第1章微分方程和差分方程

1、精品文檔第一章線(xiàn)性微分方程在講這部分之前，我們先來(lái)看一個(gè)非常熟悉的物理問(wèn)題.一個(gè)一維粒子，初始時(shí)刻處于點(diǎn)x=%.初始速度為%,受到阻尼作用，求該粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡。解：用x(t)表示粒子在任意時(shí)刻t的位置，根據(jù)牛頓第二定律F=im,有mx=F對(duì)于阻尼作用F=-反，于是，粒子的運(yùn)動(dòng)方程ink=-kx這是關(guān)于時(shí)間t的常微分方程，非常簡(jiǎn)單。求解得上x(chóng)(t)=q+c2em結(jié)合初始條件x(0)=%,x(0)=v,則哂叫4=，c2=-jkk代入得粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡k)=%+?(1-內(nèi)k這就是這門(mén)課程的第二部分一一數(shù)學(xué)物理方程所要討論的內(nèi)容：將物理問(wèn)題表述成數(shù)學(xué)方程，然后用各種方法來(lái)求解方程。1.1常系數(shù)齊次線(xiàn)性微

2、分方程方程的階：微分方程中未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)。線(xiàn)性方程：微分方程中對(duì)于未知函數(shù)及其所有導(dǎo)數(shù)都是一次的，就稱(chēng)為線(xiàn)性方程，高于一次以上就稱(chēng)為非線(xiàn)性方程。齊次方程：微分方程不含有不包含未知函數(shù)的項(xiàng)。例如11=4%；二階線(xiàn)性，X%=U50t；二階線(xiàn)性，(1。、/=；一階非線(xiàn)性。一、二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程求解二階線(xiàn)性微分方程/+P(x)/+Q(x)y=f(x)若f(x)三0為齊次，f(x)wO為非齊次。方程y+py+q戶(hù)o稱(chēng)為二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程，其中p、q均為常數(shù)。能否適當(dāng)選取r,使戶(hù)產(chǎn)滿(mǎn)足二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程，為此將尸e6代入方程y+py+qy=o得(r2+pr+q)erx-0由

3、此可見(jiàn)，只要r滿(mǎn)足代數(shù)方程J+pr+q=O,函數(shù)卡產(chǎn)就是微分方程的解。特征方程：方程J+pr+q=O叫做微分方程y+py+M)的特征方程。特征方程的兩個(gè)根口、口為-p+i5/p-4q%=2特征方程的根與通解：(1)特征方程的實(shí)根口、h不相等時(shí)，函數(shù)y1=ex、丫2=/少是方程的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解，方程的通解為y=c1erx+c2e1；x.(2)特征方程的實(shí)根門(mén)=門(mén)時(shí)，函數(shù)弘=。、y2=xeR是二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解，方程的通解為y=(cl+c2x)eIx(3)特征方程有一對(duì)共枕復(fù)根門(mén)，尸處3機(jī)函數(shù)戶(hù)e(*如、戶(hù)e(m版是微分方程的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的復(fù)數(shù)形式的解。函數(shù)產(chǎn)產(chǎn)cos冰

4、、產(chǎn)eKsin冰是微分方程的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的實(shí)數(shù)形式的解，方程的通解為y=eax(cicos/?x+c2sinyflx).例1求微分方程y-2y-3y=0的通解。例2求方程y,+2yz+y=0滿(mǎn)足初始條件yUo=4、e-2的特解。例3求微分方程2y+5戶(hù)0的通解。二、線(xiàn)性微分方程的解的疊加y*4-P(x)/+Q(x)y=0(1)定理1如果函數(shù)yi(x)和y?(x)是方程(1)的兩個(gè)解，那么它們的線(xiàn)性疊加y=Ciyi(x)+c2y2(x)也是方程的解，其中5和口是任意常數(shù)。定理2如果函數(shù)yi(x)和y?(x)是方程的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特解，那么它們的線(xiàn)性登加y=c1yi(x)+c2y2(x)是方程的通

5、解。推論如果函數(shù)yi(x),yKx),%(x)是n階線(xiàn)性齊次方程y+pl(x)y(z)+p*x)y=0的n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解，則y=C】(X)+c?%(x)+%兒(x)是方程的通解，其中c1,C2,，。為n個(gè)任意常數(shù)。y*+P(x)/+Q(x)y=f(x)(2)定理3如果y(x)二階非齊次線(xiàn)性方程(2)的一個(gè)特解，y：(x)和y?(x)是對(duì)應(yīng)齊次方程(1)的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特解，那么它們的線(xiàn)性會(huì)加y=Ciyi(x)+c2y2(x)+y(x)精品文檔精品文檔是方程(2)的通解。定理4如果y；(x)和y；(x)分別是二階非齊次線(xiàn)性方程y+P(x)y，+Q(x)y=(x),y*+P(x)y+Q(x)y=；

6、(x)的特解，那么y；(x)+y；(x)是方程/+P(x)/+Q(x)y=f(x)+(x)的特解。1.2 常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程二階非齊次方程/+py+qy=f(x)一、待定系數(shù)法對(duì)于特殊類(lèi)型的x),可寫(xiě)出特解y*(x)的待定表達(dá)式:&X)類(lèi)型特解y*(x)的待定表達(dá)式a*acos+bsin/?xAcos仆+Bsiny3k+a/+ak+i八六+At*(acosc-bsm網(wǎng)e,c(A?os您+Bsin/k)*(即六+.+3kX+aDe，”(Aid+A/】+.+Ax+A+i)如果，士夕1,0,八是特征方程的重根，則在表達(dá)式上再乘以總例1求微分方程2yz-3y=3x+l的一個(gè)特解。y*=-x+；例

7、2求微分方程5y+6戶(hù)xe*的通解。y=Cie2x+C2e3x-(x24-2x)e2x二、常數(shù)變易法一階非齊次線(xiàn)性微分方程y+py=Q(x)相應(yīng)齊次方程的通解是yo(x)=Coe-px設(shè)非齊次方程有一個(gè)特解y(x)=c0(x)(x)由于y(x)=c；(x)%(x)+Co(x)Y(x),代入非齊次方程，可得c；(x)%(x)=Q(x),解得Co(x)=JO(x)epxdx+Co因此，常數(shù)變易法得非齊次方程的通解為精品文檔精品文檔y(x)=6-(1Q(x)epxdx+C0)類(lèi)似的方法考察二階非齊次方程y+py，+qy=f(x)相應(yīng)齊次方程的通解為y(x)=c1(x)+c2y2(x)設(shè)非齊次方程有一

8、個(gè)特解y(x)=Cj(x)y(x)+c2(x)y2(x)由于/(x)=c；(x)y1(x)+c；(x)y2(x)+c1(x)y1，(x)+c?(x)y；(x)卜若附加條件c；(x)yi(x)+C2(x)y(x)=0，則y(X)=C】(x)京X)+C2(x)y；(x)yXx)=c1(x)y；(x)+c2(x)j(x)，=c1(x)y1*(x)+c2(x)y；(x)+c；(x)y；(x)+c；(x)y：(x)代入非齊次方程，可得c；(x)乂(x)+c；(x)弘(x)=f(x)所以，系數(shù)ci(x),cKx)滿(mǎn)足方程組：c；(x)y(x)+4(x)m(x)=Oc；(x)y(x)+c；(x)y；(x)=

9、f(x)例二階線(xiàn)性微分方程T+濟(jì)T=f(t)齊次方程的通解常數(shù)變易法設(shè)特解為其中Q和C?滿(mǎn)足解得則T=Cjcosd+GsinrzXT(t)=Cj(t)cos6ZX+C;(t)siii6XfC/(t)cosot+Co(t)sinfiX=0一撫；(t)sin+疣;(t)cos=f(t)G(t)=一LJ。f(r)sin2xkk-2k-0代入方程，并合并同事項(xiàng)，得Z(k+2)(k+l)a2+62akxk=0k-0等式右邊為零，因此幕級(jí)數(shù)各項(xiàng)系數(shù)為零，即(k+2)(k+l)a匕2+a?=0從而有如卜遞推公式:a-cor(k+2)(k + l)%遞推得-co2 a,= 2-1-ar a4 =4 4-3_(

10、-1)2(蘇)2a,4!a。-Ctf a13-2-ar coa. =a.=5-4 3 5! 1y業(yè)a。(2k)!(2k+ 1)! 1于是，方程的解為y=Ea2kx2k + Ea2ix：k*1k-0k-0=a0 y EQ X- + 與 蟲(chóng)貯 X-1 = a0 cos ox + 5 sin oxh (2k)!i(2k + l)!上述解的收斂區(qū)域?yàn)閨x|vsqi般的收斂區(qū)域判斷補(bǔ)充：精品文檔精品文檔對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，通常用如下兩個(gè)方法比值判別法設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，X，若極限吧點(diǎn)L=/，則當(dāng)01時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。根值判別法設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)/，若極限蚓啊=0,則當(dāng)pvl時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)01時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。應(yīng)用正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂判別法

11、，可得到如卜基級(jí)數(shù)收斂范圍：比值判別法根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的比值判別法，若極限lim圭亞二二二=lim歸曰|恨-、卜?，則ak（x-xo）kTajP/當(dāng)01時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。引入記號(hào)R，若lim咀=R存在，則當(dāng)av=R 根式判別法 若極限!ii,ak（x-飛甘=limJ|x-Xo| + -), = lhn(2k + 2)(2k +1) ,藏)，5二支。(2k)!2匕(2k+l)!對(duì)于%（x）應(yīng)用比值判別法，得收斂區(qū)域?yàn)閨x21=Imi_匚jat-i對(duì)于(x)應(yīng)用比值判別法，得收斂區(qū)域?yàn)閨x?|=limd=lim型辿=lim(2k+3)(2k+2)V8。J8j(2k+1)!j例2在5=0的鄰域上求解y-

12、xy=0答案：y=aoyo（x）+aiyi（x）O收斂無(wú)限大。作業(yè):精品文檔精品文檔1 .求歐拉方程x?y+3xy+y=0的通解。答案：y=4*3”。x2 .用常數(shù)變易法求方程xR-xy+y=21nx的通解。答案：y=(C】+C?lnx)x+4+21nx。3 .用幕級(jí)數(shù)法求方程y+x/+y=O的通解。答案：y=aoe2+aIY/x2k+1占(2k+l)!1.4二階常系數(shù)線(xiàn)性差分方程一、齊次差分方程方程：yx+2+pyx+i+qyx=f(x)(p,q是常數(shù)).若f(x)三0為齊次，f(x)wO為非齊次。對(duì)于齊次方程的通解，與微分方程類(lèi)似地有：定理方程y/2+PYx+1+QYx=0的解為Yx=1，

13、其中r滿(mǎn)足特征方程r2+pr+q=0。(1)特征方程的實(shí)根打、口不相等時(shí)，方程的通解為yx=C1rJ+C2r；(2)特征方程的實(shí)根尸門(mén)時(shí)，方程的通解為yx=(G+C2X)rX(3)特征方程有一對(duì)共胡復(fù)根尸社10札記a士豆=2鏟2,.=揚(yáng)+加,0=arctanS,即方程丫a的解為yx=(/eip)x=二皿，則方程的通解為yx=不仁】cos(x)+C2sin(x)。例i求y肝2+4丫萬(wàn)+1+3yx=0的通解解其特征方程d+41+3=0,存根-1,-3.原方程有通解yx=G(-i)x+c2(-3)x(GC是任意常數(shù))例2求y滸2+4yx=的通解-解其特征方程”+4=0,有根-21,21.4=2,。=

14、3,則原方程布.通解2yx=2X(C1cos()+C2sin(F)，(Ge是任意常數(shù)).例3求差分方程3yz-2yx=0的通解.解其通解為yx=C(2(C為任意常數(shù)).13/二、非齊次差分方程對(duì)于非齊次方程的通解，與微分方程類(lèi)似地，可以用待定系數(shù)法求解。耳X)類(lèi)型特解y*(x)的待定表達(dá)式a/ap?+3+afc+i+Ax+.+AcX+At(a+22d1+ax+h金1)A?/+Ax+Al+i)如果,1是特征方程的r重根，則在表達(dá)式上再乘以必。例4求丫川+4y、=2的通解解前例已知其齊次的通解,故只需求一個(gè)特解一令Yx=b0,代入的b0=：,所以它的通解為yx=2xgcos()+C2sin(e)+

15、2,(G，J是任意常數(shù)).225例5求y+4y、=2/的通解.解令y=b2x,b22+4b2x=2x,所以b=1,所以其通解8/rvrvyx=2x(c1cos()+C2sin(虧)+5)，(G,C?是任意常數(shù)).例6求力.3y的通解.解顯然其齊次方程的通解為L(zhǎng)=C,3(C為任意常數(shù)).設(shè)其特解為丫*=2*,所以有b2i-3b-2x=2x,從而得b=L因此，原方程的通解為yx=C3x-2x.例7求yl-yx=3+2x的通解.解其齊次方程的通解為y,=c(c為任意常數(shù)).設(shè)其特解為y、=x(Ax+B),所以有(x+l)(A(x+l)+B)-x(Ax+B)=3+2x,從而得A=l,B=2因此，原方程

16、的通解為yx=x2+2x+C.三、差分方程的應(yīng)用例8某家庭從現(xiàn)在著手從每月工資中拿出一部分資金存入銀行，用于投資子女的教育。并計(jì)劃20年后開(kāi)始從投資帳戶(hù)中每月支取1000元，直到10年后子女大學(xué)畢業(yè)用完全部資金。要實(shí)現(xiàn)這個(gè)投資目標(biāo)，20年內(nèi)共要籌措多少資金？每月要向銀行存入多少錢(qián)？假設(shè)投資的月利率為0.5%解：設(shè)第n個(gè)月投資帳戶(hù)資金為5元，每月存入資金為a元。于是，20年后關(guān)于Sn的差分方程模型為Sn+1=1.005Sn-l000并且S120=0,So=Xe解得x=90073.45o精品文檔精品文檔從現(xiàn)在到20年內(nèi)，Sn滿(mǎn)足的差分方程為Sn+i=L005Sn+a且So=0,S240=90073

17、.45o解得a=194.95o例9動(dòng)態(tài)供需均衡模型（蛛網(wǎng)定理）設(shè)Dt表示t期的需求最,不表示t期的供給量,Pf表示商品t期價(jià)格，則傳統(tǒng)的動(dòng)態(tài)供需均衡模型為：Dt=a-bPt,（1）、=%+*.（2）Dt=S,，（3）其中a,b.arb1均為已知常數(shù)。式表示t期（現(xiàn)期）需求依賴(lài)于同期價(jià)格：（2）式表示t期（現(xiàn)期）供給依賴(lài)于1）期（前期）價(jià)格；（3）式為供需均衡條件。分一a解：若在供需平衡的條件下，而且價(jià)格保持不變，即日=史_】=匕。靜態(tài)均衡價(jià)格Pe=上9。動(dòng)態(tài)供U+b需均衡模型的等價(jià)差分方程b齊次方程通解R=，非齊次方程特解耳=言=巳方程的通解為史+Pe.若初始價(jià)格P。已知時(shí)，將其代入通解可求得

18、任意常數(shù)A=Po-Pe，則通解為史=（P0_Pe）（_?）+Pe如果初始價(jià)格R=R，那么再三R。這表明沒(méi)有外部干擾發(fā)生，價(jià)格將固定為常數(shù)值P即靜態(tài)均衡。如果初始價(jià)格PwP那么價(jià)格史將隨t的變化而變化。如果&1,則blimR=limKR-PjfT+Pe=Pet-Hb表明動(dòng)態(tài)價(jià)格pt隨著t的無(wú)限增大逐漸地振蕩趨近于靜態(tài)均衡價(jià)格pe。精品文檔精品文檔例10凱恩斯(KeynesJM)乘數(shù)動(dòng)力學(xué)模型設(shè)工表示t期國(guó)民收入，J為t期消費(fèi)，%為t期投資，%為自發(fā)(固定)投資，AI為周期固定投資增量.凱恩斯國(guó)民經(jīng)濟(jì)收支動(dòng)態(tài)均衡模型為：=Ct+It,(1)Ct=a+bX-(2)L=Io+a(3)(1)式為均衡條件，即國(guó)民收入等于同期消費(fèi)與同期投資之和；(2)式為消費(fèi)函數(shù)，即現(xiàn)期消費(fèi)水平依賴(lài)于前期國(guó)民收入(消費(fèi)滯后于收入一個(gè)周期)，a(20)為基本消費(fèi)水平，b為邊際消費(fèi)傾向(OVbVl)；(3)式為投資函數(shù)，這里僅考慮為固定投資。在式中消去q和y得到一階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性差分方程：X-bX_】=a+Io+AI方程的一個(gè)特解*=，則方程的通解為X=Ab=a+Io+AI1-b其中A為任意常數(shù)。稱(chēng)系數(shù)一為凱恩斯乘數(shù)。1b例1