三棱錐的一個(gè)體積公式及其兩條推論

1、三棱錐的一個(gè)體積公式及其兩條推論( 李明 中國(guó)醫(yī)科大學(xué)數(shù)學(xué)教研室110001)摘 要 :本文利用空間向量這個(gè)強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具推導(dǎo)出了三棱錐的一個(gè)體積公式V1abc 12coscos coscos2cos2cos2 （其中 a、 b、 c 為三條側(cè)楞的6長(zhǎng)度，、 、為它們的相互夾角，即三個(gè)側(cè)面頂角) ，并由該公式推演出了兩條推論 .關(guān)鍵詞 :三棱錐 體積公式 等夾角三棱錐最大體積0 引言我 們 知 道 , 如 果 O A B的 兩 條 邊 OA a、 OBb , 其 夾 角 A O B( 顯 然( 0 ,), 則OAB 的面積 S1 ab sin( 如圖1). 將此結(jié)論類比到空間( 如圖2),

2、我們2便有如下問(wèn)題: 如果三棱錐 OABC 的三條側(cè)棱 OAa、 OB b、 OC c , 其 夾 角AOB、BOC、 COA( 顯然、 、(0, ),), 則(0,2 )三棱錐 OABC 的體積 V 如何用這些已知的棱長(zhǎng)a、 b、 c 及已知的夾角、來(lái)表示呢 ?即體積 V 的公式是什么呢 ?1 推導(dǎo)體積 V 的公式首先 , 在圖 2 的基礎(chǔ)上 , 以三棱錐 O ABC 的頂點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn) , 以 OA 為 x 軸正向 , 以垂直于 OAB 所在的平面的方向?yàn)?z 軸建立右手空間直角坐標(biāo)系 Oxyz ( 如圖 3).zyCcBbOOAxa圖 3在圖3 中 ,OA(a,0,0), OB(b

3、cos,b sin,0), OC(x, y, z) ( 其中x、 y、 z 為未知數(shù) ),將這些向量帶入如下向量方程組:OCcOB OCOB OC cosOA OCOA OC cos我們便得到如下關(guān)于x、 y、 z 的代數(shù)方程組 :x2y2z2c2x cosy sinccosxc cos由此方程組我們可以求得:c 12coscoscoscos2cos2cos2zsin于是三棱錐的體積為V111ab sinS AOBzz3321abc 12coscoscoscos2cos2cos2(1)62 兩條推論由體積公式 (1), 我們可以推演出如下兩條推論. 其中推論 2的證明略微復(fù)雜 , 下文將詳細(xì)給

4、出證明步驟 , 而推論 1 的證明顯而易見(jiàn), 不予贅述 .推論 1( 等夾角三棱錐體積公式)如圖 4,在三棱錐OABC 中, 如果三條側(cè)棱OA a、 OB b、 OCc ,其夾角 AOBBOCCOA( 顯然(0, 2 ), 則3三棱錐 OABC 的體積為V1 abc(1 cos )12cos(2)6OCabBccbABaOAC圖 5圖 4推論 2(三棱錐最大體積公式)如圖 2,三棱錐OABC的三條側(cè)棱O A 、aO B 、 bOC,其夾角AOB 、BOC、CO(顯然、 、(0, ),),則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí) , 即OA、 OB、OC( 02兩兩垂直時(shí) ( 如圖 5), 其體積最大 , 為Vmax1 a

5、bc(3)6證明 :由公式 (1),再結(jié)合三個(gè)數(shù)的均值不等式, 我們有V1 abc 12coscos coscos2cos2cos261 abc12coscoscos33cos2cos2cos261 abc12t33t 2(其中 t3coscoscos )61 abc(1t )2 (1 2t )61 abc31 abc(1 t)(1t)(12t)636上述放大過(guò)程 , 第一個(gè) “”中的“ =”成立 , 當(dāng)且僅當(dāng) cos2cos2cos2成立 ;第二個(gè)“”中的“ =”成立 , 當(dāng)且僅當(dāng) 1t 12t , 即 coscoscos0 .因此 , 兩個(gè)“”中的“ = ”成立 , 即體積取到最大值Vma

6、x1 abc ,當(dāng)且僅當(dāng)6222與coscoscos0同時(shí)成立,即coscoscoscoscoscos0 亦即成立 , 也就是 OA、 OB、 OC 兩兩垂直 ,2證畢 .出師表兩漢：諸葛亮先帝創(chuàng)業(yè)未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此誠(chéng)危急存亡之秋也。然侍衛(wèi)之臣不懈于內(nèi)，忠志之士忘身于外者，蓋追先帝之殊遇，欲報(bào)之于陛下也。誠(chéng)宜開(kāi)張圣聽(tīng)，以光先帝遺德，恢弘志士之氣，不宜妄自菲薄，引喻失義，以塞忠諫之路也。宮中府中，俱為一體；陟罰臧否，不宜異同。若有作奸犯科及為忠善者，宜付有司論其刑賞，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使內(nèi)外異法也。侍中、侍郎郭攸之、費(fèi)祎、董允等，此皆良實(shí)，志慮忠純，是以先帝簡(jiǎn)拔以

7、遺陛下：愚以為宮中之事，事無(wú)大小，悉以咨之，然后施行，必能裨補(bǔ)闕漏，有所廣益。將軍向?qū)?，性行淑均，曉暢軍事，試用于昔日，先帝稱之曰愚以為營(yíng)中之事，悉以咨之，必能使行陣和睦，優(yōu)劣得所?！澳?”，是以眾議舉寵為督：親賢臣， 遠(yuǎn)小人， 此先漢所以興隆也； 親小人， 遠(yuǎn)賢臣， 此后漢所以傾頹也。 先帝在時(shí)，每與臣論此事， 未嘗不嘆息痛恨于桓、 靈也。 侍中、尚書(shū)、 長(zhǎng)史、 參軍，此悉貞良死節(jié)之臣，愿陛下親之、信之，則漢室之隆，可計(jì)日而待也。臣本布衣，躬耕于南陽(yáng)，茍全性命于亂世，不求聞達(dá)于諸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顧臣于草廬之中，咨臣以當(dāng)世之事，由是感激，遂許先帝以驅(qū)馳。后值傾覆，受任于敗軍之際，奉命于危難之間，爾來(lái)二十有一年矣。先帝知臣謹(jǐn)慎，故臨崩寄臣以大事也。受命以來(lái)，夙夜憂嘆，恐托付不效，以傷先帝之明；故五月渡瀘，深入不毛。今南方已定，兵甲已足，當(dāng)獎(jiǎng)率三軍，北定中原，庶竭駑鈍，攘除奸兇，興復(fù)漢室，還于舊都。此臣所以報(bào)先帝而忠陛下之職分也。至于斟酌損益，