(整理)極坐標---擺線.

1、精品文檔設滾動圓的半徑為a，固定圓的半徑為ka，其中k 是比 1 大的一個固定數(shù)。又設固定圓的圓心是原點O，而滾動圓上的定點在出發(fā)時的位置是A(ka,0)。設滾動圓到達某個位置時，其圓心為J、與固定圓的切點為I，而滾動圓上的定點移動到P(x,y)。設以為始邊、為終邊的有向角為t 弧度，我們以t 為參數(shù)(見圖九)。圖九因為弧 IP 與弧 IA 的長度相等，所以， 有向角是 kt 弧度。 過 P 與 J 分別作水平直線與鉛垂直線，則可就t 的值所屬的各種範圍分別討論(例如：圖九是的情形)，而得這就是內(nèi)擺線的參數(shù)方程式。若將上述情形中的定點換成與滾動圓的圓心相距為d，且在出發(fā)時的坐標為(k-1)a+

2、d,0)，則此定點在滾動過程中，所描繪曲線的參數(shù)方程式為其次， 若將圖九中的滾動圓改成與固定圓外切，則仿照上面的處理方法，即可得外擺線的參數(shù)方程式為其中 k 表示固定圓與滾動圓的半徑之比，。 同理， 將定點改成與滾動圓圓心的距離為d，且在出發(fā)時的坐標為(k+1)a-d,0，則可得外次擺線的參數(shù)方程式為上述四組參數(shù)方程式可合併成下述形式：其中或 -1 ，而、 且。當，上述參數(shù)方程式，依d=a 或分別表示內(nèi)擺線或內(nèi)次擺線；當時， 上述參數(shù)方程式，依d=a 或分別表示外擺線或外次擺線。在圖二中，設A 點是滾動圓上的定點在出發(fā)時的位置。我們選取一個坐標系，使得 A 點為原點而且滾動圓在x 軸上向右滾動

3、。假設動圓滾動到某位置時，圓心為O， O 點至 x 軸的垂足為I， 圓上的定點的位置為P(x,y)， 以 為始邊，為終邊的有向角為t 弧度， P 點至直線OI 的垂足為M。又設滾動圓的半徑為a。因為滾動圓上的定點已由A 點移動到P 點， 而滾動圓與x 軸的切點已由A 點轉(zhuǎn)移到 I 點， 所以， 滾動圓上的弧PI 滾過線段， 亦即：= 弧 PI 的長 =at。於是，可得上面的表示法就是擺線的參數(shù)方程式。請注意：當時，； 當時，。 不過，與兩式卻對所有t 值都成立。我們甚至可讓參數(shù)t 代表任意實數(shù)，如此， 擺線成為可向兩邊無限延伸的週期曲線。x 坐標每經(jīng)歷一段長度為的區(qū)間，圖形就恢復原狀。擺線與底

4、線相交的點都是尖點(cusp) 。當參數(shù) t 由 0 增至 時，擺線就是圖二中由A 至 C 至 B 的部分，其中，這一部分圖形稱為擺線的一拱(arch) 。同理， t 由 2 至 4 、由 4 至 6 、等所對應的圖形也都是一拱。仿照前面的方法，我們也可求次擺線的參數(shù)方程式。假設一定點與滾動圓的圓心的距離為d，底線是x 軸，出發(fā)時定點的坐標為(0,a-d)，其中d 是滾動圓的半徑。 當動圓滾到圖二所示的位置時，定點的位置在上且與 O 點的距離為d。由此可知其參數(shù)方程式為習題：試根據(jù)上面參數(shù)方程式，說明長擺線(d>a) 為什麼會與本身相交而形成迴圈(見圖一的下圖)。在圖二中，當圓向前滾動時

5、，P 點描繪出擺線，那麼P 點在直線OI 上的垂足M 點會描繪出什麼圖形呢？1634年， Gilles Persone de Roberval( 1602 1675年， 法國人) 考慮這條曲線，而利用它求出擺線的一拱與其底線間的面積。所以，後世將這條曲線稱為Roberval 曲線。 圖二中的虛線，就是 Roberval 曲線在擺線一拱內(nèi)的部分，根據(jù)前一小節(jié)所討論的結(jié)果，不難發(fā)現(xiàn)Roberval 曲線的方程式為。在圖二中，的中點是，而當時， Roberval 曲線上的點對的對稱點是。因為此對稱點也在 Roberval 曲線上，所以，Robertval 曲線在 A 與 C 間的部分對於點成對稱。

6、（圖二中的M 與 N 就是一對對稱點。）由此可知：在以與 為鄰邊的矩形中，Roberval 曲線將此矩形分成面積相等的兩個區(qū)域。更為鄰進一步可得：Roberval 曲線與 AB 所圍區(qū)域的面積，等於以 邊的矩形面積的一半，此值等於其次，我們討論擺線與Roberval 曲線間的區(qū)域面積。此區(qū)域在C 點的左、右兩側(cè)的面積顯然相等，所以，我們只須討論此區(qū)域左側(cè)部分的面積。圖二中以為直徑的半圓，乃是滾動圓在出發(fā)時的左半部分，直線PM 被此半圓截出一線段。 因為兩圓大小相等，而直線 PM 與兩圓圓心等距離，所以，=。因為每一條水平直線在兩區(qū)域上所截出的線段都等長，所以，依據(jù)Bonaventura Cav

7、alieri （ 1598 1647年，義大利人）在1629年所提出的Cavalieri 原理，這兩個區(qū)域的面積 相等。因此，擺線與Roberbval 曲線所圍的區(qū)域（左、右兩部分）與滾動圓面積相等，此值等於。綜合前兩段的結(jié)果，可知擺線的一拱與其底線間的面積，等於滾動圓面積的三倍，亦即：。圖二附帶一提：Cavalieri 所提的原理，中國數(shù)學家祖沖之在西元五世紀就已用來計算球體的體積。習題：試仿照本小節(jié)的方法，證明次擺線,的一拱與直線y=a-d 所圍區(qū)域的面積為： 習題：試使用定積分計算上述所提的面積。若曲線 C 的所有法線都是某一曲線E 的切線，則曲線E 稱為曲線C 的漸屈線 (evolut

8、e) 。要討論曲線C 的漸屈線，自然需要先討論曲線C 的法線，但因法線是切線的垂直線，所以，我們需要先討論曲線C 的切線。擺線的切線如何求呢？我們知道當一動點P 繞一固定點I 旋轉(zhuǎn)時， P 點的軌跡是一圓弧，此圓弧在P 點的切線就是過P 點而與垂直的直線。當一滾動圓在一直線上作不滑的滾動時，我們沒有一個可做為旋轉(zhuǎn)中心的固定點，但是，在滾動過程中，滾動圓與底線在每個時刻都有一個切點，這個切點就是該時刻的瞬間旋轉(zhuǎn)中心。若在某個時刻的瞬間旋轉(zhuǎn)中心是I ，而圓上某定點在此時刻已移動到 P 點， 則此定點所描繪的擺線在P 點的切線，就是過 P 點而與垂直的直線PJ， 其中 J 是滾動圓過I 的直徑的另一

9、端點，直線 PI 則是此擺線過P點的法線。在直線上選取一點P'，使 I 點成為的中點。若P 點的坐標是 ()， 則因為 I 點的坐標是( as,0)， 所以， P' 點的坐標是 () 。 當 P 點描繪出擺線時，所有對應的P' 點描繪出什麼圖形呢？觀察A 與 P' 的相關(guān)位置，不難發(fā)現(xiàn)它們的位置關(guān)係，與擺線上的C 點與參數(shù)是的 Q 點位置關(guān)係相同，因為C 的坐標是() ， 而 Q 點的坐標是() 。 換言之， 當 P 點描繪圖三中的擺線弧APC 時，對應的P' 點就會描繪出與擺線CQB 全等的弧AP'A。 事實上，弧 AP'A'

10、乃是將弧CQB 平移而得的(左移單位、 下移 2a 單位) 。 同理， 當 P 點描繪出擺線弧CQB 時， 對應的 P' 點就會描繪出弧A'Q'B，此弧乃是將擺線的下一拱的左半部分作同樣平移而得的。因此， 對整個擺線而言，當 P 點描繪出整個擺線時，對應的P' 點會描繪出一個全等的擺線。若前者的參數(shù)方程式是,，則後者的參數(shù)方程式為,，後者乃是將前者先向左平移單位，再向下平移 2a 單位而得的。我們將說明後者是前者的漸屈線。因為 P' 點的軌跡是一個全等的擺線，所以它必是當一個半徑為a 的圓在直線y=-2a 上滾動時，由圓周上某定點描繪而成的。因為 P 點

11、與 P' 點對 I 點對稱，所以當兩個滾動圓在I 點相切時，上滾動圓通過P 點而下滾動圓通過P' 點。此時， P' 點的瞬間旋轉(zhuǎn)中心是直線P'I' 與直線 y=-2a 的交點I'。 於是， 直線 P'I'是第二個擺線在P' 點的法線，直線P'IP 是第二擺線在P' 點的切線。由此可知：原擺線的每條法線PI 都與第二擺線相切。換言之，第二擺線是原擺線的漸屈線。曲線的漸屈線在弧長方面有一個重要性質(zhì)，這個性質(zhì)對擺線的討論特別有用，我們先介紹這項性質(zhì)。此性質(zhì)的證明只需使用微積分的方法即可。設曲線 E 是曲線 C 的

12、漸屈線，P 與 Q 是曲線 C 上兩點， 曲線 C 過P、 Q 的法線分別與漸屈線E 相切於P'、 Q'， 則在漸屈線E 上， 弧 P'Q' 的長等於與 兩線段長的差。在圖四中，比 小，所以，P'Q' 弧的長等於。這個性質(zhì)可以作下面的幾何解說：假設有一條線纏繞在漸屈線E 上，現(xiàn)在將一端點拉緊在P 點，此時，在P' 往 Q' 的部分，線仍然纏在漸屈線上，但在P' 往 P 的部分，則已經(jīng)拉直成線段。接著，將線繼續(xù)拉緊解開，纏在P'Q' 弧上的線逐漸被拉成線段，此時，因為有前面所提的性質(zhì)，所以，在將線拉緊解開的過

13、程中，線的端點必定沿著曲線C 由 P 點移向 Q' 點。以擺線為例，在圖三中的漸屈線弧AP'A' 中，不論P' 點的位置在弧上何處，AP'A' 弧的長度都是等於P'A' 弧的長加上線段的長。 將 P' 趨近A'， 則 P趨近C。因此，擺線弧AP'A' 的長等於線段的長，此值為4a。因為擺線弧 AP'A' 與擺線弧CQB 全等，其長是擺線一拱ACB 的一半， 所以，可知：若滾動圓的半徑為a，則擺線一拱的長度為8a。圖三PC 弧的長等於Q'B 弧的長，此值等於線段的長，也等) ，

14、則因為J 的。於是，於前的兩倍。因此，若P 點的坐標是(坐標是 ( as,2a)，所以，PC 弧的長等於AP 弧的長為。習題：試使用微積分方法證明上述有關(guān)擺線的弧長公式。在力學上，擺線具有很重要的性質(zhì)，我們首先介紹它的等時性質(zhì)(tautochroneproperty) 。將擺線的一拱倒轉(zhuǎn)，亦即：對其底線作鏡射，則此段擺線的最高點C 變成最低點，見圖三與五。此時，若一質(zhì)點從此段擺線上任意點出發(fā)，在重力作用下沿擺線向下滑，則此質(zhì)點到達最低點C 所需的時間與出發(fā)點的位置無關(guān)，亦即：從任意兩相異點出發(fā)，它們到達C 點的時間相同。這就是擺線的等時性質(zhì)。若我們以一條長為擺線一拱長之半AA'B 的中

15、點 A'。當擺錘擺動時，線的上端纏在漸屈線上，而下端有一段拉直。由於線長等於擺線一拱長的一半， 根據(jù)前小節(jié)的說明，擺錘擺動的路線就是圖五中的擺線孤。前段所提的等時性，則是表示：不論振幅為何，其週期是個定值，此定值等於，其中 a是擺線的滾動圓的半徑，g 是重力加速度。前段所提的設置，稱為擺線鐘（cycloidal pendulum）， 這是 Christiaan Huygens（ 1629 1695年，荷蘭人）在1673年所發(fā)明的，它是其有真正等時性的鐘擺。要證明前面所提的等時性質(zhì)，必須使用一些物理與微積分知識，讓我們略作說明如下： 設倒置的擺線的參數(shù)方程式為， 質(zhì)點下滑的出發(fā)點P 所對

16、應的參數(shù)為。（我們將參數(shù)t 換成 ，以免誤以為它就是時間。）當質(zhì)點下滑到參數(shù)為 的點時，根據(jù)能量守恆定律，質(zhì)點喪失的位能轉(zhuǎn)變成動能，所以質(zhì)點在該處的瞬時速度為。圖四另一方面，弧長s 的微分為於是，質(zhì)點滑落到最低點C（見圖五）所需的時間為此值等於，與 無關(guān)，而擺線鐘的週期則是此值的四倍。前段證明的細節(jié)留給有興趣的讀者自行補足。圖五擺線在力學上的另一項重要性質(zhì)，乃是最速降性質(zhì)(brachistochroneproperty) ，我們說明如下。若一質(zhì)點在重力作用下，由P 點沿著某曲線滑落到較低的Q 點，設 P 與 Q不在同一鉛垂直線上，則當滑行的曲線是以P 為尖點的一段倒轉(zhuǎn)的擺線弧時，質(zhì)點由 P 點

17、滑落到Q 點所需的時間為最短。這就是擺線的最速降性質(zhì)。設 P 與 Q 的坐標分別是P(x1,y1)與Q(x2,y2)，x1<x2且y1>y2，而y=f(x) 是滿足f(x1)=y1 與f(x2)=y2 的一個函數(shù)，仿照前小節(jié)的方法，可知一質(zhì)點沿著曲線 y=f(x) 由 P 點落到 Q 點所需的時間為在所有此種函數(shù)y=f(x) 中，那一個函數(shù)能使上述定積分的值最小，這個問題乃是一個以函數(shù)(或曲線)為變數(shù)的極值問題。研究這類問題的方法稱為變分法 (calculus of variation) 。它與微積分中討論極值的方法不相同，而且也困難得多。探討最速降曲線的問題，乃是變分學的先驅(qū)問題之一，一般的變分學書籍都會談到這個例子。在最速降曲線問題中，有一個問題必須交待，那就是：對任意二點P(x1,y1) 與Q(x2,y2)， x1<x2 且y1>y2，有多少擺線以P 為一尖點而又通過Q 呢？答案是：恰有一條。這條擺線是這樣來的。首先，利用微積分或其他方法可以證明：恰有一個