第四章短時(shí)傅立葉分析

1、1第四章 短時(shí)傅立葉分析短時(shí)傅立葉變換的定義短時(shí)傅立葉變換的某些性質(zhì)短時(shí)傅立葉變換的線性濾波實(shí)現(xiàn)短時(shí)傅立葉譜的取樣語(yǔ)音的短時(shí)合成技術(shù)短時(shí)分析合成數(shù)字濾波器組的設(shè)計(jì)用快速傅立葉變換進(jìn)行短時(shí)傅立葉分析24.1 短時(shí)傅立葉變換-概述34.2.1 短時(shí)傅立葉變換-定義o 定義：短時(shí)傅立葉變換也叫短時(shí)譜（加窗的方式）o 短時(shí)譜的特點(diǎn)： 1)時(shí)變性：既是角頻率的函數(shù)又是時(shí)間n的函數(shù)2)周期性：是關(guān)于的周期函數(shù)，周期為2mmjjnemnwmxeX)()()( 短時(shí)傅立葉變換主要用于語(yǔ)音分析合成系統(tǒng)，由其逆變換可以精確地恢復(fù)語(yǔ)音波形；4o 短時(shí)傅里葉變換是窗選語(yǔ)音信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)傅里葉變換。下標(biāo)n區(qū)別于標(biāo)準(zhǔn)的傅里葉

2、變換。w(n-m)是窗口函數(shù)序列。不同的窗口函數(shù)序列，將得到不同的傅里葉變換的結(jié)果。o 短時(shí)傅里葉變換有兩個(gè)自變量：n和，所以它既是關(guān)于時(shí)間n的離散函數(shù)，又是關(guān)于角頻率的連續(xù)函數(shù)。o 與離散傅里葉變換和連續(xù)傅里葉變換的關(guān)系一樣，若令2k/N，則得離散的短時(shí)傅里葉變換,它實(shí)際上是在頻域的取樣。10)()()()(22NkemnwmxkXeXNmkjmnNkjn4.2.1 短時(shí)傅立葉變換-定義5o 這兩個(gè)公式都有兩種解釋：n 當(dāng)n固定不變時(shí)，它們是序列w(n-m)x(m) (-m)的標(biāo)準(zhǔn)傅里葉變換或標(biāo)準(zhǔn)的離散傅里葉變換。此時(shí)與標(biāo)準(zhǔn)傅里葉變換具有相同的性質(zhì)，而Xn(k)與標(biāo)準(zhǔn)的離散傅里葉變換具有相同

3、的特性。n 當(dāng)或k固定時(shí)，和Xn(k)看做是時(shí)間n的函數(shù)。它們是信號(hào)序列和窗口函數(shù)序列的卷積，此時(shí)窗口的作用相當(dāng)于一個(gè)濾波器。4.2.1 短時(shí)傅立葉變換-定義64.2.1 短時(shí)傅立葉變換-定義o 頻率分辨率f、取樣周期T、加窗寬度N三者關(guān)系：o 窗形狀對(duì)短時(shí)傅立葉變換的影響 矩形窗主瓣窄，衰減慢； 漢明窗主瓣寬，衰減快；o 窗寬對(duì)短時(shí)頻譜的影響 窗寬長(zhǎng)頻率分辨率高，能看到頻譜快變化； 窗寬短頻率分辨率低，看不到頻譜的快變化；1fNT 74.2.2 短時(shí)傅立葉變換-標(biāo)準(zhǔn)傅里葉變換的解釋o 短時(shí)傅里葉變換可寫(xiě)為o 當(dāng)n取不同值時(shí)窗w(n-m)沿著x(m)序列滑動(dòng)，所以w(n-m)是一個(gè)“滑動(dòng)的”窗

4、口。o 由于窗口是有限長(zhǎng)度的，滿足絕對(duì)可和條件，所以這個(gè)變換是存在的。與序列的傅里葉變換相同，短時(shí)傅里葉變換隨著作周期變化，周期為2。 mjmjnemnwmxeX)()()(84.2.2 短時(shí)傅立葉變換-標(biāo)準(zhǔn)傅里葉變換的解釋9o 根據(jù)功率譜定義，可以寫(xiě)出短時(shí)功率譜與短時(shí)傅里葉變換之間的關(guān)系o 式中*表示復(fù)共軛運(yùn)算。同時(shí)功率譜是短時(shí)自相關(guān)函數(shù) 的傅里葉變換。o 下面將短時(shí)傅里葉變換寫(xiě)為另一種形式。設(shè)信號(hào)序列和窗口序列的標(biāo)準(zhǔn)傅里葉變換為 均存在。當(dāng)n取固定值時(shí)，w(n-m)的傅里葉變換為 2*| )(|)()()(jnjnjnjneXeXeXeS)()()()()(kmxmknwmxmnwkRmn

5、mjmjemxeX)()(mjmjemweW)()()()(jnjmjmeWeemnw4.2.2 短時(shí)傅立葉變換-標(biāo)準(zhǔn)傅里葉變換的解釋10o 根據(jù)傅里葉變換的頻域卷積定理，有)(*)()(jnjjjneWeeXeX4.2.2 短時(shí)傅立葉變換-標(biāo)準(zhǔn)傅里葉變換的解釋11o 用波形乘以窗函數(shù)，不僅為了在窗口邊緣兩端不引起急劇變化，使波形緩慢降為零，而且還相當(dāng)于對(duì)信號(hào)譜與窗函數(shù)的傅里葉變換進(jìn)行卷積。o 為此窗函數(shù)應(yīng)具有如下特性：窗函數(shù)應(yīng)具有如下特性：n 頻率分辨率高，即主瓣狹窄、尖銳；（矩形窗）（矩形窗）n 通過(guò)卷積，在其他頻率成分產(chǎn)生的頻譜泄漏少，即旁瓣衰減大。（海明窗）（海明窗）n這兩個(gè)要求實(shí)際上

6、相互矛盾，不能同時(shí)滿足。o 窗口寬度N、取樣周期T和頻率分辨率f之間存在下列關(guān)系f1/NT o 可見(jiàn)：n窗口寬度頻率分辨率 時(shí)間分辨率n窗口寬度頻率分辨率 時(shí)間分辨率，因而二者是矛盾的。4.2.2 短時(shí)傅立葉變換-標(biāo)準(zhǔn)傅里葉變換的解釋12o 第一個(gè)零點(diǎn)位置為第一個(gè)零點(diǎn)位置為2/N，顯然它與窗口寬度成反比。，顯然它與窗口寬度成反比。n矩形窗矩形窗，雖然頻率分辨率很高，但由于第一旁瓣的衰減只有13.2dB，所以不適合用于頻譜成分動(dòng)態(tài)范圍很寬的語(yǔ)音分析中。n海明窗海明窗在頻率范圍中的分辨率較高，而且由于旁瓣的衰減大于42dB，具有頻譜泄漏少的優(yōu)點(diǎn)，頻譜中高頻分量弱、波動(dòng)小，因而得到較平滑的譜。n漢寧

7、窗漢寧窗是高次旁瓣低，第一旁瓣衰減只有30dB。o 對(duì)語(yǔ)音波形乘以海明窗，壓縮了接近窗兩端的部分波形，等效于用作分析的區(qū)間縮短40%左右，因此，頻率分辨率下降40%左右。所以，即使在基音周期性明顯的濁音頻譜分析中，乘以合適的窗函數(shù)，也能抑制基音周期與分析區(qū)間的相對(duì)相位關(guān)系的變動(dòng)影響，從而得到穩(wěn)定的頻譜。因?yàn)槌艘源昂瘮?shù)將導(dǎo)致分幀區(qū)間縮短，所以為跟蹤隨時(shí)間變化的頻譜，要求一部分區(qū)間重復(fù)移動(dòng)。4.2.2 短時(shí)傅立葉變換-標(biāo)準(zhǔn)傅里葉變換的解釋134.2.2 短時(shí)傅立葉變換-標(biāo)準(zhǔn)傅里葉變換的解釋14o其中圖(a)是海明窗的窗選信號(hào)，圖(b)是其對(duì)數(shù)功率譜；圖 (c)是矩形窗下的窗選信號(hào)，圖(d)是其對(duì)數(shù)

8、功率譜。o從圖 (a)可以明顯看出時(shí)間波形的周期性，此周期性同樣在圖(b)中表現(xiàn)出來(lái)。圖中基頻及其諧波在頻譜中表現(xiàn)為等頻率間隔的窄峰。圖(b)中的頻譜大約在300400Hz附近有較強(qiáng)的第一共振峰，而約在2000Hz附近有一個(gè)對(duì)應(yīng)于第二、三共振峰的寬峰。此外，還能在3 800Hz附近看到第四個(gè)共振峰。最后，由于聲門脈沖譜的高頻衰減特性，頻譜在高頻部分表現(xiàn)出下降的趨勢(shì)。給出了N500時(shí)(取樣率10 kHz，窗持續(xù)時(shí)間50 ms)時(shí)直角窗及海明窗下濁音語(yǔ)音的頻譜。4.2.2 短時(shí)傅立葉變換-標(biāo)準(zhǔn)傅里葉變換的解釋15o將圖(b)和圖(d)比較可看出它們?cè)诨糁C波、共振峰結(jié)構(gòu)以及頻譜粗略形狀上的相似性，

9、同樣也能看到其頻譜之間的差別。o最明顯的是圖(d)中基音諧波尖銳度增加，這主要是由于矩形窗頻率分辨率較高。o另一差別是矩形窗較高的旁瓣產(chǎn)生了一個(gè)類似于噪聲的頻譜。這是由于相鄰諧波的旁瓣在諧波間隔內(nèi)的相互作用(有時(shí)加強(qiáng)有時(shí)抵消)，因而在諧波間產(chǎn)生了隨機(jī)變化。這種相鄰諧波間不希望有的“泄漏”抵消了其主瓣較窄的優(yōu)點(diǎn)，o因此在語(yǔ)音頻譜分析中極少采用矩形窗。給出了N500時(shí)(取樣率10 kHz，窗持續(xù)時(shí)間50 ms)時(shí)直角窗及海明窗下濁音語(yǔ)音的頻譜。4.2.2 短時(shí)傅立葉變換-標(biāo)準(zhǔn)傅里葉變換的解釋16o圖4-3給出了N50的比較結(jié)果(取樣率與圖4-2中相同，因而窗口持續(xù)時(shí)間為5ms)。o由于窗口很短，因

10、而時(shí)間序列(圖(a)和(c)及信號(hào)頻譜(圖(b)和(d)均不能反映信號(hào)的周期性。o與圖4-2相反，圖4-3只大約在400、1 400及2 200Hz頻率上有少量較寬的峰值。它們與窗內(nèi)語(yǔ)音段的前三個(gè)共振峰相對(duì)應(yīng)。比較圖4-3(b)及(d)的頻譜后，再次表明矩形窗可以得到較高的頻率分辨率。4.2.2 短時(shí)傅立葉變換-標(biāo)準(zhǔn)傅里葉變換的解釋17o 結(jié)論結(jié)論:n 窗口寬度與短時(shí)傅里葉變換特性之間的關(guān)系窗口寬度與短時(shí)傅里葉變換特性之間的關(guān)系o 用窄窗可得到好的時(shí)間分辨率用窄窗可得到好的時(shí)間分辨率o 用寬窗可以得到好的頻率分辨率。用寬窗可以得到好的頻率分辨率。o 但由于采用窗的目的是要限制分析的時(shí)間以但由于

11、采用窗的目的是要限制分析的時(shí)間以使其中波形的特性沒(méi)有顯著變化，因而要折使其中波形的特性沒(méi)有顯著變化，因而要折衷考慮。衷考慮。 4.2.2 短時(shí)傅立葉變換-標(biāo)準(zhǔn)傅里葉變換的解釋18o w(n) -一個(gè)濾波器的單位函數(shù)響應(yīng)o -該濾波器的輸出o x(n)-濾波器的輸入o 過(guò)程:調(diào)制+濾波4.2.3 短時(shí)傅立葉變換-濾波器的解釋一mmjjnmnwemxeX)()()()(jneX圖4-4 短時(shí)傅里葉變換濾波器解釋的第一種形式(a)復(fù)數(shù)運(yùn)算194.2.3 短時(shí)傅立葉變換-濾波器的解釋二)()(| )(|)()(nnjjnjnjbaeeXeXn圖4-4 短時(shí)傅里葉變換濾波器解釋的第一種形式 (b)只有實(shí)

12、數(shù)運(yùn)算20o 令m=n-m 4.2.3 短時(shí)傅立葉變換-濾波器的解釋三)()()()()()(mjmnjmnjmjnemnxmweemnxmweX)()()(:mjmjnemnxmweX令)()(:jnnjjneXeeX所以21o 為窄帶低通濾波器。第一種形式為低通濾波器；o 由于第二種形式中的濾波器單位函數(shù)響應(yīng)為 ，所以它為帶通濾波器。 4.2.3 短時(shí)傅立葉變換-濾波器的解釋)(jeW)(njenw22o 如果將w(n)的濾波運(yùn)算除外，短時(shí)傅里葉變換實(shí)際上是對(duì)信號(hào)的幅度調(diào)制。n第一種形式是在輸入端進(jìn)行調(diào)制，x(n)乘以 相當(dāng)于將x(n)的頻譜從移到零頻處；而w(n)(直角窗或海明窗等)為窄

13、帶低通濾波器。n后一種形式是在輸出端進(jìn)行調(diào)制，此時(shí)先對(duì)信號(hào)進(jìn)行帶通濾波，濾波器的單位函數(shù)響應(yīng)為w(n) ,而調(diào)制后輸出的是中心頻率為的短時(shí)譜。4.2.3 短時(shí)傅立葉變換-濾波器的解釋2/1222/122)()(| )(| )(|)()(| )(|nnjnnjjnnnjnbaeXeeXbaeXnjenje23o 恢復(fù)出x(n)的過(guò)程稱為短時(shí)傅里葉反變換，是由短時(shí)譜合成語(yǔ)音信號(hào)的問(wèn)題o 由于 是n和的二維函數(shù)，因而必須對(duì) 在所涉及的兩個(gè)變量，即時(shí)域及頻域內(nèi)進(jìn)行取樣，取樣率的選取應(yīng)保證 不產(chǎn)生混疊失真，從而能夠恢復(fù)原始語(yǔ)音信號(hào)x(n)。 4.3 短時(shí)傅立葉變換的取樣率)(jneX)(jneX)(jn

14、eX)(jneX24o 當(dāng)當(dāng)為固定值時(shí)為固定值時(shí)， 是一個(gè)單位函數(shù)響應(yīng)為w(n)的低通濾波器的輸出。設(shè)低通濾波器的帶寬為BHz，則 具有與窗相同的帶寬。根據(jù)取樣定理， 的取樣率至少為2B才不致混疊。o 低通濾波器的帶寬由w(n)的傅里葉變換 的第一個(gè)零點(diǎn)位置01決定，因而B(niǎo)值取決于窗的形狀與長(zhǎng)度。 4.3 短時(shí)傅立葉變換的取樣率-時(shí)間取樣率)(jneX)(jneX)(jneX)(jeW25o 正弦序列的表達(dá)式為正弦序列的表達(dá)式為 n 幅值幅值A(chǔ)、初相、初相的含義與模擬正弦信號(hào)相同的含義與模擬正弦信號(hào)相同n 正弦序列的數(shù)字角頻率正弦序列的數(shù)字角頻率0的含義與一般模擬信號(hào)的含義與一般模擬信號(hào)模擬角

15、頻率模擬角頻率0的概念不同。的概念不同。n 離散信號(hào)定義的時(shí)間為離散信號(hào)定義的時(shí)間為kT，顯然有，顯然有0 =0 T，模擬角頻率模擬角頻率0的單位是的單位是rad/s，n 數(shù)字角頻數(shù)字角頻0的單位為的單位為rad/s s = rad。0表示表示相鄰兩個(gè)樣值間弧度的變化量。相鄰兩個(gè)樣值間弧度的變化量。 4.3 短時(shí)傅立葉變換的取樣率-時(shí)間取樣率)sin()(0kAkf26o 以直角窗和海明窗為例，其第一個(gè)零點(diǎn)位置分別為 2N和4No 數(shù)字角頻率與模擬頻率F之間的關(guān)系為2FT2Ffs(其中T是信號(hào)取樣周期，fs是取樣率)，因而用模擬頻率表示的 的帶寬為4.3 短時(shí)傅立葉變換的取樣率-時(shí)間取樣率)(

16、jeW274.3 短時(shí)傅立葉變換的取樣率-頻率取樣率284.3 短時(shí)傅立葉變換的取樣率-總?cè)勇?94.3 短時(shí)傅立葉變換的取樣率-總?cè)勇?04.4 語(yǔ)音信號(hào)的短時(shí)綜合-濾波器組求和法 314.4 語(yǔ)音信號(hào)的短時(shí)綜合-濾波器組求和法 hk(n)是一個(gè)帶通濾波器，其中心頻率為k。yk(n)是第k個(gè)濾波器hk(n)的輸出。324.4 語(yǔ)音信號(hào)的短時(shí)綜合-濾波器組求和法 334.4 語(yǔ)音信號(hào)的短時(shí)綜合-濾波器組求和法 LN時(shí)，y(n)正比于x(n)且與窗口w(n)的形狀無(wú)關(guān) LN時(shí)，通過(guò)合理地選取窗函數(shù)，也可以使y(n)得以精確地恢復(fù)。 344.4 語(yǔ)音信號(hào)的短時(shí)綜合-濾波器組求和法 354.4.

17、2 短時(shí)綜合的濾波器組相加法的MATLAB程序?qū)崿F(xiàn) o 程序filterbank1.m對(duì)應(yīng)于圖4.6中的(b)圖，先調(diào)制后濾波，實(shí)現(xiàn)流程圖見(jiàn)圖4.10。o 圖4.6中的(b)圖36圖圖4.10 filterbank1的流程圖的流程圖YN讀入語(yǔ)音數(shù)據(jù)讀入語(yǔ)音數(shù)據(jù)分幀，不足補(bǔ)零，共分幀，不足補(bǔ)零，共N幀幀 加哈寧窗加哈寧窗 濾波濾波i=165取取k=1幀數(shù)據(jù)幀數(shù)據(jù)用用 調(diào)制調(diào)制 i=165用用 調(diào)制調(diào)制 i=165k=k+1輸出輸出 kN?njienjie)()(2)()(656421nynynyrealnykikikk)(nwi3738o 程序filterbank2.m對(duì)應(yīng)于圖4.6中的(a)圖

18、，先濾波后調(diào)制，實(shí)現(xiàn)流程圖見(jiàn)圖4.12，程序運(yùn)行結(jié)果見(jiàn)圖4.13。o 圖4.6中的(a)圖39)(nhi圖圖4.12 filterbank2的流程圖的流程圖YN讀入語(yǔ)音數(shù)據(jù)讀入語(yǔ)音數(shù)據(jù)分幀，不足補(bǔ)零，共分幀，不足補(bǔ)零，共N幀幀 各通道各通道 濾波濾波i=165取取k=1幀數(shù)據(jù)幀數(shù)據(jù)并分別送入并分別送入165通道的輸入端通道的輸入端 各通道各通道用用 調(diào)制調(diào)制 i=165各通道各通道用用 調(diào)制調(diào)制 i=165k=k+1輸出輸出 kN?njienjie)()(2)()(656421nynynyrealnykikikk)(nhi40414.4.3 語(yǔ)音信號(hào)的短時(shí)綜合-快速傅里葉變換求和法424.4

19、語(yǔ)音信號(hào)的短時(shí)綜合-快速傅里葉變換求和法434.4 語(yǔ)音信號(hào)的短時(shí)綜合-快速傅里葉變換求和法444.4 語(yǔ)音信號(hào)的短時(shí)綜合-快速傅里葉變換求和法454.4 語(yǔ)音信號(hào)的短時(shí)綜合-快速傅里葉變換求和法46o (4.41)o 式中r為一整數(shù)，0iN-1 ，上式的反變換為o (4.42)o 又 (4.43)o 因而 (4.44)jjj(e)(e)|(e)iiirnn rRrRYXX1jj01( )(e)eiiNnrriy nYN( )( ) (), (-)ry kx k w rR kk( )( )( )()rrry ny nx nw rRn假設(shè)在時(shí)域上利用周期為假設(shè)在時(shí)域上利用周期為R的取樣對(duì)的取樣對(duì)

20、 取樣得取樣得)(ijneX4.4.4 短時(shí)綜合的疊接相加法原理及MATLAB程序?qū)崿F(xiàn)47o 將式（4.42）代入式（4.44）中，可得o o (4.45)o 如果R選得足夠小，這時(shí)不論n為何值均可寫(xiě)出：o 因而，式（4.44）寫(xiě)成 o (4.47) o o 上式說(shuō)明，y(n)與x ( n )只差一個(gè)常系數(shù)，因而利用式（4.45）就能準(zhǔn)確恢復(fù)x(n)。 1jj01( )(e)eiiNnrriy nYNj(0)0j0()()e(e )/rRrrw rRnw rRnWR(4.46)j0( )( ) (e )/ y nx nWR48 n = n + L/4 r = r + 1 n=L/4 r=1 形

21、成形成 w(rR-n)x(n) 填充零值得到填充零值得到 N 點(diǎn)序列點(diǎn)序列 N 點(diǎn)點(diǎn) FFT 改變短時(shí)頻譜改變短時(shí)頻譜 y (k) = y (k) +yi (k) k = n-N+1,n-1,n N 點(diǎn)點(diǎn) IFFT 形成窗函數(shù)形成窗函數(shù) w(n) 預(yù)置預(yù)置 y(k) = 0,全部全部 k L 點(diǎn)點(diǎn) 圖圖 4.14 短時(shí)綜合疊接相加法流程短時(shí)綜合疊接相加法流程圖圖 49 圖圖 4.15 利用一個(gè)利用一個(gè) L 點(diǎn)哈明窗時(shí)點(diǎn)哈明窗時(shí) y(n)的計(jì)算過(guò)程的計(jì)算過(guò)程 x(k)-語(yǔ)音語(yǔ)音 第第 1 段段 第第 2 段段 第第 3 段段 第第 4 段段 )4(kLw)43(kLw)2(kLw)(kLw2L4

22、3L4L2L43L4L43L2L4L4L2L43L0 k k k k k 0 50o 圖4.15表示了按照式(4.44)的運(yùn)算過(guò)程。o 當(dāng)0nR-1時(shí)，y(n)可寫(xiě)成oo o 當(dāng)Rn2R-1時(shí),則y(n)可以寫(xiě)成: ( )( ) ()( ) (2) ( ) (3)( ) (4)y nx n w R nx n w R nx n w R nx n w R n( )( ) (2)( ) (3) ( ) (4)( ) (5) y nx n wRnx n w Rnx n w Rnx n w Rn(4.49)(4.50)51o 濾波器組相加法與頻率取樣有關(guān)，它所要求的頻率取樣數(shù)應(yīng)使窗變換滿足下式：o 而重疊相加法要求時(shí)間抽樣率應(yīng)使窗滿足下式：o o 式（4.51）與式（4.52）構(gòu)成對(duì)偶數(shù)關(guān)系。1j()01(e)(0)iNiWwN j0(e )()rWw rRnR(4.51)(4.52)52下面給出短時(shí)綜合的疊接相加法的MATLAB程序?qū)崿F(xiàn)的運(yùn)行結(jié)果53o 語(yǔ)音的時(shí)域分析和頻域分析是語(yǔ)音分析的兩種重要方法。n這兩種方法均有局限性：n時(shí)域分析對(duì)語(yǔ)音信號(hào)的頻率特性沒(méi)有直觀的了解；n頻域特性中又沒(méi)有語(yǔ)音信號(hào)隨時(shí)間的變化關(guān)系。o 時(shí)間依賴于傅里葉分析的顯示圖形稱為語(yǔ)譜圖。n語(yǔ)譜圖中顯示了大量的與語(yǔ)音的語(yǔ)句特性有關(guān)的信息，它綜合了頻譜