簡(jiǎn)單幾何體的外接球與內(nèi)切球問(wèn)題

1、專(zhuān)業(yè).專(zhuān)注簡(jiǎn)單幾何體的外接球與內(nèi)切球問(wèn)題定義1:若一個(gè)多面體的各頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，則稱(chēng)這個(gè)多面體是這個(gè)球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的外接球。定義2:若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，則稱(chēng)這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球。1、內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等。2、正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合。3、正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線(xiàn)上，但不重合。4、基本方法：構(gòu)造三角形利用相似比和勾股定理。5、體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法。一、直棱柱的外接球1、 長(zhǎng)方體的外接球：長(zhǎng)方體中從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長(zhǎng)分別為a,

2、b,c,則體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為lJa2b2c2,幾何體的外接球直徑2R為體對(duì)2、 正方體的外接球：正方體的棱長(zhǎng)為a,則正方體的體對(duì)角線(xiàn)為V3a,其外接球的直徑2R為V3a。3、 其它直棱柱的外接球：方法：找出直棱柱的外接圓柱，圓柱的外接球就是所求直棱柱的外接球。,且該六棱柱的例1、一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上體積為9,底面周長(zhǎng)為3,則這個(gè)球的體積為8例2、已知各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上的正四棱柱的高為4,體積為16,則這個(gè)球的表面積是A.16B.20C.24D.32二、棱錐的外接球1、 正棱錐的外接球方法：球心在正棱錐的高線(xiàn)上，根據(jù)球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離是

3、球半徑，列出關(guān)于半徑的方程例3、正四棱錐SABCD的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為V2,點(diǎn)S、AB、C、D都在同一球面上，則此球的體積為.例5、若正四面體的棱長(zhǎng)為4,則正四面體的外接球的表面積為例6、一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是：()(A)萼(B)9(C)與(D)22、 補(bǔ)體方法的應(yīng)用(1)、正四面體(2)、三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐(3)、四個(gè)面均為直角三角形的三棱錐例7、如果三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，它們的面積分別為6cm2、4cm2和3cm2,那么它的外接球的體積例9、在三棱錐ABCD中，AB平面BCD,CDBC,AB3,B

4、C4,CD5則三棱錐ABCD外接球的表面積例10、如圖為一個(gè)幾何體的三視圖D. 16 兀A. 4兀B. 8 兀 C. 12 兀三、圓柱、圓錐的外接球旋轉(zhuǎn)體的外接球，可以通過(guò)研究軸截面求球的半徑。例11、圓柱的底面半徑為4,母線(xiàn)為8,求該圓柱的外接球的半徑例12、圓錐的底面半徑為2,母線(xiàn)長(zhǎng)為4,求該圓錐的外接球的半徑四、正方體的內(nèi)切球設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,求（1）內(nèi)切球半徑；（2）與棱相切的球半徑。（1）截面圖為正方形EFGH的內(nèi)切圓，得R1;（2）與正方體各棱相切的球：球與正方體的各棱相切，切點(diǎn)為各棱的中點(diǎn)，作截面圖，圓。為正方形EFGH的外接圓，易得Rao2圖1圖2學(xué)習(xí)參考五、棱錐的內(nèi)切球（分

5、割法）將內(nèi)切球的球心與棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)連線(xiàn),將棱錐分割成以原棱錐的面為底面，內(nèi)切球的半徑為高的小棱錐，根據(jù)分割前后的體積相等，列出關(guān)于半徑R的方程。若棱錐的體積為V,表面積為S,則內(nèi)切球的半徑為R.S例17、正四棱錐SABCD,底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為3,則內(nèi)切球的半徑是多少？例18、三棱錐PABC中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，PA，底面ABC,且PA2,則此三棱錐內(nèi)切球的半徑為（）六、圓柱（軸截面為正方形）、圓錐的內(nèi)切球（截面法）例19、圓錐的高為4,底面半徑為2,求該圓錐內(nèi)切球與外接球的半徑比例20、圓柱的底面直徑和高都是6,求該圓柱內(nèi)切球的半徑。兩個(gè)底面和三個(gè)側(cè)面都相切）和一個(gè)外接表面

6、積之比為。P ABCDEF ,則此正六棱錐的側(cè)面積是鞏固訓(xùn)練：1、一個(gè)正三棱柱恰好有一個(gè)內(nèi)切球（球與三棱柱的球（球經(jīng)過(guò)三棱柱的6個(gè)頂點(diǎn)）,則此內(nèi)切球與外接球2、如圖，半徑為2的半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐3、棱長(zhǎng)為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過(guò)該球球心的一個(gè)截面如圖，則圖中三角形（正四面體的截面）的面積是.4、已知三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC2；則此棱錐的體積為（）A.YB.yC.彳D哼.若 PA=2 J6，則 4OAB5、已知點(diǎn)PA,B,C,D是球。表面上的點(diǎn)，PAL平面ABCD,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2代正方形的面積為.解得T”設(shè)夕陽(yáng)球半徑為R，如圖(。為外接球球心.帆 A& = J J C= - C(r =牛T正四面體的內(nèi)切球，/聯(lián)球，棱切球的半徑如何計(jì)算,3已知正四面體-38的梗長(zhǎng)為心求它的外接球半徑，內(nèi)切球半役、棱切球半徑.+解：