正弦函數(shù)余弦函數(shù)的圖象

1、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象【自主學(xué)習(xí)】【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、 理解利用單位圓中的三角函數(shù)線作出y=sinx,xR的圖象的方法，明確圖象的形狀;2、理解正弦曲線與余弦曲線之間的關(guān)系，理解用正弦曲線平移為余弦曲線的方法；3、掌握“五點(diǎn)法，會(huì)用“五點(diǎn)法作一個(gè)周期內(nèi)的正弦曲線與余弦曲線；4、理解三角函數(shù)圖象的平移變換、對(duì)稱變換，能利用函數(shù)圖象的平移變換、對(duì)稱變換作出 簡(jiǎn)單三角函數(shù)圖象【教材導(dǎo)析】、情景導(dǎo)入 情景1：回憶數(shù)學(xué)1中函數(shù)概念，以及研究函數(shù)的一般方法般方法是：根據(jù)解析式確定函數(shù)的圖象，再結(jié)合函數(shù)圖象探究其定義域、研究函數(shù)的值域與最值、單調(diào)性、奇偶性、零點(diǎn)等性質(zhì).那么擺中漏下的沙子將在木板上顯示出振情景

2、2:心電圖是檢查心臟情況的一個(gè)重要方法.用心電圖儀可以描出類似以下圖的“心電圖，醫(yī)生過觀察心電圖就可以了解測(cè)試者心跳是否有 節(jié)律的工作過程.采用類似方法研究簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)， 我們也可以設(shè) 法把振子在各個(gè)時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)情況記錄下來， 得到 一張運(yùn)動(dòng)圖：閱讀教材P30，嘗試做一個(gè)盛沙的錐擺，讓其擺動(dòng)，同時(shí)在下邊勻速拉動(dòng)一塊木板，動(dòng)的圖象.這個(gè)圖象與正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的圖象相關(guān)2 u/vm二、教材導(dǎo)讀1. 正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的定義在弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)集合R之間建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，而一個(gè)確定的角對(duì)應(yīng)唯一的一個(gè)正弦或余弦值 .這樣，任給一個(gè)實(shí)數(shù) x，有唯一確定的值sinx 或cosx 與之對(duì)應(yīng).由這個(gè)對(duì)應(yīng)

3、法那么確定的函數(shù)y =si nx或y = cosx叫做正弦函數(shù)或余弦函數(shù)，其定義域?yàn)镽.2. 正弦函數(shù)的圖象閱讀教材P31，理解利用單位圓中的三角函數(shù)線作正弦函數(shù)圖象的方法第一步：在直角坐標(biāo)系的 x軸上任取一點(diǎn) 01 ,以O(shè)i為圓心作單位圓，從這個(gè)圓與x軸的交點(diǎn)A起把圓分成n這里n=12等份.把x軸上從0到2 n這一段分成n這里n=12等份.第二步：在單位圓中畫出對(duì)應(yīng)于角0,6 ,2 n的正弦線正弦線等價(jià)于 列23表.把角x的正弦線向右平行移動(dòng)，使 得正弦線的起點(diǎn)與x軸上相應(yīng)的點(diǎn)x重合， 那么正弦線的終點(diǎn)就是正弦函數(shù)圖象上的點(diǎn)等價(jià)于描點(diǎn).第三步：連線.用光滑曲線把這些正弦線的終點(diǎn)連結(jié)起來，就得

4、到正弦函數(shù) 2 n的圖象.第四步：根據(jù)公式一及正弦函數(shù)的定義知其圖象“周而復(fù)始地重復(fù)，II*. 2 Hly=sinx , x 0,故 y =sin x, x 2 k二,2( k 1)二,k Z,k = 0 的圖象與 y = sin x ,x 0 , 2 n圖象形狀完全一致，于是將 y=sinx , x 0 , 2 n的圖象向左、右平移每次2二個(gè)單位，就得到y(tǒng) =sin x, x R 的圖象.，-Z丿O 12衛(wèi)-223JI2Ay觀察上圖知：y =s inx , xd0,2皿在圖像上起關(guān)鍵作用的點(diǎn)有一下5個(gè)：0, 0,丄,1,22利用“五點(diǎn)法作正弦函數(shù)y二si nx的圖象二,0 , 一，-1 ,

5、2二0，只要這5個(gè)點(diǎn)確定了，函2數(shù)y =sin x在x 0,2二的圖像就根本確定.因此，在 精度要求不太高如作草圖時(shí)，我們可先作出這5 個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，再用光滑曲線將它們連接起來就得到其簡(jiǎn)圖.這種作圖法稱為“五點(diǎn)法，適用于作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像如以下圖仿照平移法，可以畫出y = sinx,xR的圖象.3.余弦函數(shù)的圖象1 我們可以仿照正弦函數(shù)圖象的作法利用單位圓知的三角函數(shù)線作余弦函數(shù)的圖象略.2 利用正弦函數(shù)圖象和平移變換作余弦函數(shù)y=cosx圖像由 y =cosx =sinx x = R 知：1 y =cosx x 三 R 和y =s i w x三R 是同一函數(shù)；2正弦曲線y =sin x

6、x三R 向左平移二個(gè)單位就得到余弦函數(shù)y二COSX的圖像如圖23利用五點(diǎn)法作余弦函數(shù) y =cosx的圖像.觀察上圖知：y =cosx，xW0,2n在圖像上起關(guān)鍵作用的點(diǎn)有一下5個(gè)：0,1，為，23 二，-1，,0，2二，1，只要這5個(gè)點(diǎn)確定了，函數(shù)2y =cosx在x. 0,2二的圖像就根本確定.因此，在精度要求 不太高如作草圖時(shí)，我們可先作出這 5個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，再用 光滑曲線將它們連接起來 就得到其簡(jiǎn)圖.仿照平移法，可以畫出y=cosx, xR的圖象.4.作圖方法比擬正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線1 禾9用單位圓中三角函數(shù)線平移作圖法的優(yōu)點(diǎn)是精度較高，但比擬麻煩，以后幾乎不

7、要 此法作圖.2 五點(diǎn)法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單快捷，缺點(diǎn)是精確度不高.以后我們作圖主要是利用五點(diǎn)法，需多 加練習(xí)，尤其是要熟記正弦函數(shù)圖象與余弦函數(shù)圖象各自對(duì)應(yīng)哪五個(gè)特殊點(diǎn)3利用圖象變換作圖需厘清是平移變換還是對(duì)稱變換等，也是以后作圖、識(shí)圖的根本工 具/、【課堂點(diǎn)金】【重難點(diǎn)突破】1. 三角函數(shù)作圖例1.教材F32例1畫出以下函數(shù)的簡(jiǎn)圖：1 y =1 sin x, x 0,2 二；2 y _ - cosx, x 0,2 二.【解析】1方法一五點(diǎn)法：按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表：x0312313兀22兀y12121描點(diǎn)并將它們用光滑曲線連結(jié)起來，得到其圖象如下:方法二平移法：作出 y =sinx,x 0,2二的圖象，

8、將其向上平移1個(gè)單位就得到函數(shù)y =1 - sin x, x 0,2 二的圖象如圖2方法一五點(diǎn)法：按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表：x0ji23兀22兀y-1010-1方法二對(duì)稱變換：作出函數(shù) y =cosx, 0,2二的圖象，再作出它關(guān)于 x軸對(duì)稱的圖 象，就得到函數(shù) y = -cosx, x 0,2二的圖象.【評(píng)析】1五點(diǎn)法是以后我們作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的根本方法，需熟練掌握；2 第1小題利用平移變換法那么作圖，其一般結(jié)論是：y = f x aa = 0的圖象是 由y = f x的圖象向左a 0或向右a 0平移| a |單位而得；y = f x bb = 0 的圖象是由y二f x的圖象向上b 0或向下

9、b 0 平移| b |單位而得；3 第2小題利用對(duì)稱變換法那么作圖，其一般結(jié)論是：y= f x與y =fx的圖象 關(guān)于x軸對(duì)稱【變式1】作出函數(shù)y = 2 - sin x0 _ x _ 2二的圖象【解析】方法一五點(diǎn)法：按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表：x02竺22兀y21232描點(diǎn)并將它們用光滑曲線連結(jié)起來，得到其圖象如下：方法二(圖象變換法)：作出 y =sinx,0,2二的圖象，作其關(guān)于 x軸對(duì)稱的圖象，得到y(tǒng)二-sin x的圖象，再將其向上平移2個(gè)單位，就得到y(tǒng) = 2 -sin x(0 _ x _ 2 二)的圖象(如圖).2. 認(rèn)識(shí)三角函數(shù)圖象的平移變換與對(duì)稱變換例2.從圖象變換角度說明函數(shù) y =

10、_COS(x )的圖象2與y =sin x的圖象之間的關(guān)系.【解析】先作出函數(shù)y =COSX的圖象，將其向左平移 一個(gè)單位得到y(tǒng)=COS(x一)的圖象,2 2再將其關(guān)于x對(duì)稱，得到函數(shù)y - -cos(x )的圖象，它與y = sinx的圖象重合.= cos(x+J2事實(shí)上，根據(jù)誘導(dǎo)公式知y = -cos(x ) = _(-sin x) =sin x.2【評(píng)析】三角函數(shù)圖象變換非常豐富，理解不同的三角函數(shù)結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的圖象變換，尤其是要 注意函數(shù)結(jié)構(gòu)之間的內(nèi)在關(guān)系3兀y = sin(x )和y二cosx的圖象，并2【變式2】(教材p4?練習(xí)?第2題)想一想函數(shù) 在同一坐標(biāo)系中作出它們的圖象 .【解

11、析】個(gè)單位而得，所得圖象與3兀y =sin(x-)是由y二sinx的圖象向右平移21x x、* 丁-iy =cosx的圖象重合(如圖)事實(shí)上：3兀nny -sin(x) - sin( x)-2 )-sin(x) - cosx .222【教材挖掘】直線y = x與正弦曲線y =sinx有幾個(gè)交點(diǎn)?個(gè)交占I八、直線y = x在正弦曲線【解析】由于當(dāng)0 :：: x【評(píng)析】此題是易錯(cuò)題，由于畫圖的隨意性容易錯(cuò)答為 3個(gè)交點(diǎn).【總結(jié)提升】通過本課學(xué)習(xí)，檢查是否達(dá)成以下學(xué)習(xí)目標(biāo)：1. 掌握并能熟練作出正弦曲線和余弦曲線；2. 掌握五點(diǎn)法；3. 理解函數(shù)圖象變換與三角變換之間的內(nèi)在聯(lián)系【三階評(píng)價(jià)】【根底測(cè)評(píng)

12、】1 要得到函數(shù)y =sinx的圖象，只需將函數(shù)y = cos(x )的圖象()3A .向右平移一個(gè)單位6C.向左平移一個(gè)單位3B .向右平移D .向左平移匸個(gè)單位二個(gè)單位63T【解析】y =si nx=cos( x2z 兀r/ H x JI _)5(-?)5(氣)石，應(yīng)選 A .2. (1)在同一坐標(biāo)系下作出 y =sinx和y二cosx的圖象.(2)根據(jù)正弦曲線和余弦曲線寫出求函數(shù)y二sin x和y二cosx的零點(diǎn)的集合【解析】(1 )如以下圖：(2)如圖知，函數(shù) y二si nx的零點(diǎn)的集合為x|x二k二，Z，函數(shù)y二cosx的零點(diǎn)的集合為x | x 二 k , k Z.23. 用五點(diǎn)法作

13、圖：3 二 1(1) y =sin x , x ,2 22 y =cosx , x 三，-2 2描點(diǎn)并將它們用光滑曲線連結(jié)起來，得到其圖象如下:x20312713兀2y010-102按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表:描點(diǎn)并將它們用光滑曲線連結(jié)起來，得到其圖象如下:【解析】1方法一五點(diǎn)法：按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表:x710JI2713兀2y-1010-1二 sin x，1個(gè)單位，所得y 二 1 -cos2xitsin2(x )即4【能力提升】一、選擇題1. 函數(shù)y=1+sinx， x：=0,2二的圖象與直線y = 1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有A.1B.2C.3D.0【答案】C2. 函數(shù)fx =sinx-cosx，0,2二的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

14、是A.1B.2C.3D.0【解析】函數(shù)fx二si nx-cosx， x 0,2二的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)y0,2二和y =cosx，0,2二的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出圖象知選 B.n3. 2021山東改編將函數(shù)y =sin 2x的圖象向左平移一個(gè)單位，再向上平移4圖象的函數(shù)解析式是.A. y =cos2xB. y =1 cos2x C. y = 1 sin2x D.4n【解析】將函數(shù)y =si n2x的圖象向左平移一個(gè)單位,得到函數(shù)y二4y=Sin(2X 2COS2X的圖象，再向上平移1個(gè)單位，所得圖象的函數(shù)解析式為y =1 cos2x,應(yīng)選 B.【解析】當(dāng)Ox 時(shí)，y = tanxcosx=sinx，排除

15、B、D；當(dāng) x ：二時(shí)2 2y = -tanx cosx 二-sin x，排除 A，應(yīng)選 C.二、填空題5. 用五點(diǎn)法作函數(shù) y=1-cosx(二_ x _ 3二)的圖象時(shí)，應(yīng)取的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是 .宀.3兀5?！敬鸢浮?二，2),(,1),(2 二,0),(,1),(3 二，2).2 26. 函數(shù) y = cosx -1的零點(diǎn)集合是 .【解析】 函數(shù)y =cosx1的零點(diǎn)就是函數(shù) y cosx和y = 1的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，觀察余弦曲線知，所求為x|x=2k;kZ.7. 函數(shù)y = a sin x的圖象向左平移 b (b 0)個(gè)單位后與函數(shù) y =1 cosx的圖象重合，那么實(shí)數(shù)a=； b的一個(gè)可能

16、取值是.【解析】易知a=1，b的可能取值是 ，上等(事實(shí)上，b=2k,kN).2 2 2三、解答題38. 確定函數(shù)f(x)=si nx，x0,2二的圖象與直線g(x)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由2【解析】方法一：用五點(diǎn)法作出f(x)=1 sinx，0,2二的圖象如下，觀察知它們一共有2個(gè)交點(diǎn).3方法二：函數(shù)f (x) =1 si nx，x0,2二的圖象與直線g(x)=21的交點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)F ( x)二f ( x)g( x)= si nx-在區(qū)間211x 0, 2： 的零點(diǎn)個(gè)數(shù).令sin x0二sin x，知其在22x 0,2二上有2個(gè)零點(diǎn)，故它們有2個(gè)交點(diǎn).【評(píng)析】研究函數(shù)，一般都要先研究它的圖象，再從圖象中可以很直觀地觀察出它的性質(zhì)9.觀察正弦曲線和余弦曲線，在空格內(nèi)先作圖，再填表：表一：函數(shù)y =sin x, xw R圖像1rx