181922 222　反證法

1、反證法學習目標：1.了解反證法是間接證明的一種基本方法(重點、易混點)2. 理解反證法的思考過程，會用反證法證明數(shù)學問題(重點、難點)自 主 預 習·探 新 知反證法的定義及證題的關鍵思考1：反證法的實質是什么？提示反證法的實質就是否定結論，推出矛盾，從而證明原結論是正確的思考2：有人說反證法的證明過程既可以是合情推理也可以是一種演繹推理，這種說法對嗎？為什么？提示反證法是間接證明中的一種方法，其證明過程是邏輯非常嚴密的演繹推理基礎自測1思考辨析(1)反證法屬于間接證明問題的方法()(2) 反證法就是通過證明逆否命題來證明原命題()(3)反證法的實質是否定結論導出矛盾()答案(1)(

2、2)×(3)2“a<b”的反面應是() 【導學號：48662082】AabBa>bCab Dab或a>b答案D3用反證法證明“如果ab，那么> ”，假設的內容應是_答案4應用反證法推出矛盾的推導過程中，下列選項中可以作為條件使用的有_(填序號)結論的反設；已知條件；定義、公理、定理等；原結論反證法的“歸謬”是反證法的核心，其含義是：從命題結論的假設(即把“反設”作為一個新的已知條件)及原命題的條件出發(fā)，引用一系列論據(jù)進行正確推理，推出與已知條件、定義、定理、公理等相矛盾的結果合 作 探 究·攻 重 難用反證法證明否定性命題已知三個正數(shù)a，b，c成等比

3、數(shù)列，但不成等差數(shù)列求證：，不成等差數(shù)列. 【導學號：48662083】證明假設，成等差數(shù)列，則2，即ac24b.a，b，c成等比數(shù)列，b2ac，即b，ac24，()20，即.從而abc，與a，b，c不成等差數(shù)列矛盾，故，不成等差數(shù)列規(guī)律方法1用反證法證明否定性命題的適用類型結論中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等詞語的命題稱為否定性命題，此類問題的正面比較模糊，而反面比較具體，適合使用反證法2用反證法證明數(shù)學命題的步驟跟蹤訓練1設SA、SB是圓錐SO的兩條母線，O是底面圓心，C是SB上一點，求證：AC與平面SOB不垂直證明假設AC平面SOB，如圖直線SO在平面SOB內，SOAC.SO底

4、面圓O，SOAB.SO平面SAB.平面SAB底面圓O.這顯然出現(xiàn)矛盾，所以假設不成立，即AC與平面SOB不垂直用反證法證明唯一性命題求證方程2x3有且只有一個根. 【導學號：48662084】證明2x3，xlog23，這說明方程2x3有根下面用反證法證明方程2x3的根是唯一的：假設方程2x3至少有兩個根b1，b2(b1b2)，則2b13,2b23，兩式相除得2b1b21.若b1b2>0，則2b1b2>1，這與2b1b21相矛盾若b1b2<0，則2b1b2<1，這也與2b1b21相矛盾b1b20，則b1b2.假設不成立，從而原命題得證規(guī)律方法巧用反證法證明唯一性命題(1)

5、當證明結論有以“有且只有”“當且僅當”“唯一存在”“只有一個”等形式出現(xiàn)的命題時，由于反設結論易于推出矛盾，故常用反證法證明.(2)用反證法證題時，如果欲證明命題的反面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以；若結論的反面情況有多種，則必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷結論成立.(3)證明“有且只有一個”的問題，需要證明兩個命題，即存在性和唯一性.跟蹤訓練2求證：兩條相交直線有且只有一個交點證明假設結論不成立，則有兩種可能：無交點或不止一個交點若直線a，b無交點，則ab或a，b是異面直線，與已知矛盾若直線a，b不只有一個交點，則至少有兩個交點A和B，這樣同時經過點A，B就有兩條直線，這

6、與“經過兩點有且只有一條直線”相矛盾綜上所述，兩條相交直線有且只有一個交點 用反證法證明“至多”“至少”問題探究問題1你能闡述一下“至少有一個、至多有一個、至少有n個”等量詞的含義嗎？提示：量詞含義至少有一個有n個，其中n1至多有一個有0或1個至少有n個大于等于n個2.在反證法證明中，你能說出 “至少有一個、至多有一個、至少有n個”等量詞的反設詞嗎？提示：量詞反設詞至少有一個一個也沒有至多有一個至少有兩個至少有n個至多有n1個已知a1，求證三個方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一個方程有實數(shù)解證明假設三個方程都沒有實根，則三個方程中：它們的判別式都小于0，

7、即：這與已知a1矛盾，所以假設不成立，故三個方程中至少有一個方程有實數(shù)解母題探究：1.(變條件)將本題改為：已知下列三個方程x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0至少有一個方程有實數(shù)根，如何求實數(shù)a的取值范圍？解若方程沒有一個有實根，則解得故三個方程至少有一個方程有實根，實數(shù)a的取值范圍是2(變條件)將本題條件改為三個方程中至多有2個方程有實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍解假設三個方程都有實數(shù)根，則即解得即a.所以實數(shù)a的取值范圍為實數(shù)R.規(guī)律方法當命題中出現(xiàn)“至少”、“至多”、“不都”、“都不”、“沒有”、“唯一”等指示性詞語時，宜用反證法.提醒：對于此類問題，需仔細體會“至少

8、有一個”、“至多有一個”等字眼的含義，弄清結論的否定是什么，避免出現(xiàn)證明遺漏的錯誤.當 堂 達 標·固 雙 基1用反證法證明“三角形中最多只有一個內角為鈍角”，下列假設中正確的是()A有兩個內角是鈍角B有三個內角是鈍角C至少有兩個內角是鈍角D沒有一個內角是鈍角C“最多只有一個”的否定是“至少有兩個”，故選C.2如果兩個實數(shù)之和為正數(shù)，則這兩個數(shù)() 【導學號：48662085】A一個是正數(shù)，一個是負數(shù)B兩個都是正數(shù)C至少有一個正數(shù)D兩個都是負數(shù)C假設兩個數(shù)分別為x1、x2，且x10，x20，則x1x20，這與兩個數(shù)之和為正數(shù)矛盾，所以兩個實數(shù)至少有一個正數(shù)，故應選C.3已知平面平面直線a，直線b，直線c，baA，ca，求證：b與c是異面直線，若利用反證法證明，則應假設_b與c平行或相交空間中兩直線的位置關系有3種：異面、平行、相交，應假設b與c平行或相交4用反證法證明命題：“一個三角形中不能有兩個直角”的過程歸納為以下三個步驟：ABC90°90°C>180°，這與三角形內角和為180°相矛盾，則AB90°不成立；所以一個三角形中不能有兩個直角；假設A、B、C中有兩個角是直角，不妨設AB90°.正確順序的序號排列為_. 【導學號：48662086】根據(jù)反證法證題的三步驟：否