x3e 2xdx3!323 1用分部積分法，計算如下：所以在遇到指數(shù)函數(shù)這種類型的分布計算，可直接利用上述的結論，減少用分部積3 2xx e dx13 2x 3xe 023x2e2x dx20312 2x( xe

31、 02232xxe dx2031( xe223 2x e2x0122 2xx e dx2xxe dx)2x0 e dx)403e82x031 2xdx ( e )4238(x c)ne(x )22 2 dx表示，利用正態(tài)分布密度函數(shù)性質、數(shù)字特征及矩母函數(shù)有關概念可以方便地計算這類廣義積分。我們不但要看到可以利用微分的方法來處理概率統(tǒng)計中連續(xù)型隨即變量的有關問題，而且也應該看到利用概率統(tǒng)計中有關概念及方法來處理微積分的一些問題，有時也是很方便的，這不但有利于揭示不同數(shù)學分支之間的內在聯(lián)系，而且可以加強逆向思維能力的訓練，以加深對有關條件知識的理解和掌握。3.2.3 利用正態(tài)分布密度函數(shù)求解在數(shù)

32、學物理方程中熱傳導方程Cauchy1、一維熱傳導方程的Cauchy 問題2ut a uxx0x ,t 0xx( 10)u(x,0) f (x) x .現(xiàn)在求解問題(10) 。視 t 為參數(shù) , 關于 x進行 Fourier 變換 , 記Fu(x,t) u( ,t), Ff(x) f( )，由 Fourier 變換的性質，得到d uadtu (, 022 u)f0 ,t0(),.這是帶參數(shù)的常微分方程的Cauchy 問題 , 它的解為22u( ,t) f( )ea t(11)對 (11 )式兩邊作Fourier 逆變換 , 得到22u(x,t) f( x) * F 1e a t(12)通過求解得

33、到Cauchy 問題 (10) 的解為1 (x X2 )2u(x,t) 1 f(X)e 4at dX 。2a t21 4a2t定義 1 稱 E(x,t)e 4a t 為一維熱傳導方程Cauchy 問題 ( 10) 的基本解52a t定義 1 稱問題213)uta uxx 0u(x,0)(x)（ x） 為廣義函數(shù)）的解為一維熱傳導方程Cauchy問題（10）的基本解。定理 2.1 由定義 1 和定義 1給出的基本解是等價的。證明 只要求出問題（13）的解即可。將此解記為E ，則 E 滿足214)Et a Exx 0E(x,0)(x)正態(tài)分布的簡述及其應用將（14）式兩端分別對變量x作Fourie

34、r 變換并注意到F （x） 1 ，得到dE 2 2 a2 2E 0dtE (, 0 ) 1其解為 E（ ,t） e a t 。按前面的方法求其Fourier 逆變換，即得問題（12）的解為2、 二維熱傳導方程Cauchy 問題E(x,t)2a t2x4a2t2uta (uxx uyy)0x ,t 0( 15)u(x,y,0) f(x,y)x, y15） 。視t 為參數(shù)，關于x, y 進行 Fourier 變換，記Fu(x,y,0) u( , ,t)， Ff(x,y) f( , )由二維空間Fourier 變換的性質，類似于前面15）的解為u(x,y,t)4a2 t(x X)2 (y Y)22f

35、(X,Y)e 4at dXdY ( 16)定義22xy12稱 E(x,y,t)2 e 4a t4a t為二維熱傳導方程Cauchy 問題 （ 15） 的基本39解。稱問題定義2(17)uta (uxx u yy ) 0u(x, y,0)(x, y)（其中（ x, y）為廣義函數(shù)） 的解為二維熱傳導方程Cauchy 問題 （15） 的基本解。定理 2.2 由定義 2 和定義2給出的基本解是等價的。3、 基 本解與正態(tài)分布密度函數(shù)在這一部分，我們討論基本解與正態(tài)分布密度函數(shù)的關系。定理 3.1 如果連續(xù)性隨機變量X N（0， 2ta），其中 a 0為常數(shù)，t 0為參數(shù)，則 X 的密度函數(shù)是(10)

36、 式的基本解。證明 如果連續(xù)型隨機變量X N( ，2)，則 X 的密度函數(shù)為(x )2122f (x)e 2, x ，2其中 0， 均為常數(shù)。令0，2t a則其密度函數(shù)為2xf (x)1 e 4a2t ,2a t其中 t 0 為參數(shù)。由定義 1 知，此時的密度函數(shù)恰好為(10)式的基本解。定理 3.2 設隨機向量(X,Y) N(0,0,2a2t,2a2t,0)， 其中 a 0為常數(shù)， t 0為參數(shù)，則 (X,Y) 的聯(lián)合密度函數(shù)為(15)式的基本解。證明若 (X,Y) N( 1, 2, 12, 22,r) ，這里1 , 2, 1 , 2, r 為常數(shù)，1 0 ，2 0， r 1，則(X,Y)的

37、聯(lián)合密度函數(shù)為f (x, y)令 12 0, 122ta，則(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為f (x, y)14a2 tx2 y2e 4a2t其中 t 0 為參數(shù)。2 知，此時的聯(lián)合密度函數(shù)恰好為(15)式的基本解。4、 熱 傳導方程的進一步解釋假設導體是均勻的，即比熱1c 和密度均為常數(shù)。由f (x)e2(x )22 2 為正態(tài)分布密度函數(shù)及函數(shù)(x) 的性質，得到關系式1c 21e(x )222dx c (x)dxc, t 0.此式表明在無熱源，而且初始熱量集中分布的熱傳導系統(tǒng)(13)任意時刻t 的“能量守恒” 。x2 y212由 f (x, y) 2 e 4a t 為聯(lián)合正態(tài)分布的密度函數(shù)及(

38、x, y)的性質得到關系式4a t221 xyc 2 e 4a t dxdy c (x, y)dxdy c, t 0 .4a2 t此式表明在無熱源，而且初始熱量集中分布的熱傳導系統(tǒng)(17)任意時刻t 的“能量守恒” 。(x )2我們知道，正態(tài)分布密度函數(shù)f (x)1 e 2 2 的圖象關于直線x 對稱 ，2在 x 處達到極大值。當 固定時，愈小， f (x) 的圖象就愈尖、愈狹，愈大， f (x)的圖象就愈平、愈寬。 而且隨著x的增大，f (x)的圖象趨于x軸。熱傳導方程的Cauchy2x12問 題 ( 10) 的 基 本 解 E(x,t)e 4at, x 就 對 應 與 此 處 的 0 ，2

39、a t2ta，因此，當時間t 逐漸增大時，E(x,t) 的圖象也是愈平、愈寬，由u(x,t)21(x X)2f (X )e 4a2t dX 式知物體各處的溫度趨于相等。同時對固定的點x，隨著時間2a tt 的 增加，此點的溫度要衰減。類似地，二維情形有與一維情形有基本相同的結論。但是對固定點(x, y) 隨著時間t的增加，二維熱傳導方程Cauchy 問題(15)解要比一維熱傳導方程Cauchy 問題 ( 10) 的解衰減要快。更一般地，維數(shù)越高解的衰減速度越快，這一點可以從維數(shù)越高散熱的方向越多，散熱越快得到直觀解釋。1u(x,t) 2a t f (X)e(x X)24a2t dX式， 即x2

40、12還要指出，由 E(x,t) 1 e 4a2t2a t使初始數(shù)據(jù)f( x) 在某點 X 附近一個任意小的領域上為正，而在其它地方處處為零，但不管 t 多小和 x多大，問題(10)解u(x,t)恒為正。也就是說，即使在極短的時間內，熱傳導的影響可以達到任意遠位置。高維情形也有同樣的結論。3.2.4一些生活中與正態(tài)分布有關的例子引例 1：某公共汽車設計公司要對公共汽車門進行設計，汽車門高度既要讓絕大多數(shù)的人能順利通過，又不能以人的最高身高來設計，否則會浪費材料。為了達到要求，我們作以下假設：假設要求公共汽車門的高度是按照成年男子與車門頂部碰頭的概率在1%以下設計的，由統(tǒng)計資料可知我國成年男子的平

41、均身高為169.7cm。假設我國成年男子的身高服從正態(tài)分布, 其中 169.7，6， 則汽車門的高度應設計為多高才能符合要求？設 X 為我國成年男子的身高，又因為X 服從169.7 ，6 的正態(tài)分布，即X 169.7,62 。又設汽車門的設計高度為xcm，根據(jù)要求有p X x 1%，所以pX x 1 pX x 1%即x 169.710.016則x 169.70.996查表可知：2.330.99，故有 x 169.7 2.33，算得 x 183.56因此，車門的高度應設計為183.5cm，這樣才能符合要求。例 2： 某城市平均季降雨量為476mm， 標準差為165mm， 假定該市季降雨量服從正態(tài)分布，預測雨量在381mm到 635mm之間50 年內含有多少年?解 : 先求降雨量在381mm 635mm的概率635 476381 476p(381 X 635)()()(0.96)( 0.58)1651650.8315 0.2810 0.5505正態(tài)分布的簡述及其應用50 年中的年數(shù)為:50 0.55