有理系數(shù)多項式

1、§ 9有理系數(shù)多項式作為因式分解定理的一個特殊情形，有每個次數(shù)?1的有理系數(shù)多項式都能分解成不可約的有理系數(shù)多項式的乘積.但是對于任何一個給定的多項式，要具體地作出它的 分解式卻是一個很復(fù)雜的問題，即使要判別一個有理系數(shù)多項式是否可約也不是一個 容易解決的問題，這一點是有理數(shù)域與復(fù)數(shù)域、實數(shù)域不同的.在這一節(jié)主要是指出有理系數(shù)多項式的兩個重要事實：第一，有理系數(shù)多項式的因式分解的問題，可以歸結(jié)為整(數(shù))系數(shù)多項式的因式分解問題，并進而解決求有理系數(shù)多項式的有理根的問題第二，在有理系數(shù)多項式環(huán)中有任意次數(shù)的不可約多項式.一、有理系數(shù)多項式的有理根1.有理系數(shù)多項式與整系數(shù)多項式設(shè)f(x

2、) =anXn - anxna。是一個有理系數(shù)多項式.選取適當(dāng)?shù)恼麛?shù)c乘f(x)，總可以使cf(x)是一個整系數(shù)多項式.如果cf(x)的各項系數(shù)有公因子，就可以提出來，得到cf(X)二 dg(x),也就是df (x) g(x)c其中g(shù)(x)是整系數(shù)多項式，且各項系數(shù)沒有異于土1的公因子2 整系數(shù)多項式如果一個非零的整系數(shù)多項式g(x)二bnxn'bn4xn4-b0的系數(shù)bn,bn亠，b0沒有異于土 1的公因子,也就是說它們是互素的，它就稱為一個本原多項式.上面的分析說明，任何一個非零的有理系數(shù)多項式f(x)都可以表示成一個有理數(shù)r與一個本原多項式g(x)的乘積，即f (x)二 rg(x

3、).可以證明，這種表示法除了差一個正負號是唯一的.亦即，如果f(x) =rg(x) =Agi(x),其中g(shù)(x), gi(x)都是本原多項式，那么必有r = A,g(x)= g'x)因為f (x)與g(x)只差一個常數(shù)倍，所以f (x)的因式分解問題，可以歸結(jié)為本原多項式g(x)的因式分解問題.3.本原多項式g(x)的因式分解問題.下面進一步指出，一個本原多項式能否分解成兩個次數(shù)較低的有理系數(shù)多項式的乘積 與它能否分解成兩個次數(shù)較低的整系數(shù)多項式的乘積的問題是一致的定理10(Gauss引理)兩個本原多項式的乘積還是本原多項式.證明：定理11如果一非零的整系數(shù)多項式能夠分解成兩個次數(shù)較低

4、的有理系數(shù)多項式的乘積， 那么它一定可以分解兩個次數(shù)較低的整系數(shù)多項式的乘積.證明：以上定理把有理系數(shù)多項式在有理數(shù)域上是否可約的問題歸結(jié)到整系數(shù)多項式能否分解 成次數(shù)較低的整系數(shù)多項式的乘積的問題.推論 設(shè)f(x),g(x)是整系數(shù)多項式，且g(x)是本原多項式，如果f (x)二g(x)h(x)，其中h(x)是有理系數(shù)多項式，那么h(x) 一定是整系數(shù)多項式.證明：對于有理系數(shù)多項式h(x)來講,h(x)二rhi(x),其中r是有理數(shù),h1(x)是本原多項式所以g(x)hi(x)也是本原多項式.而f(x)是整系數(shù)多項式,我們推出r整數(shù).從而h(x) 一定是整系數(shù)多項式.4 求整系數(shù)多項式的全

5、部有理根的方法.定理12設(shè)f(X)二a“xn anjXn a。是一個整系數(shù)多項式.而r是它的一個有理根，其中r,s互素,那么s(1) s|an, r|a。；特別如果f(x)的首項系數(shù)an =1，那么f(x)的有理根都是整根, 而且是ao的因子.(2) f (x) = (x 一 L)q (x),s其中q(x)是一個整系數(shù)多項式.給了一個整系數(shù)多項式f(x),設(shè)它的最高次項系數(shù)的因數(shù)是vV2,，Vk,常數(shù)項的 因數(shù)是uU2,，Ui.那么根據(jù)定理12,欲求f (x)的有理根，只需對有限個有理數(shù) 竺V j用綜合除法來進行試驗當(dāng)有理數(shù) 竺 的個數(shù)很多時，對它們逐個進行試驗還是比擬麻煩的.下面的討論能夠v

6、 j簡化計算.首先,1和-1永遠在有理數(shù) H中出現(xiàn),而計算f (1)與f(-1)并不困難.另一方面，v j假設(shè)有理數(shù)a(= -1)是f (x)的根，那么由定理12,f(x) = (x- ： )q(x)而q(x)也是一個整系數(shù)多項式.因此商f(1)1 -a二q(1),f(T)1 a一 q(T)都應(yīng)該是整數(shù).這樣只需對那些使商S 與丄都是整數(shù)的 虹 來進行試驗.(我們可以1a 1 aV：假定f(1)與f(-1)都不等于零.否那么可以用x-1或x 1除f(x)而考慮所得的商.)例1求多項式的有理根.432f (x) =3x 5x x 5x - 2例2證明f (x) = x -5x 1在有理數(shù)域上不可

7、約.證明：如果f(x)可約，那么它至少有一個一次因子，也就是有一個有理根.但是f (x)的有理根只能是 _1.直接驗算可知 _1全不是根,因而f (x)在有理數(shù)域上 不可約.注意：這種證法只限f(x)的次數(shù)乞3.對于?f(x) 3的不行為什么？例如：四次多項式可約，但不一定有一次因式練習(xí)P46: 27例1:問是否存在整系數(shù)多項式，滿足f(17)=10, f(11) = 5二、有理數(shù)域上多項式的可約性定理13 (艾森斯坦(Eisenstein)判別法)設(shè)f(xanxn anJxnJ- a。是一個整系數(shù)多項式假設(shè)有一個素數(shù)p,使得1. p | an；2 P | 3n 4,3n J2 , 3o ；3. P2 | a°.那么多項式f(x)在有理數(shù)域上不可約.由艾森斯坦判斷法得到：有理數(shù)域上存在任意次的不可約多項式例如f (xxn 2 .,其中n是任意正整數(shù).艾森斯坦判別法的條件只是一個充分條件有時對于某一個多項式f(x),艾森斯坦判斷法不能直接應(yīng)用，但把f (x)適當(dāng)變形后,就可以應(yīng)用這個判斷法例3設(shè)p是一個素數(shù)，多項式f (x)二 xpJxp，X 1叫做一個分圓多項式,證明f(x)在QX中不可約證明：令y 1，那么由于(x -1)f (x) =xp