復(fù)合函數(shù)知識總結(jié)與例題

1、復(fù)合函數(shù)問題一、復(fù)合函數(shù)定義：設(shè)y=f(u)的定義域為A，u=g(x)的值域為B，若AB，則y關(guān)于x函數(shù)的y=fg(x)叫做函數(shù)f與g的復(fù)合函數(shù)，u叫中間量.二、復(fù)合函數(shù)定義域問題： (1)、已知的定義域，求的定義域思路：設(shè)函數(shù)的定義域為D，即，所以的作用范圍為D，又f對作用，作用范圍不變，所以，解得，E為的定義域。例1.設(shè)函數(shù)的定義域為（0，1），則函數(shù)的定義域為_。解析：函數(shù)的定義域為（0，1）即，所以的作用范圍為（0，1）又f對lnx作用，作用范圍不變，所以解得，故函數(shù)的定義域為（1，e）例2. 若函數(shù)，則函數(shù)的定義域為_。解析：先求f的作用范圍，由，知即f的作用范圍為，又f對f(x)作

2、用所以，即中x應(yīng)滿足即，解得故函數(shù)的定義域為（2）、已知的定義域，求的定義域思路：設(shè)的定義域為D，即，由此得，所以f的作用范圍為E，又f對x作用，作用范圍不變，所以為的定義域。例3. 已知的定義域為，則函數(shù)的定義域為_。解析：的定義域為，即，由此得所以f的作用范圍為，又f對x作用，作用范圍不變，所以即函數(shù)的定義域為例4. 已知，則函數(shù)的定義域為-解析：先求f的作用范圍，由，知解得，f的作用范圍為，又f對x作用，作用范圍不變，所以，即的定義域為（3）、已知的定義域，求的定義域思路：設(shè)的定義域為D，即，由此得，的作用范圍為E，又f對作用，作用范圍不變，所以，解得，F(xiàn)為的定義域。例5. 若函數(shù)的定義

3、域為，則的定義域為_。解析：的定義域為，即，由此得的作用范圍為，又f對作用，所以，解得即的定義域為評注：函數(shù)定義域是自變量x的取值范圍（用集合或區(qū)間表示）f對誰作用，則誰的范圍是f的作用范圍，f的作用對象可以變，但f的作用范圍不會變。利用這種理念求此類定義域問題會有“得來全不費功夫”的感覺，值得大家探討。三、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性問題（1）引理證明已知函數(shù).若在區(qū)間）上是減函數(shù)，其值域為(c，d)，又函數(shù)在區(qū)間(c,d)上是減函數(shù)，那么，原復(fù)合函數(shù)在區(qū)間）上是增函數(shù).證明：在區(qū)間）內(nèi)任取兩個數(shù)，使因為在區(qū)間）上是減函數(shù)，所以,記, 即因為函數(shù)在區(qū)間(c,d)上是減函數(shù)，所以,即，故函數(shù)在區(qū)間）上是增函

4、數(shù).（2）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是由兩個函數(shù)共同決定。為了記憶方便，我們把它們總結(jié)成一個圖表：增 減 增 減 增 減 增 減 減 增 以上規(guī)律還可總結(jié)為：“同向得增，異向得減”或“同增異減”.（3）、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷步驟：   確定函數(shù)的定義域；    將復(fù)合函數(shù)分解成兩個簡單函數(shù)：與。   分別確定分解成的兩個函數(shù)的單調(diào)性；   若兩個函數(shù)在對應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性相同（即都是增函數(shù)，或都是減函數(shù)），則復(fù)合后的函數(shù)為增函數(shù)；  若兩個函數(shù)在對應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性相異（即一個是增函數(shù)，而另一個

5、是減函數(shù)），則復(fù)合后的函數(shù)為減函數(shù)。（4）例題演練例1、 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并用單調(diào)定義給予證明解：定義域 單調(diào)減區(qū)間是 設(shè) 則 => 又底數(shù) 即 在上是減函數(shù)同理可證：在上是增函數(shù)例2、討論函數(shù)的單調(diào)性.解由得函數(shù)的定義域為則當時，若，為增函數(shù)，為增函數(shù).若，為減函數(shù).為減函數(shù)。當時，若，則為減函數(shù)，若，則為增函數(shù).例3、.已知y=(2-)在0，1上是x的減函數(shù)，求a的取值范圍.解：a0且a1當a1時，函數(shù)t=2->0是減函數(shù)由y= (2-)在0，1上x的減函數(shù)，知y=t是增函數(shù)，a1由x0，1時，2-2-a0,得a2,1a2當0<a<1時，函數(shù)t=2->0是增

6、函數(shù)由y= (2-)在0，1上x的減函數(shù)，知y=t是減函數(shù)，0<a<1由x0，1時，2-2-10, 0<a<1綜上述，0<a<1或1a2例4、已知函數(shù)（為負整數(shù)）的圖象經(jīng)過點，設(shè).問是否存在實數(shù)使得在區(qū)間上是減函數(shù)，且在區(qū)間上是減函數(shù)？并證明你的結(jié)論。解析由已知，得，其中即，解得為負整數(shù)，即，假設(shè)存在實數(shù)，使得滿足條件，設(shè)，當時，為減函數(shù)，,當時, 增函數(shù),.由、可知，故存在一指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)同底的指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)；（二）主要方法：1解決與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的問題，要特別重視定義域；2指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性決定于底數(shù)大于1還是小于1，要注意對底數(shù)

7、的討論；3比較幾個數(shù)的大小的常用方法有：以和為橋梁；利用函數(shù)的單調(diào)性；作差（三）例題分析：例1（1）若，則，從小到大依次為；（2）若，且，都是正數(shù)，則，從小到大依次為；（3）設(shè)，且（，），則與的大小關(guān)系是（）（）（）（）（）解：（1）由得，故（2）令，則，；同理可得：，（3）取，知選（）例2已知函數(shù)，求證：（1）函數(shù)在上為增函數(shù)；（2）方程沒有負數(shù)根證明：（1）設(shè)，則，；，且，即，函數(shù)在上為增函數(shù)；（2）假設(shè)是方程的負數(shù)根，且，則， 即， 當時，而由知，式不成立； 當時，而，式不成立綜上所述，方程沒有負數(shù)根例3已知函數(shù)（且）求證：（1）函數(shù)的圖象在軸的一側(cè)；（2）函數(shù)圖象上任意兩點連線的斜率都

8、大于證明：（1）由得：，當時，即函數(shù)的定義域為，此時函數(shù)的圖象在軸的右側(cè)；當時，即函數(shù)的定義域為，此時函數(shù)的圖象在軸的左側(cè)函數(shù)的圖象在軸的一側(cè)；（2）設(shè)、是函數(shù)圖象上任意兩點，且，則直線的斜率，當時，由（1）知，又，；當時，由（1）知，又，函數(shù)圖象上任意兩點連線的斜率都大于同步練習（二）同步練習：1、已知函數(shù)的定義域為，求函數(shù)的定義域。答案：2、已知函數(shù)的定義域為，求的定義域。答案：3、已知函數(shù)的定義域為，求的定義域。答案：4、設(shè)，則的定義域為（ ） A. B.C.D.解：選C.由得，的定義域為。故，解得。故的定義域為5、已知函數(shù)的定義域為，求的定義域。解析由已知，有（1）當時，定義域為；（2

9、）當，即時，有，定義域為；（3）當，即時，有，定義域為.故當時，定義域為；當時，定義域為點評對于含有參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，必須對字母進行討論，要注意思考討論字母的方法。練習二（5）同步練習：1函數(shù)y（x23x2）的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A（，1）B（2，）C（，）D（，）解析：先求函數(shù)定義域為（o，1）（2，），令t（x）x23x2，函數(shù)t（x）在（，1）上單調(diào)遞減，在（2，）上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的原則，函數(shù)y（x23x2）在（2，）上單調(diào)遞減答案：B2找出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（1）；（2）答案：(1)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)。（2）單調(diào)增區(qū)間是，減區(qū)間是。3、討論的單調(diào)性。答案：

10、時為增函數(shù)，時，為增函數(shù)。4求函數(shù)y（x25x4）的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間解：由（x）x25x40，解得x4或x1，所以x（，1）（4，），當x（，1）（4，），x25x4R，所以函數(shù)的值域是R因為函數(shù)y（x25x4）是由y（x）與（x）x25x4復(fù)合而成，函數(shù)y（x）在其定義域上是單調(diào)遞減的，函數(shù)（x）x25x4在（，）上為減函數(shù)，在，上為增函數(shù)考慮到函數(shù)的定義域及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，y（x25x4）的增區(qū)間是定義域內(nèi)使y（x）為減函數(shù)、（x）x25x4也為減函數(shù)的區(qū)間，即（，1）；y（x25x4）的減區(qū)間是定義域內(nèi)使y（x）為減函數(shù)、（x）x25x4為增函數(shù)的區(qū)間，即（4，）變式練習一、選擇題

11、1函數(shù)f（x）的定義域是（）A（1，）B（2，）C（，2）D解析：要保證真數(shù)大于0，還要保證偶次根式下的式子大于等于0，所以解得1x2答案：D2函數(shù)y（x23x2）的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A（，1）B（2，）C（，）D（，）解析：先求函數(shù)定義域為（o，1）（2，），令t（x）x23x2，函數(shù)t（x）在（，1）上單調(diào)遞減，在（2，）上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的原則，函數(shù)y（x23x2）在（2，）上單調(diào)遞減答案：B3若2（x2y）xy，則的值為（）A4B1或C1或4D錯解：由2（x2y）xy，得（x2y）2xy，解得x4y或xy，則有或1答案：選B正解：上述解法忽略了真數(shù)大于0這個條件，即x2y

12、0，所以x2y所以xy舍掉只有x4y答案：D4若定義在區(qū)間（1，0）內(nèi)的函數(shù)f（x）（x1）滿足f（x）0，則a的取值范圍為（）A（0，）B（0，1）C（，）D（0，）解析：因為x（1，0），所以x1（0，1）當f（x）0時，根據(jù)圖象只有02al，解得0a（根據(jù)本節(jié)思維過程中第四條提到的性質(zhì)）答案：A5函數(shù)y（1）的圖象關(guān)于（）Ay軸對稱Bx軸對稱C原點對稱D直線yx對稱解析：y（1），所以為奇函數(shù)形如y或y的函數(shù)都為奇函數(shù)答案：C二、填空題已知y（2ax）在0，1上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是_解析：a0且a1（x）2ax是減函數(shù)，要使y（2ax）是減函數(shù)，則a1，又2ax0a（0x1）a

13、2，所以a（1，2）答案：a（1，2）7函數(shù)f（x）的圖象與g（x）（）x的圖象關(guān)于直線yx對稱，則f（2xx2）的單調(diào)遞減區(qū)間為_解析：因為f（x）與g（x）互為反函數(shù)，所以f（x）x則f（2xx2）（2xx2），令（x）2xx20，解得0x2（x）2xx2在（0，1）上單調(diào)遞增，則f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；（x）2xx2在（1，2）上單調(diào)遞減，則f（x）在1，2）上單調(diào)遞增所以f（2xx2）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）答案：（0，1）8已知定義域為R的偶函數(shù)f（x）在0，上是增函數(shù)，且f（）0，則不等式f（log4x）0的解集是_解析：因為f（x）是偶函數(shù)，所以f（）f（）0又f（x）

14、在0，上是增函數(shù)，所以f（x）在（，0）上是減函數(shù)所以f（log4x）0log4x或log4x解得x2或0x答案：x2或0x三、解答題9求函數(shù)y（x25x4）的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間解：由（x）x25x40，解得x4或x1，所以x（，1）（4，），當x（，1）（4，），x25x4R，所以函數(shù)的值域是R因為函數(shù)y（x25x4）是由y（x）與（x）x25x4復(fù)合而成，函數(shù)y（x）在其定義域上是單調(diào)遞減的，函數(shù)（x）x25x4在（，）上為減函數(shù)，在，上為增函數(shù)考慮到函數(shù)的定義域及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，y（x25x4）的增區(qū)間是定義域內(nèi)使y（x）為減函數(shù)、（x）x25x4也為減函數(shù)的區(qū)間，即（，1）；y（x25x4）的減區(qū)間是定義域內(nèi)使y（x）為減函數(shù)、（x）x25x4為增函數(shù)的區(qū)間，即（4，）10設(shè)函數(shù)f（x），（1）求函數(shù)f（x）的定義域；（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并給出證明；（3）已知函數(shù)f（x）的反函數(shù)f1（x），問函數(shù)yf1（x）的圖象與x軸有交點嗎?若有，求出交點坐標；若無交點，說明理由解：（1）由3x50且0，解得x且x取交集得x（2）令（x），隨著x增大，函數(shù)值減小，所以在定義域內(nèi)是減函數(shù)；1隨著x增