江蘇省高數(shù)歷年競賽本一組試題(整理)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上2010年江蘇省高等數(shù)學競賽試題（本科一級） 一.填空（每題4分，共32分）1. 2.設函數(shù)可導，則 3. ，則 4. 5. 6.圓的面積為 7.設可微，則 8.級數(shù)的和為 二（10分）設在上二階可導，證明：存在，使得三（10分）已知正方體的邊長為2，為的中點，為側面正方形的中點，（1）試求過點的平面與底面所成二面角的值。（2）試求過點的平面截正方體所得到的截面的面積.四（12分）已知是等腰梯形，,求的長，使得梯形繞旋轉一周所得旋轉體的體積最大。五（12分）求二重積分，其中六（12分）應用高斯公式計算，（為常數(shù)）其中.七.（12分）已知數(shù)列，記，判別級數(shù)的斂散性.20

2、10年江蘇省高等數(shù)學競賽試題（本科二級）一 填空題（每題4分，共32分）1. 2.， 3.， 4. 5. 6.圓的面積為 7.，可微，則 8.級數(shù)的和為 .二.（10分）設在上連續(xù)，且，求證：存在點，使得.三（10分）已知正方體的邊長為2，為的中點，為側面正方形的中點，（1）試求過點的平面與底面所成二面角的值。（2）試求過點的平面截正方體所得到的截面的面積.四（12分）已知是等腰梯形，,求的長，使得梯形繞旋轉一周所得旋轉體的體積最大。五（12分）求二重積分，其中六、（12分）求，其中為曲線從到.七.（12分）已知數(shù)列單調增加，記，判別級數(shù)的斂散性2008年江蘇省高數(shù)競賽（本科一級）一填空題（每

3、題5分，共40分）1. ， 時，2. ， 時在時關于的無窮小的階數(shù)最高。3. 4.通過點與直線的平面方程為 5.設則= 6.設為圍成區(qū)域，則 7.設為上從到的一段弧，則= 8.冪級數(shù)的和函數(shù)為 ，收斂域為 。二（8分）設數(shù)列為證明：數(shù)列收斂，并求其極限三（8分）設在上具有連續(xù)的導數(shù)，求證四（8分）1）證明曲面為旋轉曲面2）求旋轉曲面所圍成立體的體積五（10分）函數(shù)具有連續(xù)的二階偏導數(shù)，算子定義為1） 求；2)利用結論1）以為新的自變量改變方程的形式六（8分）求七（9分）設的外側，連續(xù)函數(shù)求八（9分）求的關于的冪級數(shù)展開式2006年江蘇省高數(shù)競賽（本科一級） 一、填空題（每題5分，共40分） .

4、1.， 2. 3. 4.已知點,為坐標原點，則四面體的內接球面方程為 5. 設由確定，則 6.函數(shù)中常數(shù)滿足條件 時，為其極大值.7.設是上從點到的一段曲線， 時，曲線積分取最大值.8.級數(shù)條件收斂時，常數(shù)的取值范圍是 二.（10分）某人由甲地開汽車出發(fā)，沿直線行駛，經(jīng)2小時到達乙地停止，一路暢通，若開車的最大速度為100公里/小時，求證：該汽車在行駛途中加速度的變化率的最小值不大于公里/小時三.（10分）曲線的極坐標方程為，求該曲線在所對應的點的切線的直角坐標方程，并求切線與軸圍成圖形的面積.四（8分）設在上是導數(shù)連續(xù)的有界函數(shù)，求證：五（12分）本科一級考生做：設錐面被平面截下的有限部分為

5、.（1）求曲面的面積；（2）用薄鐵片制作的模型，為上的兩點，為原點，將沿線段剪開并展成平面圖形，以方向為極坐標軸建立平面極坐標系，寫出的邊界的極坐標方程.六（10分）曲線繞軸旋轉一周生成的曲面與所圍成的立體區(qū)域記為，本科一級考生做本科二級考生做七（10分）本科一級考生做1）設冪級數(shù)的收斂域為，求證冪級數(shù)的收斂域也為；2）試問命題1）的逆命題是否正確，若正確給出證明；若不正確舉一反例說明.本科二級考生做：求冪級數(shù)的收斂域與和函數(shù)2004年江蘇省高等數(shù)學競賽試題（本科一級）一.填空（每題5分，共40分）1.時，與為等價無窮小，則 2. 3. 4. 時 5. 6. .7.設可微，則 .8. 設，為，

6、則 . 二（10分）設在上連續(xù)，在內二階可導，求證:1) 內至少存在一點使得；2）內至少存在一點使得三.（10分）設，在的邊界上任取點,設到原點距離為，作垂直于，交的邊界于1）試將的距離表示為的函數(shù)；2）求饒旋轉一周的旋轉體的體積四（10分）已知點,在平面上求一點，使最小五（10分）求冪級數(shù)的收斂域。六（10分）求證：，其中。七（10分）設連續(xù)，可導，為不含原點單連通域，任取，內積分與路徑無關.（1） 求；（2）求其中為邊界取正向.2004年江蘇省高數(shù)競賽（本科二級局部）一.填空（每題5分，共40分）1. 是周期為的奇函數(shù)，且在處有定義，當時，求當時，的表達式 .2. 3. 4. 時 5. 6

7、. .7.設可微，則 .8. 設，為，則 . 二（10分）設在上連續(xù)，在內可導，,求證： 內至少存在一點使得三.（10分）設，在的邊界上任取點,設到原點距離為，作垂直于，交的邊界于1）試將的距離表示為的函數(shù)；2）求饒旋轉一周的旋轉體的體積五（10分）求冪級數(shù)的收斂域。六（10分）設可微，求.七（10分）求二次積分2004年后填空題. 1.設，則 2. 3. 已知，則 4. 5.設由方程確定（為任意可微函數(shù)），則 6，則 ， 7. 設在上可導，下列結論成立的是 A. 若，則在上有界B. 若，則在上無界C. 若，則在上無界8. 設由確定，則 9. 10.曲線，在點的切線的參數(shù)方程為 11.設，有二階連續(xù)導數(shù)，有二階連續(xù)偏導數(shù)，則 12. 交換二次積分的次序 .13.冪級數(shù)的收斂域 14.設在上連續(xù)，單調減少，求證2008年非理科專業(yè)（局部）一、填空題（每小題5分，共40分）1）時，2）3）設則4）時，在時關于的無窮小的階數(shù)最高5）6）7