排列組合基礎(chǔ)知識(shí)與習(xí)題分析原版

1、排列組合基礎(chǔ)知識(shí)及習(xí)題分析排列、組合的本質(zhì)是研究“從n個(gè)不同的元素中，任取m (mn)個(gè)元素，有序和無序擺放的各種可能性”.區(qū)別排列與組合的標(biāo)志是“有序”與“無序”. 解答排列、組合問題的思維模式有二： 其一是看問題是有序的還是無序的？有序用“排列”，無序用“組合”； 其二是看問題需要分類還是需要分步？分類用“加法”，分步用“乘法”. 分 類：“做一件事，完成它可以有n類方法”，這是對(duì)完成這件事的所有辦法的一個(gè)分類.分類時(shí)，首先要根據(jù)問題的特點(diǎn)確定一個(gè)適合于它的分類標(biāo)準(zhǔn)，然后在這個(gè) 標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類；其次，分類時(shí)要注意滿足兩條基本原則：完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類；分別屬于不同兩類的兩

2、種方法是不同的方法. 分步：“做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟”，這是說完成這件事的任何一種方法，都要分成n個(gè)步驟.分步時(shí)，首先要根據(jù)問題的特點(diǎn)，確定一個(gè)可行的分步標(biāo)準(zhǔn)；其次，步驟的設(shè)置要滿足完成這件事必須并且只需連續(xù)完成這n個(gè)步驟后，這件事才算最終完成. 在解決排列與組合的應(yīng)用題時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： 1有限制條件的排列問題常見命題形式： “在”與“不在” “鄰”與“不鄰” 在解決問題時(shí)要掌握基本的解題思想和方法： “相鄰”問題在解題時(shí)常用“合并元素法”，可把兩個(gè)以上的元素當(dāng)做一個(gè)元素來看，這是處理相鄰最常用的方法. “不鄰”問題在解題時(shí)最常用的是“插空排列法”. “在”與“不在”問題，常常涉及

3、特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置. 元素有順序限制的排列，可以先不考慮順序限制，等排列完畢后，利用規(guī)定順序的實(shí)情求出結(jié)果. 2有限制條件的組合問題，常見的命題形式： “含”與“不含” “至少”與“至多” 在解題時(shí)常用的方法有“直接法”或“間接法”. 3 在處理排列、組合綜合題時(shí)，通過分析條件按元素的性質(zhì)分類，做到不重、不漏，按事件的發(fā)生過程分步，正確地交替使用兩個(gè)原理，這是解決排列、組合問題的最基本的，也是最重要的思想方法. * 習(xí)題1、三邊長(zhǎng)均為整數(shù)，且最大邊長(zhǎng)為11的三角形的個(gè)數(shù)為（ C ） (A)25個(gè) (B)26個(gè) (C)36個(gè) (D)37個(gè) 2、（1）將4封信投入3

4、個(gè)郵筒，有多少種不同的投法？（2）3位旅客，到4個(gè)旅館住宿，有多少種不同的住宿方法？ （3）8本不同的書，任選3本分給3個(gè)同學(xué)，每人一本，有多少種不同的分法？ 3、 七個(gè)同學(xué)排成一橫排照相. （1）某甲不站在排頭也不能在排尾的不同排法有多少種？ （3600） （2）某乙只能在排頭或排尾的不同排法有多少種？ （1440）（3）甲不在排頭或排尾，同時(shí)乙不在中間的不同排法有多少種？ （3120）（4）甲、乙必須相鄰的排法有多少種？ （1440） （5）甲必須在乙的左邊（不一定相鄰）的不同排法有多少種？（2520） 4、用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的數(shù). （1）能組成多少個(gè)四位數(shù)？ （

5、300） （2）能組成多少個(gè)自然數(shù)？ （1631） （3）能組成多少個(gè)六位奇數(shù)？ （288） （4）能組成多少個(gè)能被25整除的四位數(shù)？ （21） （5）能組成多少個(gè)比201345大的數(shù)？ （479） （6）求所有組成三位數(shù)的總和. （32640） 5、生產(chǎn)某種產(chǎn)品100件，其中有2件是次品，現(xiàn)在抽取5件進(jìn)行檢查. （1）“其中恰有兩件次品”的抽法有多少種？ （152096） （2）“其中恰有一件次品”的抽法有多少種？ （7224560） （3）“其中沒有次品”的抽法有多少種？ （67910864）（4）“其中至少有一件次品”的抽法有多少種？ （7376656） （5）“其中至多有一件次品”的抽

6、法有多少種？ （75135424） 6、從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出3臺(tái)，其中至少要有甲型和乙型電視機(jī)各1臺(tái)，則不同的取法共有（ ） 7、在50件產(chǎn)品中有4件是次品，從中任抽5件，至少有3件是次品的抽法有_種. 8、有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù), 甲需2人承擔(dān), 乙、丙各需1人承擔(dān).從10人中選派4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù), 不同的選法共有（ ） 9、12名同學(xué)分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行車流量的調(diào)查，若每個(gè)路口4人，則不同的分配方案共有_種10、在一張節(jié)目表中原有8個(gè)節(jié)目，若保持原有節(jié)目的相對(duì)順序不變，再增加三個(gè)節(jié)目，求共有多少種安排方法？ 990 解決排列組合問題的策略1、逆向思維法：例題：7個(gè)人排座

7、，甲坐在乙的左邊（不一定相鄰）的情況有多少種？例題：一個(gè)正方體有8個(gè)頂點(diǎn) 我們?nèi)我膺x出4個(gè)，有多少種情況是這4個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)成四面體的。例題：用0，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（ ） A24個(gè) B30個(gè) C40個(gè) D60個(gè)2、解含有特殊元素、特殊位置的題采用特殊優(yōu)先安排的策略：（1）無關(guān)型：兩個(gè)特殊位置上分別可取的元素所組成的集合的交是空集例題：用0，1，2，3，4，5六個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)被10整除且數(shù)字不同的六位數(shù)?（2）包含型：兩個(gè)特殊位置上分別可取的元素所組成集合具有包合關(guān)系例題：用0，1，2，3，4，5六個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)被5整除且數(shù)字不同的六位奇數(shù)?P

8、55P441202496 用0，1，2，3，4，5六個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)被25整除且數(shù)字不同的六位數(shù)?25，75 （3321）2P44362460（3）影響型：兩個(gè)特殊位置上可取的元素既有相同的，又有不同的。例題：用1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字，可以組成比20000大并且百位數(shù)字不是3的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)有多少個(gè)?3、解含有約束條件的排列組合問題一采用合理分類與準(zhǔn)確分步的策略例題：平面上4條平行直線與另外5條平行直線互相垂直，則它們構(gòu)成的矩形共有_個(gè)。4、解排列組臺(tái)混合問題采用先選后排策略對(duì)于排列與組合的混合問題，可采取先選出元素，后進(jìn)行排列的策略。 例：4個(gè)不同小球放入編號(hào)為1、2、3、4的

9、四個(gè)盒子，則恰有一個(gè)空盒的放法有_種。1445、插板法插板法的條件構(gòu)成： 1元素相同，2分組不同，3必須至少分得1個(gè)插板法的類型：（1）、10塊奶糖分給4個(gè)小朋友，每個(gè)小朋友至少1塊，則有多少種分法？（典型插板法 點(diǎn)評(píng)略）（2）、10塊奶糖分給4個(gè)小朋友有多少種方法？（湊數(shù)插板法： 這個(gè)題目對(duì)照插板法的3個(gè)條件我們發(fā)現(xiàn) 至少滿足1個(gè)這個(gè)條件沒有， 所以我們必須使其滿足，最好的方法 就是用14塊奶糖來分，至少每人1塊 ，當(dāng)每個(gè)人都分得1塊之后，剩下的10塊就可以隨便分了，就回歸到了原題）（3）、10塊奶糖放到編號(hào)為1，2，3的3個(gè)盒子里，每個(gè)盒子的糖數(shù)量不少于其編號(hào)數(shù)，則有幾種方法？（定制插板法

10、： 已然是最后一個(gè)條件不滿足，我們?cè)撛趺刺幚砟?，?yīng)該學(xué)會(huì)先去安排 使得每個(gè)盒子都差1個(gè)，這樣就保證每個(gè)盒子必須分得1個(gè)，從這個(gè)思路出發(fā)，跟第二個(gè)例題是姊妹題 思路是一樣的 對(duì)照條件 想辦法使其和條件吻合?。?）、8塊奶糖和另外3個(gè)不同品牌的水果糖要放到編號(hào)為111的盒子里面，每個(gè)盒子至少放1個(gè)，有多少種方法？（多次插空法 這里不多講，見我排列組合基礎(chǔ)講義）6、遞歸法（枚舉法） 公考也有這樣的類型， 排錯(cuò)信封問題，還有一些郵票問題歸納法：例如：5封信一一對(duì)應(yīng)5個(gè)信封，其中有3個(gè)封信裝錯(cuò)信封的情況有多少種？例如：10張相同的郵票 分別裝到4個(gè)相同的信封里面，每個(gè)信封至少1張郵票，有多少種方法？疑

11、難問題1、如何驗(yàn)證重復(fù)問題2、關(guān)于位置與元素的相同問題，例如： 6個(gè)人平均分配給3個(gè)不同的班級(jí)，跟 6個(gè)學(xué)生平分成3組的區(qū)別3、關(guān)于排列組合里面，充分運(yùn)用對(duì)稱原理。例題： 1，2，3，4，5 五個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)十位數(shù)小于個(gè)位數(shù)的四位數(shù)？例題：7個(gè)人排成一排，其中甲在乙右邊（可以不相鄰）的情況有多少種？注解：分析2種對(duì)立情況的概率，即可很容易求解。 當(dāng)對(duì)立情況的概率相等，即對(duì)稱原理。4、環(huán)形排列和線性排列問題。（見我的基礎(chǔ)排列組合講義二習(xí)題講解）例如：3個(gè)女生和4個(gè)男生圍坐在一個(gè)圓桌旁。 問有多少種方法？例如：3對(duì)夫婦圍坐在圓桌旁，男女間隔的坐法有多少種？注解：排列組合中，特殊的地方在于，第

12、一個(gè)坐下來的人是作為參照物，所以不納入排列的范疇，我們知道，環(huán)形排列中 每個(gè)位置都是相對(duì)的位置，沒有絕對(duì)位置，所以需要有一個(gè)人坐下來作為參照位置。5、幾何問題：見下面部分的內(nèi)容。例析立體幾何中的排列組合問題在數(shù)學(xué)中，排列、組合無論從內(nèi)容上還是從思想方法上，都體現(xiàn)了實(shí)際應(yīng)用的觀點(diǎn)。1 點(diǎn)11 共面的點(diǎn)例題： 四面體的一個(gè)頂點(diǎn)為A，從其它頂點(diǎn)與棱的中點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn)，使它們和點(diǎn)A在同一平面上，不同的取法有（ ）A30種 B33種 C36種 D39種 答案：B點(diǎn)評(píng)：此題主要考查組合的知識(shí)和空間相像能力；屬難度中等的選擇題，失誤的主要原因是沒有把每條棱上的3點(diǎn)與它對(duì)棱上的中點(diǎn)共面的情況計(jì)算在內(nèi)。12 不共

13、面的點(diǎn)例2： 四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有（ ）A150種 B147種 C144種 D141種解析：從10 個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)有C（10，4）210 種取法，其中4點(diǎn)共面的情況有三類：第一類，取出的4個(gè)點(diǎn)位于四面體的同一個(gè)面內(nèi)，有C（6，2）15種；第二類，取任一條棱上的3個(gè)點(diǎn)及對(duì)棱的中點(diǎn)，這4點(diǎn)共面有6種；第三類，由中位線構(gòu)成的平行四邊形，它的4個(gè)頂點(diǎn)共面，有3種。以上三類情況不合要求應(yīng)減掉，所以不同取法共有21041563141 種。答案：D。點(diǎn)評(píng)：此題難度很大，對(duì)空間想像能力要求高，很好的考察了立體幾何中點(diǎn)共面的幾種情況；排列、組合中正難則反易的

14、解題技巧及分類討論的數(shù)學(xué)思想。幾何型排列組合問題的求解策略有關(guān)幾何型組合題經(jīng)常出現(xiàn)在各類試題中，它的求解不僅要具備排列組合的有關(guān)知識(shí)，而且還要掌握相關(guān)的幾何知識(shí).這類題目新穎、靈活、能力要求高，因此要求掌握四種常用求解策略.一 分步求解例1 圓周上有2n個(gè)等分點(diǎn)（n1），以其中三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角三角形的個(gè)數(shù)為_解：本題所求的三角形，即為圓的內(nèi)接直角三角形，由平面幾何知識(shí)，應(yīng)分兩步進(jìn)行：先從2n個(gè)點(diǎn)中構(gòu)成直徑（即斜邊）共有n種取法；再?gòu)挠嘞碌?2n2)個(gè)點(diǎn)中取一點(diǎn)作為直角頂點(diǎn)，有(2n2)種不同取法故總共有n(2n2)2n(n1)個(gè)直角三角形故填2n(n1)例2： 從集合0、1、2、3、5、7、

15、11中任取3個(gè)元素分別作為直線方程AxByC0中的A、B、C，所得的經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)原直線共有_條（結(jié)果用數(shù)值來表示）.解：因?yàn)橹本€過原點(diǎn)，所以C0. 從1、2、3、5、7、11這6個(gè)數(shù)中任取2個(gè)作為A、B， 兩數(shù)的順序不同，表示的直線也不同，所以直線的條數(shù)為 P（6，2）30二 分類求解例3 四邊體的一個(gè)頂點(diǎn)為A，從其它頂點(diǎn)與各棱的中點(diǎn)中取3點(diǎn)，使它們和A在同一平面上，不同取法有（ ）(A)30種 (B)33種 (C)36種 (D)39種 解：符合條件的取法可分三類： 4個(gè)點(diǎn)（含A）在同一側(cè)面上，有3 30種；4個(gè)點(diǎn)（含A）在側(cè)棱與對(duì)棱中點(diǎn)的截面上，有3種；由加法原理知不同取法有33種，故選B.

16、三 排除法求解例4 從正方體的6個(gè)面中選取3個(gè)面，其中有2個(gè)面不相鄰的選法共有（ ） (A) 8種 (B) 12種 (C) 16種 (D) 20種解：由六個(gè)任取3個(gè)面共有 C（6，3）20種，排除掉3個(gè)面都相鄰的種數(shù)，即8個(gè)角上3個(gè)平面相鄰的特殊情形共8種，故符合條件共有 20812種，故選(B)例5 正六邊形的中心和頂點(diǎn)共7個(gè)點(diǎn)，以其中3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形共有（ ）個(gè)？解：從7個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，共有C（7，3）35 個(gè)，排除掉不能構(gòu)成三角形的情形3點(diǎn)在同一直線上有3個(gè)，故符合條件的三角形共有 35332個(gè) 四 轉(zhuǎn)化法求解 例6 空間六個(gè)點(diǎn)，它們?nèi)魏稳c(diǎn)不共線，任何四點(diǎn)不共面，則過每?jī)牲c(diǎn)的直線

17、中有多少對(duì)異面直線？ 解：考慮到每一個(gè)三棱錐對(duì)應(yīng)著3 對(duì)異面直線，問題就轉(zhuǎn)化為能構(gòu)成多少個(gè)三棱錐. 由于這六個(gè)點(diǎn)可構(gòu)成C（6，4）15 個(gè)三棱錐，故共有315 45對(duì)異面直線.例7 一個(gè)圓的圓周上有10個(gè)點(diǎn)，每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)連接一條弦，求這些弦在圓內(nèi)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多有幾個(gè)？ 解：考慮到每個(gè)凸四邊形的兩條對(duì)角線對(duì)應(yīng)一個(gè)交點(diǎn)，則問題可轉(zhuǎn)化為構(gòu)成凸四邊形的個(gè)數(shù)顯然可構(gòu)成 C（10，4）210個(gè)圓內(nèi)接四邊形，故10個(gè)點(diǎn)連成的點(diǎn)最多能在圓中交點(diǎn)210個(gè).6、染色問題：不涉及環(huán)形染色 可以采用特殊區(qū)域優(yōu)先處理的方法來分步解決。環(huán)形染色可采用如下公式解決：An（a1）n+(a-1)(-1)n n表示被劃分的個(gè)數(shù)，a表

18、示顏色種類原則：被染色部分編號(hào)，并按編號(hào)順序進(jìn)行染色，根據(jù)情況分類在所有被染色的區(qū)域，區(qū)分特殊和一般，特殊區(qū)域優(yōu)先處理例題1：將3種作物種植在如圖4所示的5塊試驗(yàn)田里，每塊種植一種作物，且相鄰的試驗(yàn)田不能種同一種作物。則有多少種種植方法？圖1例題2：用5種不同顏色為圖中ABCDE五個(gè)部分染色，相鄰部分不能同色，但同一種顏色可以反復(fù)使用，也可以不使用，則符合要求的不同染色方法有多少種？圖2例題3：將一個(gè)四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)染色，使同一條棱的2個(gè)端點(diǎn)不同色，且只由五個(gè)顏色可以使用，有多少種染色方法？圖3例題4：一個(gè)地區(qū)分為如圖4所示的五個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)在有4種顏色可供選擇，給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不同色

19、，那么則有多少種染色方法？圖4例題5：某城市中心廣場(chǎng)建造了一個(gè)花圃，分6個(gè)部分（如圖5） 現(xiàn)在要栽種4種不同的顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能種同樣顏色的花，則有多少種不同栽種方式？圖5：1. 排列組合題（系列之二）一） 1, 2, 3, 4作成數(shù)字不同的三位數(shù)，試求其總和？但數(shù)字不重復(fù)。 解析 組成3位數(shù) 我們以其中一個(gè)位置(百位,十位,個(gè)位)為研究對(duì)象就會(huì)發(fā)現(xiàn) 當(dāng)某個(gè)位置固定 比如是1,那么其他的2個(gè)位置上有多少種組合? 這個(gè)大家都知道 是剩下的3個(gè)數(shù)字的全排列 P32我們研究的位置上每個(gè)數(shù)字都會(huì)出現(xiàn)P32次 所以每個(gè)位置上的數(shù)字之和就可以求出來了 個(gè)位是:P32*(1+2+3+4)

20、=60 十位是:P32*(1+2+3+4)*10=600 百位是:P32*(1+2+3+4)*100=6000 所以總和是6660 （二） 將“PROBABILITY ”11個(gè)字母排成一列，排列數(shù)有_種，若保持P, R, O次序，則排列數(shù)有_種。 解析 這個(gè)題目就是直線全排列出現(xiàn)相同元素的問題:在我的另外一個(gè)帖子里面有介紹: (1)我們首先把相同元素找出來,B有2個(gè), I 有2個(gè) 我們先看作都是不同的11個(gè)元素全排列 這樣就簡(jiǎn)單的多是P11,11 然后把相同的元素能夠形成的排列剔除即可 P11/(P2,2*P2,2)=9979200。 (2)第2個(gè)小問題 因要保持PRO的順序，就將PRO視為相

21、同元素（跟B，I類似的性質(zhì)），則其排列數(shù)有11！/（2！2！3?。? 166320種。 （三） 李先生與其太太有一天邀請(qǐng)鄰家四對(duì)夫婦共10人圍坐一圓桌聊天，試求下列各情形之排列數(shù)： （1）男女間隔而坐。 （2）主人夫婦相對(duì)而坐。 （3）每對(duì)夫婦相對(duì)而坐。 （4）男女間隔且夫婦相鄰。 （5）夫婦相鄰。 （6）男的坐在一起，女的坐在一起。 解析 (1) 這個(gè)問題也在介紹過 先簡(jiǎn)單介紹一下環(huán)形排列的特征,環(huán)形排列相對(duì)于直線排列缺少的就是參照物.第一個(gè)坐下來的人是沒有參照物的,所以無論做哪個(gè)位置都是一樣的. 所以從這里我們就可以看出 環(huán)形排列的特征是 第一個(gè)人是做參照物,不參與排列. 下面就來解答6個(gè)

22、小問題: (1)先讓5個(gè)男的或5個(gè)女的先坐下來 全排列應(yīng)該是 P44, 空出來的位置他們的妻子(丈夫), 妻子(丈夫)的全排列這個(gè)時(shí)候有了參照物所以排列是P55 答案就是 P44*P55=2880種 (2)先讓主人夫婦找一組相對(duì)座位入座 其排列就是P11(記住不是P22 ),這個(gè)時(shí)候其他8個(gè)人再入座,就是P88,所以此題答案是 P88 (3)每對(duì)夫婦相對(duì)而坐,就是捆綁的問題.5組相對(duì)位置有一組位置是作為參照位置給第一個(gè)入座的夫婦的,剩下的4組位置就是P44, 考慮到剩下來的4組位置夫婦可以互換位置即 P44*24=384 (4)夫婦相鄰,且間隔而坐. 我們先將每對(duì)夫婦捆綁 那么就是5個(gè)元素做環(huán)

23、形全排列 即P44 這里在從性別上區(qū)分 男女看作2個(gè)元素 可以互換位置 即答案是P44*2=48種(值得注意的是,這里不是*24 因?yàn)橐Q位置,必須5對(duì)夫婦都得換 要不然就不能保持男女間隔) (5) 夫婦相鄰 這個(gè)問題顯然比第4個(gè)問題簡(jiǎn)單多了,即看作捆綁 答案就是P44 但是這里卻是每對(duì)夫婦呼喚位置都可以算一種方法的. 即 最后答案是P44*25 (6)先從大方向上確定男女分開座,那么我們可以通過性別確定為2個(gè)元素做環(huán)形全排列.即P1,1 , 剩下的5個(gè)男生和5個(gè)女生單獨(dú)做直線全排列 所以答案是P1,1 *P55*P55 （四）在一張節(jié)目表中原有8個(gè)節(jié)目，若保持原有節(jié)目的相對(duì)順序不變，再增加

24、三個(gè)節(jié)目，求共有多少種安排方法？ 解析 這個(gè)題目相信大家都見過 就是我們這次2008年國(guó)家公務(wù)員考試的一道題目: 這是排列組合的一種方法 叫做2次插空法或多次插空法 直接解答較為麻煩，我們知道8個(gè)節(jié)目相對(duì)位置不動(dòng),前后共計(jì)9個(gè)間隔,故可先用一個(gè)節(jié)目去插9個(gè)空位，有C9取1種方法；這樣9個(gè)節(jié)目就變成了10個(gè)間隔,再用另一個(gè)節(jié)目去插10個(gè)空位，有C10取1種方法；同理用最后一個(gè)節(jié)目去插10個(gè)節(jié)目形成的11個(gè)間隔中的一個(gè)，有C11取1方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法為9*10*11=990種。 方法2: 我們先安排11個(gè)位置,把8個(gè)節(jié)目按照相對(duì)順序放進(jìn)去,在放另外3個(gè)節(jié)目,11個(gè)位置選3個(gè)出來

25、進(jìn)行全排列 那就是P11,3=11*10*9=990 （五） 0，1，2，3，4，5五個(gè)數(shù)字能組成多少個(gè)被25整除的四位數(shù)？ 解析 這里考察了一個(gè)常識(shí)性的問題 即 什么樣數(shù)才能被25整除 即這個(gè)數(shù)的后2位必須是25或者50，或者75或者00 方可. 后兩位是25的情況有:千位只有3個(gè)數(shù)字可選(0不能) 百位也是3個(gè)可選 即3*3=9種 后兩位是50的情況有:剩下的4個(gè)數(shù)字進(jìn)行選2位排列 P4,2=12種 75不可能，因?yàn)閿?shù)字中沒有7 00也不可能，因?yàn)閿?shù)字不能重復(fù)共計(jì) 9+12=21種2. “插板法”的條件模式隱藏運(yùn)用分析在說這2 道關(guān)于“插板法”的排列組合題目之前，我們需要弄懂一個(gè)問題：插板

26、法排列組合是需要什么條件下才可以使用？這個(gè)問題清楚了，我們?cè)谝院蟮拇痤}中 就可以盡量的變化題目使其滿足這個(gè)條件。這個(gè)條件就是： 分組或者分班等等 至少分得一個(gè)元素。 注意條件是 至少分得1個(gè)元素！好我們先來看題目，例題1：某學(xué)校四、五、六三個(gè)年級(jí)組織了一場(chǎng)文藝演出，共演出18個(gè)節(jié)目，如果每個(gè)年級(jí)至少演出4個(gè)節(jié)目，那么這三個(gè)年級(jí)演出節(jié)目數(shù)的所有不同情況共有幾種？【解析】這個(gè)題目是Q友出的題目，題目中是不考慮節(jié)目的不同性 你可以視為18個(gè)相同的節(jié)目 不區(qū)分！發(fā)現(xiàn)3個(gè)年級(jí)都是需要至少4個(gè)節(jié)目以上！ 跟插板法的條件有出入， 插板法的條件是至少1個(gè)，這個(gè)時(shí)候?qū)Ρ纫幌?，我們就有了這樣的思路 ，為什么我們不

27、把18個(gè)節(jié)目中分別給這3個(gè)年級(jí)各分配3個(gè)節(jié)目。這樣這3個(gè)班級(jí)就都少1個(gè)，從而滿足至少1個(gè)的情況了339 還剩下1899個(gè)剩下的9個(gè)節(jié)目就可以按照插板法來解答。 9個(gè)節(jié)目排成一排共計(jì)8個(gè)間隔。分別選取其中任意2個(gè)間隔就可以分成3份（班級(jí)）！C8取228練習(xí)題目：有10個(gè)相同的小球。 分別放到編號(hào)為1，2，3的盒子里 要使得每個(gè)盒子的小球個(gè)數(shù)不小于其編號(hào)數(shù)。那么有多少種放法？【解析】還是同樣的原理。 每個(gè)盒子至少的要求和插板法有出入 那么我們第一步就是想辦法滿足插板法的要求。 編號(hào)1的盒子是滿足的 至少需要1個(gè)， 編號(hào)2至少需要2個(gè)，那么我們先給它1個(gè)， 這樣就差1個(gè)編號(hào)3至少需要3個(gè)，那么我們先給它2個(gè)， 這樣就差1個(gè)現(xiàn)在三個(gè)盒子都滿足插板法的要求了 我們看還剩下幾個(gè)小球 ？101277個(gè)小球6個(gè)間隔 再按照插板法來做 C6，215種！3. 【糾錯(cuò)】?jī)蓚€(gè)相同的正方體的六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字的排列組合問題有兩個(gè)相同的正方體，每個(gè)正方體的六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6。將兩個(gè)正方體放到桌面上，向上的一面數(shù)字之和為偶數(shù)的有多少種情形？（ ） A9 B12 C18 D24 很多教材給出的答案是18