理論力學(xué)第13章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)-48

1、第第13章章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)13-1 機(jī)械振動(dòng)及其描述機(jī)械振動(dòng)及其描述13-2 單自由度系統(tǒng)振動(dòng)單自由度系統(tǒng)振動(dòng)13-3 兩自由度系統(tǒng)振動(dòng)兩自由度系統(tǒng)振動(dòng)13-4 機(jī)械振動(dòng)的工程應(yīng)用機(jī)械振動(dòng)的工程應(yīng)用2022-3-9理論力學(xué)2 13.1.1機(jī)械振動(dòng)現(xiàn)象機(jī)械振動(dòng)現(xiàn)象 振動(dòng)是日常生活和工程實(shí)際中常見(jiàn)的現(xiàn)象。振動(dòng)是日常生活和工程實(shí)際中常見(jiàn)的現(xiàn)象。 例如：鐘擺的往復(fù)擺動(dòng)例如：鐘擺的往復(fù)擺動(dòng),汽車(chē)行駛時(shí)的顛簸，電動(dòng)機(jī)、機(jī)汽車(chē)行駛時(shí)的顛簸，電動(dòng)機(jī)、機(jī)床等工作時(shí)的振動(dòng)，以及地震時(shí)引起的建筑物的振動(dòng)等。床等工作時(shí)的振動(dòng)，以及地震時(shí)引起的建筑物的振動(dòng)等。 利：利：振動(dòng)給料機(jī)振動(dòng)給料機(jī) 弊：弊：磨損，減

2、少壽命，影響強(qiáng)度磨損，減少壽命，影響強(qiáng)度 振動(dòng)篩振動(dòng)篩 引起噪聲，影響勞動(dòng)條件引起噪聲，影響勞動(dòng)條件 振動(dòng)沉拔樁機(jī)等振動(dòng)沉拔樁機(jī)等 消耗能量，降低精度等。消耗能量，降低精度等。研究振動(dòng)的目的研究振動(dòng)的目的：消除或減小有害的振動(dòng)，充分利用振動(dòng)消除或減小有害的振動(dòng)，充分利用振動(dòng) 為人類(lèi)服務(wù)。為人類(lèi)服務(wù)。 振動(dòng)的利弊振動(dòng)的利弊：所謂機(jī)械振動(dòng)就是系統(tǒng)在平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動(dòng)。所謂機(jī)械振動(dòng)就是系統(tǒng)在平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動(dòng)。13-1 機(jī)械振動(dòng)及其描述機(jī)械振動(dòng)及其描述2022-3-9理論力學(xué)3振動(dòng)系統(tǒng)模型振動(dòng)系統(tǒng)模型1. 力學(xué)模型力學(xué)模型連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的物理參數(shù)，例如板殼、梁、軸實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的

3、物理參數(shù)，例如板殼、梁、軸等的質(zhì)量及彈性，一般是連續(xù)分布的，保持這種特點(diǎn)等的質(zhì)量及彈性，一般是連續(xù)分布的，保持這種特點(diǎn)抽象出的模型中的系統(tǒng)稱(chēng)為抽象出的模型中的系統(tǒng)稱(chēng)為連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)或或分布參數(shù)系統(tǒng)分布參數(shù)系統(tǒng)。離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)絕大多數(shù)場(chǎng)合中，為了能夠分析或者便于分析，絕大多數(shù)場(chǎng)合中，為了能夠分析或者便于分析，需要通過(guò)適當(dāng)?shù)臏?zhǔn)則將分布參數(shù)需要通過(guò)適當(dāng)?shù)臏?zhǔn)則將分布參數(shù)“凝縮凝縮”成有限個(gè)離成有限個(gè)離散的參數(shù)，這樣便得到散的參數(shù)，這樣便得到離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)。 2022-3-9理論力學(xué)42. 自由度自由度自由度數(shù)自由度數(shù)是指完全描述該系統(tǒng)一切部位在任何瞬是指完全描述該系統(tǒng)一切部位在任何瞬時(shí)的位置所需

4、要的時(shí)的位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目的數(shù)目。力學(xué)模型力學(xué)模型離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)自由度數(shù)自由度數(shù)多自由度系統(tǒng)多自由度系統(tǒng)無(wú)限自由度系統(tǒng)無(wú)限自由度系統(tǒng)參數(shù)特征參數(shù)特征集中參數(shù)系統(tǒng)集中參數(shù)系統(tǒng)分布參數(shù)系統(tǒng)分布參數(shù)系統(tǒng)數(shù)學(xué)工具數(shù)學(xué)工具常微分方程常微分方程偏微分方程偏微分方程最簡(jiǎn)模型最簡(jiǎn)模型單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)一維振動(dòng)一維振動(dòng)2022-3-9理論力學(xué)53. 振動(dòng)系統(tǒng)：振動(dòng)系統(tǒng)：按運(yùn)動(dòng)微分方程的形式分按運(yùn)動(dòng)微分方程的形式分振動(dòng)振動(dòng)/ /系統(tǒng)分類(lèi)系統(tǒng)分類(lèi)運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程線性疊加原理線性疊加原理線性振動(dòng)線性振動(dòng)/ /系統(tǒng)系統(tǒng)線性微分方程線性微分方程成立成立非線性振動(dòng)非線性振動(dòng)/ /系統(tǒng)

5、系統(tǒng) 非線性微分方程非線性微分方程不成立不成立2022-3-9理論力學(xué)64. 振動(dòng)分類(lèi)振動(dòng)分類(lèi) 按激勵(lì)的有無(wú)和性質(zhì)分按激勵(lì)的有無(wú)和性質(zhì)分振動(dòng)分類(lèi)振動(dòng)分類(lèi)定義定義特點(diǎn)與例子特點(diǎn)與例子固有振動(dòng)固有振動(dòng)無(wú)激勵(lì)時(shí)系統(tǒng)所有可能運(yùn)動(dòng)的無(wú)激勵(lì)時(shí)系統(tǒng)所有可能運(yùn)動(dòng)的集合集合不是現(xiàn)實(shí)的振動(dòng)，不是現(xiàn)實(shí)的振動(dòng)，僅反映系統(tǒng)關(guān)于振動(dòng)僅反映系統(tǒng)關(guān)于振動(dòng)的固有屬性。的固有屬性。自由振動(dòng)自由振動(dòng)激勵(lì)消失后系統(tǒng)所作的振動(dòng)激勵(lì)消失后系統(tǒng)所作的振動(dòng)是現(xiàn)實(shí)的振動(dòng)。是現(xiàn)實(shí)的振動(dòng)。強(qiáng)迫振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)系統(tǒng)在外界激勵(lì)下所作的振動(dòng)系統(tǒng)在外界激勵(lì)下所作的振動(dòng)隨機(jī)振動(dòng)隨機(jī)振動(dòng)系統(tǒng)在非確定性的隨機(jī)激勵(lì)下系統(tǒng)在非確定性的隨機(jī)激勵(lì)下所作的振動(dòng)。所作的振動(dòng)。

6、包括物理參數(shù)具有隨機(jī)性質(zhì)的系統(tǒng)發(fā)生包括物理參數(shù)具有隨機(jī)性質(zhì)的系統(tǒng)發(fā)生的振動(dòng)。行駛在公路上的汽車(chē)的振動(dòng)。的振動(dòng)。行駛在公路上的汽車(chē)的振動(dòng)。自激振動(dòng)自激振動(dòng)系統(tǒng)受到由其自身運(yùn)動(dòng)誘發(fā)出系統(tǒng)受到由其自身運(yùn)動(dòng)誘發(fā)出來(lái)的激勵(lì)作用而產(chǎn)生和維持的來(lái)的激勵(lì)作用而產(chǎn)生和維持的振動(dòng)。振動(dòng)。系統(tǒng)包含有補(bǔ)充能量的能源系統(tǒng)包含有補(bǔ)充能量的能源。演奏提琴演奏提琴所發(fā)出的樂(lè)聲所發(fā)出的樂(lè)聲, , 是琴弦作自激振動(dòng)所致。是琴弦作自激振動(dòng)所致。車(chē)床切削加工時(shí)在某種切削用量下所發(fā)車(chē)床切削加工時(shí)在某種切削用量下所發(fā)生的激烈的高頻振動(dòng)生的激烈的高頻振動(dòng), , 架空電纜在風(fēng)作架空電纜在風(fēng)作用下所發(fā)生的與風(fēng)向垂直的上下振動(dòng)以用下所發(fā)生的與風(fēng)

7、向垂直的上下振動(dòng)以及飛機(jī)機(jī)翼的顫振等。及飛機(jī)機(jī)翼的顫振等。參數(shù)振動(dòng)參數(shù)振動(dòng)激勵(lì)因素以系統(tǒng)本身的參數(shù)隨激勵(lì)因素以系統(tǒng)本身的參數(shù)隨時(shí)間變化的形式出現(xiàn)的振動(dòng)。時(shí)間變化的形式出現(xiàn)的振動(dòng)。秋千在初始小擺角下被越蕩越高，受到秋千在初始小擺角下被越蕩越高，受到的激勵(lì)以擺長(zhǎng)隨時(shí)間變化的形式出現(xiàn)，的激勵(lì)以擺長(zhǎng)隨時(shí)間變化的形式出現(xiàn)，擺長(zhǎng)的變化由人體的下蹲及站直造成。擺長(zhǎng)的變化由人體的下蹲及站直造成。2022-3-9理論力學(xué)7(2)Af 振幅圓頻率初相角13.1.2. 13.1.2. 簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng) -最基本的周期振動(dòng)最基本的周期振動(dòng) 1. 表示表示 2. 三要素三要素( )sin()x tAt2022-3-9理

8、論力學(xué)812Tf3. 周期與頻率周期與頻率周期周期 T 頻率頻率 f12fT單位：?jiǎn)挝唬篢：s(秒秒) f：Hz(赫茲赫茲) ：rad/s2022-3-9理論力學(xué)94. 位移、速度與加速度位移、速度與加速度位移位移 速度速度加速度加速度( )sin()xx tAt( )cos()sin()2dx txAtdtAt2222( )sin()sin()d x txAtdtAt 2022-3-9理論力學(xué)105. 位移、速度與加速度關(guān)系位移、速度與加速度關(guān)系(1) 位移、速度與加速度均為簡(jiǎn)諧函數(shù)，且同頻。位移、速度與加速度均為簡(jiǎn)諧函數(shù)，且同頻。(2) 速度超前位移速度超前位移90，加速度超前位移，加速度

9、超前位移180。(3) 加速度與位移關(guān)系：加速度與位移關(guān)系： 加速度與位移成正比加速度與位移成正比, 方向相反方向相反, 指向平衡位置。指向平衡位置。2xx 2022-3-9理論力學(xué)11旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量簡(jiǎn)諧振動(dòng)表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)表示位移、速度與加速度關(guān)系位移、速度與加速度關(guān)系xxoM tMxoA xoAAA26. 旋轉(zhuǎn)矢量表示旋轉(zhuǎn)矢量表示( )sin()x tAt2022-3-9理論力學(xué)12()itzAe( )Im( )sin()x tzAt( )ii ti tz tAeeAeiAAe旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量復(fù)振幅，包含振幅和相位信息復(fù)振幅，包含振幅和相位信息cos()sin()AtiAt7.復(fù)數(shù)表示復(fù)數(shù)表

10、示2022-3-9理論力學(xué)13二二. 簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成1. 兩個(gè)同頻率振動(dòng)合成兩個(gè)同頻率振動(dòng)合成111( )sin()x tAt12( )( )( )sin()x tx tx tAt2211221122(sinsin)(coscos)AAAAA11221122sinsincoscosAAtgAA222( )sin()x tAt同頻振動(dòng)合成同頻振動(dòng)合成x x(t)oAA11A222022-3-9理論力學(xué)14111222( )sin( )sinx tAtx tAt二二. 簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成2. 兩個(gè)不同頻率振動(dòng)合成兩個(gè)不同頻率振動(dòng)合成(1) 1與與 2之比為有理數(shù)之比為有理數(shù)1122

11、1222mmnTmTnTn設(shè)12( )( )( )x tx tx t12112212()()()()()( )( )( )x tTx tTx tTx tmTx tnTx tx tx t2022-3-9理論力學(xué)15111222( )sin( )sinx tAtx tAt二. 簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成2. 兩個(gè)不同頻率振動(dòng)合成兩個(gè)不同頻率振動(dòng)合成(1) 1與與 2之比為有理數(shù)之比為有理數(shù)T為為x1(t)和和x2(t)合成之周期合成之周期。結(jié)論結(jié)論： 兩不同頻振動(dòng)合成不再為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。但兩不同頻振動(dòng)合成不再為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。但頻率比為有理數(shù)時(shí)，可合成為周期振動(dòng)。合頻率比為有理數(shù)時(shí)，可合成為周期振動(dòng)。合成振動(dòng)周期為兩簡(jiǎn)諧

12、振動(dòng)周期之最小公倍數(shù)成振動(dòng)周期為兩簡(jiǎn)諧振動(dòng)周期之最小公倍數(shù)。2022-3-9理論力學(xué)16( )2cossin2( )sinx tAttA tt1212AAA若，設(shè)(2) 1與與 2之比為無(wú)理數(shù)之比為無(wú)理數(shù)結(jié)論結(jié)論:無(wú)公共周期，合成振動(dòng)為非周期振動(dòng)。無(wú)公共周期，合成振動(dòng)為非周期振動(dòng)。111222( )sin( )sinx tAtx tAt21212 cossin22Att121122( )( )( )sinsinx tx tx tAtAt21212令：，( )2 cos2A tAt2022-3-9理論力學(xué)17(2) 1與與 2之比為無(wú)理數(shù)之比為無(wú)理數(shù)“拍拍”: 頻率為頻率為的變幅振動(dòng)，振幅在的變

13、幅振動(dòng)，振幅在02A之間之間緩慢周期變化。包絡(luò)線為緩慢周期變化。包絡(luò)線為A(t)，拍頻為，拍頻為 。2A124212tx(t)o2022-3-9理論力學(xué)18x(t) stl0kABxomgFm 物塊質(zhì)量物塊質(zhì)量 k 彈簧剛度彈簧剛度l0 彈簧自然長(zhǎng)度彈簧自然長(zhǎng)度 st彈簧靜變形彈簧靜變形靜止時(shí)靜止時(shí)0,0 xstFmgk運(yùn)動(dòng)時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)0,()xstFmgkxmx13.2.1 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 1.1.單自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)模型單自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)模型13-2 單自由度系統(tǒng)振動(dòng)單自由度系統(tǒng)振動(dòng)2022-3-9理論力學(xué)19靜止時(shí)靜止時(shí)0,0 xstFmgk運(yùn)動(dòng)時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)0,()x

14、stFmgkxmx0mxkx20nxx13.2.1 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 1.1.單自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)模型單自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)模型固有圓頻率式中mkn無(wú)阻尼自由振動(dòng)微分方程無(wú)阻尼自由振動(dòng)微分方程2022-3-9理論力學(xué)202.2.固有頻率固有頻率sin2200nn1n00 xAxx(t)A(t)xtgx 02xxn 振動(dòng)方程：cossin00nnnxxxtt 0102nxCxC 00t0,xxxx初始條件：cossin1n2n12xCtCt,CC通解：、積分常數(shù)無(wú)阻尼自由振動(dòng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)周期周期22nmTk 固有頻率固有頻率1122nnkfTm 2nnf2022-3-9理

15、論力學(xué)213.3.振幅與相位振幅與相位初始條件：初始條件：tx()xx()x 時(shí)， 初始位移：初始速度：cossinnnnxx(t)x(t)(t),t 時(shí)刻后自由振動(dòng)解時(shí)刻后自由振動(dòng)解：對(duì)于對(duì)于t=0初始條件：初始條件：000(0)(0)=txxxx，00(t)cossin0nnnxxxtt,t 22-10000tgnnxxAxx ，2022-3-9理論力學(xué)224.彈簧串并聯(lián)彈簧串并聯(lián)1.1.并聯(lián)彈簧并聯(lián)彈簧變形相等變形相等21kkKe等效彈簧剛度等效彈簧剛度stl0mgF1 F2k1 k2stl0mgFKeststststkkkkFFkF)(2121212022-3-9理論力學(xué)232.2.串

16、聯(lián)彈簧串聯(lián)彈簧受力相等受力相等2121kkkkKe等效彈簧剛度等效彈簧剛度stststlllll21210l0stmgFKe1stl1l22st21111kkKe21kmgkmgKmge21111kkKek1k2mgF2022-3-9理論力學(xué)24固有頻率計(jì)算固有頻率計(jì)算 靜變形法靜變形法stkmgstngmk2022-3-9理論力學(xué)2513.2.213.2.2計(jì)算固有頻率的能量法計(jì)算固有頻率的能量法: :原理與方法原理與方法對(duì)不計(jì)阻尼的系統(tǒng)，因?yàn)闆](méi)有能量損失，所以可以用能量守對(duì)不計(jì)阻尼的系統(tǒng)，因?yàn)闆](méi)有能量損失，所以可以用能量守恒原理建立自由振動(dòng)微分方程，或直接求出系統(tǒng)固有頻率。恒原理建立自由振

17、動(dòng)微分方程，或直接求出系統(tǒng)固有頻率。方法方法設(shè)系統(tǒng)任一瞬時(shí)的動(dòng)能及勢(shì)能分別為設(shè)系統(tǒng)任一瞬時(shí)的動(dòng)能及勢(shì)能分別為T(mén)及及U，由機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒有有()dTU0dt將系統(tǒng)能量的具體表達(dá)式代入，便可導(dǎo)出自由振動(dòng)微分方程，將系統(tǒng)能量的具體表達(dá)式代入，便可導(dǎo)出自由振動(dòng)微分方程，并求出系統(tǒng)固有頻率。并求出系統(tǒng)固有頻率。原理原理2022-3-9理論力學(xué)26例例1 1 彈簧質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)彈簧質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng) 212Tmx212x0Ukxdxkx動(dòng)能動(dòng)能勢(shì)能勢(shì)能2211()()022()0ddTUmxkxdtdtmxkx x0kxxm 由于速度不可能恒為零由于速度不可能恒為零k2022-3-9理論力學(xué)27122maxma

18、xTmx122maxmaxUkx在靜平衡位置，在靜平衡位置，系統(tǒng)勢(shì)能為零，動(dòng)能最大系統(tǒng)勢(shì)能為零，動(dòng)能最大在最大位移處，在最大位移處，系統(tǒng)動(dòng)能為零，勢(shì)能最大系統(tǒng)動(dòng)能為零，勢(shì)能最大maxmaxTUmaxnmaxxx nkm 固有圓頻率能量守恒能量守恒考慮兩個(gè)特殊位置上系統(tǒng)能量：考慮兩個(gè)特殊位置上系統(tǒng)能量： 由于系統(tǒng)的固有振動(dòng)是以固有頻率為振動(dòng)頻率由于系統(tǒng)的固有振動(dòng)是以固有頻率為振動(dòng)頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，所以最大速度與最大位移有關(guān)系：的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，所以最大速度與最大位移有關(guān)系：2022-3-9理論力學(xué)28例例2 位移計(jì)位移計(jì)k2 BWk1bcO質(zhì)量塊重質(zhì)量塊重W,搖臂搖臂AB繞支點(diǎn)繞支點(diǎn)O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣

19、量為為I,兩彈簧剛度為兩彈簧剛度為k1,k2,求系統(tǒng)固有頻率。求系統(tǒng)固有頻率。解解211()222mmaxmWxTxIgb211()222max1m2mcUk xkxb最大動(dòng)能最大動(dòng)能最大勢(shì)能最大勢(shì)能1()22212m2ckk xb1()222mn2WIxgb 設(shè)質(zhì)量塊最大速度和最大位設(shè)質(zhì)量塊最大速度和最大位移為移為mmxx ，2/mmxbkcxb搖臂最大角速度彈簧 最大伸長(zhǎng)量2022-3-9理論力學(xué)29例例2 位移計(jì)位移計(jì)k2 BWk1bcOmaxmaxUT22221/)/(bIgWkbckn能量守恒能量守恒1()222max12m2cUkk xb1()222mn2WITxgb max202

20、2-3-9理論力學(xué)30例3 圓柱體微振動(dòng)圓柱體微振動(dòng)重重W半徑半徑r的圓柱體在半徑為的圓柱體在半徑為R圓柱面內(nèi)作無(wú)圓柱面內(nèi)作無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)。求圓柱體在平衡位置附近作微滑動(dòng)滾動(dòng)。求圓柱體在平衡位置附近作微振動(dòng)的微分方程和固有頻率。振動(dòng)的微分方程和固有頻率。解解 設(shè)角坐標(biāo)設(shè)角坐標(biāo) ，系統(tǒng)勢(shì)能為，系統(tǒng)勢(shì)能為2/)()cos1)(2rRWrRWUA為瞬心，為瞬心，質(zhì)心線速度為質(zhì)心線速度為設(shè)圓柱體轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為設(shè)圓柱體轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為 rrRrrRvc/)()(系統(tǒng)動(dòng)能系統(tǒng)動(dòng)能222222)(43)(21(2121rRgWrrRrgWrgWITA)( 320)( 320)()(232rRgrRgrRWrRgWn

21、2022-3-9理論力學(xué)31 13.2.3 單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)一、阻尼的概念一、阻尼的概念： 阻尼阻尼：振動(dòng)過(guò)程中，系統(tǒng)所受的阻力。：振動(dòng)過(guò)程中，系統(tǒng)所受的阻力。 粘性阻尼粘性阻尼：在很多情況下，振體速度不大時(shí)，由于：在很多情況下，振體速度不大時(shí)，由于介質(zhì)粘性引起的阻尼認(rèn)為阻力與速度的一次方成正比，介質(zhì)粘性引起的阻尼認(rèn)為阻力與速度的一次方成正比，這種阻尼稱(chēng)為粘性阻尼。這種阻尼稱(chēng)為粘性阻尼。vcR投影式：投影式：xcRx c 粘性阻尼系數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)阻尼系數(shù)。粘性阻尼系數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)阻尼系數(shù)。2022-3-9理論力學(xué)32 二、有阻尼自由振動(dòng)微分方程及其解二、有阻尼自由振

22、動(dòng)微分方程及其解： 質(zhì)量質(zhì)量彈簧系統(tǒng)存在粘性阻尼：彈簧系統(tǒng)存在粘性阻尼：xckxxm 02 2 , 22nxxnx mcnmkn 則令有阻尼自由振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。有阻尼自由振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。2022-3-9理論力學(xué)33 其通解分三種情況討論：其通解分三種情況討論： 1、欠阻尼情形、欠阻尼情形mkcnn2 )()sin(tAexdnt22nnd有阻尼自由振動(dòng)的圓頻率有阻尼自由振動(dòng)的圓頻率則時(shí)設(shè) , , , 0 00 xxxxt0022012220020tg ; )(nxxnxnnxxxAnn2022-3-9理論力學(xué)34 衰減振動(dòng)的特點(diǎn)：衰減振動(dòng)的特點(diǎn)：(1) 振動(dòng)周期變大，振動(dòng)周期變

23、大， 頻率減小頻率減小。mkcnnTnndd212 222222阻尼比阻尼比有阻尼自由振動(dòng)：有阻尼自由振動(dòng)：當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，可以認(rèn)為可以認(rèn)為nn1TTdnd 222111ndddffTT2022-3-9理論力學(xué)35 (2) 振幅按幾何級(jí)數(shù)衰減振幅按幾何級(jí)數(shù)衰減 對(duì)數(shù)減縮率對(duì)數(shù)減縮率212lnln21dnTiinTeAAdddiinTTtnntiieAeeAAA)(1相鄰兩次振幅之比相鄰兩次振幅之比2022-3-9理論力學(xué)36 2、臨界阻尼情形、臨界阻尼情形 臨界阻尼系數(shù)臨界阻尼系數(shù)) 1 , (nnmkcc2)(000tnxxxexnt) , , 0(00 xxxxt 時(shí) 可見(jiàn)，物體的運(yùn)動(dòng)隨時(shí)間

24、的增長(zhǎng)而無(wú)限可見(jiàn)，物體的運(yùn)動(dòng)隨時(shí)間的增長(zhǎng)而無(wú)限地趨向平衡位置，不再具備振動(dòng)的特性。地趨向平衡位置，不再具備振動(dòng)的特性。 2022-3-9理論力學(xué)37 )(222221 tn tnntnneCeCex代入初始條件代入初始條件) , , 0(00 xxxxt 時(shí)220022222022012)( ; 2)(nnnnnxxnnCnxnnxC) 1 , (nn)(ccc 3、過(guò)阻尼（大阻尼）情形、過(guò)阻尼（大阻尼）情形 所示規(guī)律已不是周期性的了，隨時(shí)間的所示規(guī)律已不是周期性的了，隨時(shí)間的增長(zhǎng)，增長(zhǎng)，x 0，不具備振動(dòng)特性。，不具備振動(dòng)特性。2022-3-9理論力學(xué)38 例例3 質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，質(zhì)量彈簧系統(tǒng)

25、，W=150N， st=1cm , A1=0.8cm, A21=0.16cm。 求阻尼系數(shù)求阻尼系數(shù)c 。2021203221211)(dnTeAAAAAAAA解：解：20)(16. 08 . 0dnTe21220205lnnndnT由于由于 很小，很小，405ln )s/cmN(122. 0 98011502405ln2405ln22stWgWmkc2022-3-9理論力學(xué)39 13.2.4 單自由度系統(tǒng)的無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)一、強(qiáng)迫振動(dòng)的概念一、強(qiáng)迫振動(dòng)的概念 強(qiáng)迫振動(dòng)：在外加激振力作用下的振動(dòng)。強(qiáng)迫振動(dòng)：在外加激振力作用下的振動(dòng)。 簡(jiǎn)諧激振力：簡(jiǎn)諧激振力： H力幅；

26、力幅； 激振力的圓頻率激振力的圓頻率 ； 激振力的初相位。激振力的初相位。)sin(tHS)sin(tHkxxm 則令 , 2mHhmkn)sin(2thxxn 無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。二、無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程及其解二、無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程及其解2022-3-9理論力學(xué)40 21xxx)sin()sin(21tbxtAxn為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為特解為特解)sin( , 22222thxhbnn)sin()sin(22thtAxnn全解為：全解為：穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振

27、動(dòng) 3、強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅大小與運(yùn)動(dòng)初始條件無(wú)關(guān)，而與振動(dòng)系統(tǒng)、強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅大小與運(yùn)動(dòng)初始條件無(wú)關(guān)，而與振動(dòng)系統(tǒng) 的固有頻率、激振力的頻率及激振力的力幅有關(guān)。的固有頻率、激振力的頻率及激振力的力幅有關(guān)。三、穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)的主要特性三、穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)的主要特性：1、在簡(jiǎn)諧激振力下，單自由度系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)亦為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。、在簡(jiǎn)諧激振力下，單自由度系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)亦為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。2、強(qiáng)迫振動(dòng)的頻率等于簡(jiǎn)諧激振力的頻率，與振動(dòng)系統(tǒng)的、強(qiáng)迫振動(dòng)的頻率等于簡(jiǎn)諧激振力的頻率，與振動(dòng)系統(tǒng)的 質(zhì)量及剛度系數(shù)無(wú)關(guān)。質(zhì)量及剛度系數(shù)無(wú)關(guān)。2022-3-9理論力學(xué)41(1) =0時(shí)kHhbn20 (2) 時(shí)，振幅時(shí)，振幅b隨隨 增大而

28、增大；當(dāng)增大而增大；當(dāng) 時(shí)，時(shí)，n bn(3) 時(shí)，振動(dòng)相位與激振力相位反相，相差時(shí)，振動(dòng)相位與激振力相位反相，相差 。rad n22nhb b 隨隨 增大而減?。辉龃蠖鴾p??； 0 ; , 20bbbn時(shí)時(shí) 振幅比或稱(chēng)動(dòng)力系數(shù)振幅比或稱(chēng)動(dòng)力系數(shù) 頻率比頻率比 曲線曲線 幅頻響應(yīng)曲線幅頻響應(yīng)曲線 （幅頻特性曲線）（幅頻特性曲線）12022-3-9理論力學(xué)42 4、共振現(xiàn)象、共振現(xiàn)象 , 時(shí)nb ，這種現(xiàn)象稱(chēng)為共振。，這種現(xiàn)象稱(chēng)為共振。此時(shí)，此時(shí)，)cos(2tBtxn)cos(2 2 , 2 2ttbxthbhBnnnn2022-3-9理論力學(xué)43 13.2.5 單自由度系統(tǒng)的有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)單自

29、由度系統(tǒng)的有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)一、有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程及其解一、有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程及其解tHQxcRkxFxxxsin , , tHxckxxmsin 將上式兩端除以將上式兩端除以m ，并令，并令mHhmcnmkn ; 2 ; 2thxxnxnsin22 有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，二階常系數(shù)非齊次微有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，二階常系數(shù)非齊次微分方程。分方程。21xxx2022-3-9理論力學(xué)44 x1是齊次方程的通解是齊次方程的通解)02(2xxnxn 小阻尼：小阻尼：)sin(221tAexnnt（A、 積分常數(shù)，取決于初始條件）積分常數(shù)，取決于初始條件）x2 是特解：是特解：)sin(2tbx代入標(biāo)準(zhǔn)形式方程并整理代入標(biāo)準(zhǔn)形式方程并整理22222222tg4)(nnnnhb 強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅 強(qiáng)迫振動(dòng)相位滯后激振力相位角強(qiáng)迫振動(dòng)相位滯后激振力相位角振動(dòng)微分方程的全解為振動(dòng)微分方程的全解為)sin()sin(22tbtAexnnt 衰減振動(dòng)衰減振動(dòng) 強(qiáng)迫振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)2022-3-9理論力學(xué)45 振動(dòng)開(kāi)始時(shí)，二者同時(shí)存在的過(guò)程振動(dòng)開(kāi)始時(shí)，二者同時(shí)存在的過(guò)程瞬態(tài)過(guò)程。瞬態(tài)過(guò)程。僅剩下強(qiáng)迫振動(dòng)部分的過(guò)程僅剩下強(qiáng)迫振動(dòng)部分的過(guò)程穩(wěn)態(tài)過(guò)程。需著重討論部分。穩(wěn)態(tài)過(guò)程。需著重討論部分。 nnnbb ; , 0令 頻率比頻率比 振幅比振幅比 阻尼比阻