學(xué)習(xí)Euler,是認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的最好途徑高斯

1、 樂(lè)經(jīng)良 學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)Euler, ,是認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的最好途是認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的最好途徑。徑。 高斯高斯 數(shù)學(xué)是理解世界及其發(fā)展的一數(shù)學(xué)是理解世界及其發(fā)展的一把主要鑰匙。把主要鑰匙。 里約熱內(nèi)盧宣言里約熱內(nèi)盧宣言數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)導(dǎo)彈跟蹤問(wèn)題導(dǎo)彈跟蹤問(wèn)題上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 樂(lè)經(jīng)良實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶?shí)驗(yàn)?zāi)康奈⒎址匠虜?shù)學(xué)建模微分方程數(shù)學(xué)建?；仡櫸⒎址匠探馕鼋夥ɑ仡櫸⒎址匠探馕鼋夥ń榻B介紹Euler方法方法介紹改進(jìn)介紹改進(jìn)Euler方法方法介紹仿真方法介紹仿真方法 樂(lè)經(jīng)良實(shí)際問(wèn)題實(shí)際問(wèn)題某軍的一導(dǎo)彈基地發(fā)現(xiàn)正北方向某軍的一導(dǎo)彈基地發(fā)現(xiàn)正北方向120 km處海面上有敵艇一艘以處海面上有敵艇一艘以90

2、 km/h的速度向正東的速度向正東方向行駛方向行駛. .該基地立即發(fā)射導(dǎo)彈跟蹤追擊敵艇該基地立即發(fā)射導(dǎo)彈跟蹤追擊敵艇, , 導(dǎo)彈速度為導(dǎo)彈速度為450 km/h，自動(dòng)導(dǎo)航系統(tǒng)使導(dǎo)彈在，自動(dòng)導(dǎo)航系統(tǒng)使導(dǎo)彈在任一時(shí)刻都能對(duì)準(zhǔn)敵艇任一時(shí)刻都能對(duì)準(zhǔn)敵艇. .試問(wèn)導(dǎo)彈在何時(shí)何處試問(wèn)導(dǎo)彈在何時(shí)何處擊中敵艇？擊中敵艇？（追蹤問(wèn)題） 樂(lè)經(jīng)良120P(x, y)當(dāng)當(dāng)t =0時(shí)時(shí), ,導(dǎo)彈位于原點(diǎn)導(dǎo)彈位于原點(diǎn)O, ,敵艇位于敵艇位于( (0,H) )點(diǎn)點(diǎn), , H = =120 ( (km） 當(dāng)時(shí)刻當(dāng)時(shí)刻t ,導(dǎo)彈位于導(dǎo)彈位于P(x(t),y(t)敵艇位于敵艇位于(90t, H)點(diǎn)點(diǎn)O建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系x 樂(lè)經(jīng)

3、良設(shè)時(shí)刻設(shè)時(shí)刻 t 導(dǎo)彈的位置為導(dǎo)彈的位置為P(x(t),y(t), 其其 222ddddwvtytxVw = 450 (km/h) Ve = 90 (km/h) ddeyHyxv tx)(ddddxtvyHtxtye數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型速度可由水平分速度與垂直分速度合成速度可由水平分速度與垂直分速度合成導(dǎo)彈方向指向敵艇導(dǎo)彈方向指向敵艇, ,故有故有 樂(lè)經(jīng)良導(dǎo)出一階微分方程組導(dǎo)出一階微分方程組2)(1ddxtvyHvtxew2)(1ddyHxtvvtyew0)0(0)0(yx 樂(lè)經(jīng)良解析方法解析方法技巧性較強(qiáng)技巧性較強(qiáng): : 消去消去 t ,化為二階方程化為二階方程222ddd()d()1xyxH

4、yy)(wevv00d0,0dyyxxy連同初始條件連同初始條件設(shè)設(shè)ddxpy降階得到一階可分離變量方程降階得到一階可分離變量方程21ddppyHy 樂(lè)經(jīng)良)()(21HyHyHHp21111)() 1()(21HyHHHyHx導(dǎo)彈擊中艇時(shí)導(dǎo)彈擊中艇時(shí)y=H, 得到此時(shí)其位置和時(shí)刻得到此時(shí)其位置和時(shí)刻2778. 0, )km(2512evLTtHLx進(jìn)而解出進(jìn)而解出 樂(lè)經(jīng)良 Euler 方法十分簡(jiǎn)單方法十分簡(jiǎn)單, , 就是用差商代替微商就是用差商代替微商數(shù)值方法數(shù)值方法 ( (Euler方法方法) )第第k+1步的值之間的關(guān)系式步的值之間的關(guān)系式即采用即采用通常取通常取t為常數(shù)為常數(shù),就得到由

5、第就得到由第 k 步的值到步的值到1111dd,ddkkkkkkkkxxyyxxyytttttttt 樂(lè)經(jīng)良偉大的歐拉偉大的歐拉（Leonhard Euler，17071783 ） 著作輝煌：涉及幾乎每一數(shù)學(xué)領(lǐng)域 數(shù)學(xué)天才：約翰伯努利指引 13歲進(jìn)巴塞爾大學(xué) 毅力驚人：失明17年，完成書(shū)和約400篇論文 非凡記憶和心算力：前100個(gè)素?cái)?shù)的前六次冪 886本書(shū)和論文 ，匯成100巨冊(cè) 風(fēng)格高尚：支持年青的拉格朗日 熱愛(ài)生活 樂(lè)經(jīng)良 瑞士法郎上的歐拉 郵票上的歐拉 樂(lè)經(jīng)良解析法降階后方程的解析法降階后方程的Euler格式格式ddxpykhHphpp,hpxxkkkkkk21110d0,0dyy o

6、y oxxpy和初始條件和初始條件21ddppyHy由方程由方程0000p,x Euler 迭代格式迭代格式 Matlab文件m4_1 此例告訴我們高階方程可化為一階方程組h=H/n為步長(zhǎng) 樂(lè)經(jīng)良 設(shè)設(shè) t = tk+1 時(shí)導(dǎo)彈位置為時(shí)導(dǎo)彈位置為(xk+1 ，yk+1)計(jì)算到計(jì)算到 yk1 H, ykH 停止，取停止，取L xk原模型的原模型的 Euler 迭代格式迭代格式21)(1kkekwkkxtvyHvxx21)(1kkkewkkyHxtvvyy0, 000yx 樂(lè)經(jīng)良利用利用Matlab參見(jiàn)教材中介紹的m文件并運(yùn)行則 Lx6= 29.195 T 0.3244例如 m4_3,當(dāng) = 0.

7、05ktkxkyk10.050.000 0022.500 0020.101.037 3644.976 0730.153.412 0567.350 4140.207.646 1589.448 4350.2514.867 90110.757 9660.3029.194 80128.107 02 樂(lè)經(jīng)良關(guān)于微分方程數(shù)值方法關(guān)于微分方程數(shù)值方法大多數(shù)微分方程即使形式十分簡(jiǎn)單，也可能無(wú)法用解析方法求解，因此數(shù)值方法當(dāng)當(dāng) = 0.001 Lx278=25.049 T 0.27833極其重要 樂(lè)經(jīng)良改進(jìn)改進(jìn)Euler法（預(yù)測(cè)校正法）法（預(yù)測(cè)校正法）一維例子一維例子 方程與初條件方程與初條件00d( , ),

8、dtxf x txxtEuler 格式格式)(),(1kttxfxxkkkkk改進(jìn)改進(jìn)Euler 格式格式),(),(21*11kkkkkktxftxfxx其中其中),(*1kkkktxfxx 樂(lè)經(jīng)良改進(jìn)改進(jìn)Euler法的幾何解釋法的幾何解釋1( ( ), )dkktkktxxf x t ttd( , )dxf x tt若的解為x(t) , 代入方程從tktk+1積分導(dǎo)出Otk ftf =f (x(t),t)tk+1Euler法法xk+1- xk= f (xk ,tk)改進(jìn)Euler法xk+1- xk=f (xk ,tk) +/2),(1*1kktxf 樂(lè)經(jīng)良艦的實(shí)際過(guò)程仿真方法 1 =arc

9、tan(H - vw)/veP0M0模仿真實(shí)事件行為和過(guò)程在這個(gè)問(wèn)題上，就是一步步地模擬導(dǎo)彈追蹤敵在t = 0 時(shí),敵艇在M0(0,H),導(dǎo)彈在原點(diǎn)P0指向M0M1 在t =時(shí),敵艇的位置為M1(ve, H)， 導(dǎo)彈的位置為P1 (x1,y1), 而 x1=0, y1= vw, P11 導(dǎo)彈飛行方向的傾角為 樂(lè)經(jīng)良 x2= x1+ vwcos1 y2= y1+ vwsin1P1P0M0 M12= arctan(H-y2)/(2ve-x2)2在t =2時(shí),敵艇的位置為M2(2ve, H)，位置為P2(x2, y2),由1表達(dá)式可寫(xiě)出cos1和sin1的表達(dá)式.此時(shí)導(dǎo)彈飛行方向的傾角為導(dǎo)彈的M2P

10、21依此類(lèi)推 樂(lè)經(jīng)良仿真迭代格式仿真迭代格式2222)()(sin)()(coskkekkkkekekyHxkvyHyHxkvxkv在t=(k+1)時(shí)，導(dǎo)彈位于Pk+1(xk+1, yk+1) kwkkkwkkvyyvxxsincos11其中 樂(lè)經(jīng)良未用微分方程得到同樣結(jié)果未用微分方程得到同樣結(jié)果! !例如 = 0.05使用使用Matlab的計(jì)算結(jié)果的計(jì)算結(jié)果 （m4_4）ktkxkyk10.050.000 0022.500 0020.101.037 3644.976 0730.153.412 0567.350 4140.207.646 1589.448 4350.2514.867 90110.757 9660.3029.194 80128.107 02 樂(lè)經(jīng)良仍可能不能改善結(jié)果，因此可以采取變步長(zhǎng)法：2.在對(duì)由模型直接得到的微分方程組用Euler法計(jì)算時(shí)，我們計(jì)算到y(tǒng)kH,yk+1H即停止，但這樣的做法可能會(huì)有不小誤差，即使步長(zhǎng)減小而結(jié)果實(shí)驗(yàn)任務(wù)實(shí)驗(yàn)任務(wù)參見(jiàn)教材當(dāng)計(jì)算到y(tǒng)kHyk+1，兩端距離H較遠(yuǎn)時(shí)，以xk , yk為起點(diǎn),縮小步長(zhǎng)繼續(xù)計(jì)算，將改善結(jié)果試用這個(gè)方法改進(jìn)授課中計(jì)算的結(jié)果 樂(lè)經(jīng)良何地?fù)糁袛撑?如果當(dāng)基地發(fā)射導(dǎo)彈的同時(shí),敵艇立即由儀器發(fā)覺(jué). 假定敵艇為一高速快艇，它即刻以135 km/h 的速度與導(dǎo)彈方向垂直的方向逃逸,問(wèn)導(dǎo)彈何時(shí)實(shí)驗(yàn)任務(wù)實(shí)