高等數(shù)學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)——微分

1、上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)3.5 微微 分分一、微分的定義一、微分的定義 二、微分的幾何意義二、微分的幾何意義 三、微分法則三、微分法則 四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)一、微分的定義一、微分的定義 設(shè)有一個(gè)邊長(zhǎng)為x的正方形，其面積為S，顯然Sx2。 數(shù)學(xué)意義：數(shù)學(xué)意義：當(dāng)Dx0時(shí)，(Dx)2o(Dx)；2xDx是Dx的線性函數(shù)，當(dāng)Dx很小時(shí)， DS的近似值為2xDx，其誤差為o(Dx)。 2xDx叫作S的微分，記作dS2xDx。DxDx x x yx2如果邊長(zhǎng)改變Dx，則面積的改變量為DS(xDx)2(x)22xDx(Dx)2。2

2、xDx(Dx)2下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)微分的定義：微分的定義： 定義定義3.3 對(duì)于自變量在點(diǎn)x處的改變量Dx，如果函數(shù)yf(x)的相應(yīng)改變量Dy可以表示為 DyADxo(Dx)，其中A與Dx無(wú)關(guān)，則稱函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x處可微。并稱ADx為函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x處的微分，記作 dy或df(x)，即 dydf(x)ADx。說(shuō)明：說(shuō)明： 微分是自變量的改變量Dx的線性函數(shù)，通常稱為函數(shù)改變量Dy的線性主部。DydyDyADxo(Dx)，1)(limlim00DDDDDDxAxoxAdyyxxydyDyADxo(Dx)，1)(limlim00DDDDDDxAxoxAdyyxx。 下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)

3、束返回首頁(yè)函數(shù)可微的條件：函數(shù)可微的條件： 函數(shù)f(x)在點(diǎn)x可微的充分必要條件是函數(shù)f(x)在點(diǎn)x可導(dǎo)，且當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x 可微時(shí)， dyf (x)Dx。 反之，若f(x)在點(diǎn)x可導(dǎo)，則其中a0(當(dāng)Dx0)。若f(x)在點(diǎn)x可微， 這是因?yàn)椋簞t有DyADxo(Dx)， 0limDxxyDDxxoxAxDDDD)(lim00limDx0limDxxyDDxxoxAxDDDD)(lim00limDx0limDxxyDDxxoxAxDDDD)(lim00limDx(AxxoDD )()A。 xxoDD )()A。 0limDxxyDDf (x)，f (x)，xyDDf (x)a ，Dyf (x

4、)DxaDx， f (x)a ，Dyf (x)DxaDx， 若DyADxo(Dx)，則dydf(x)ADx稱為函數(shù)的微分。下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)自變量的微分：自變量的微分： dxdyf (x)。 說(shuō)明：說(shuō)明： 函數(shù)的微分dy與自變量的微分dx之商是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 函數(shù)f(x)可微函數(shù)f(x)可導(dǎo)，且 dyf (x)Dx。 若DyADxo(Dx)，則dydf(x)ADx稱為函數(shù)的微分。因此，導(dǎo)數(shù)也叫做“微商”。 因此函數(shù)yf(x)的微分又可記作 dyf (x)dx。 如果 yx，則 dyxDxDx，也就是dxDx。下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)微分的計(jì)算公式：微分的計(jì)算公式： dyf (x)dx。

5、 例例1求函數(shù)yx 2當(dāng)x由1改變到1.01時(shí)的微分。 解：解：函數(shù)的微分為 例例2求函數(shù)yln x的微分。當(dāng)x1，dx0.01時(shí) dy (x2)dx 2x dx， dy 210.010.02。解：dy(ln x)dxx1dx。 首頁(yè)解：dy(ln x)dx 解：解：上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)二、微分的幾何意義二、微分的幾何意義 當(dāng)|Dx|很小時(shí)，|Dydy|比|Dx|小得多。因此在點(diǎn)M的鄰近，我們可以用切線段來(lái)近似代替曲線段。 當(dāng)Dy是曲線yf(x)上的點(diǎn)M處縱坐標(biāo)的改變量時(shí)，dy就是曲線在M點(diǎn)的切線上點(diǎn)M處縱坐標(biāo)的相應(yīng)改變量。DxDyMNx0 x0 +DxTaxyOyf(x)dyDy首頁(yè)dy上

6、頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)三、微分法則三、微分法則 d(log ax)d(ln x) d(arcsin x)基本初等函數(shù)的微分公式：基本初等函數(shù)的微分公式：d(xm) m x m1dx，d(sin x) cos xdx，d(tg x)sec2xdx，d(ctg x)csc2xdx，d(sec x) sec x tg xdx，d(cos x)sin xdx，d(csc x) csc x ctg xdx，d(a x) a xln adx，d(e x) exdx，(log ax)axln1dx， (ln x)x1dx， d(arcsin x)211xdx， d(arctg x) d(arcctg x) d

7、(arccos x) (arccos x) 211xdx， (arctg x) 211xdx， (arcctg x) 211xdx。 下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)函數(shù)的和差積商的微分法則函數(shù)的和差積商的微分法則： 這是因?yàn)椋合马?yè) d(uv)dudv， d(uv)vduudv，所以 d(uv)vduudv。又 udxdu，vdxdv， d(uv)(uvuv)dxuvdxuvdx，上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)復(fù)合函數(shù)的微分法則：復(fù)合函數(shù)的微分法則： 設(shè)yf(u)及uj(x)都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)yfj(x)的微分為 dyf (u)du或dyyudu。 這是因?yàn)?dyyxdxf (u)j(x)dx。又j(x)d

8、xdu，所以， dyf (u)du或dyyudu。下頁(yè)函數(shù)的和差積商的微分法則函數(shù)的和差積商的微分法則： d(uv)dudv， d(uv)vduudv，d(Cu)Cdu， 2)(vudvvduvud(v 0)。 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)微分形式的不變性：微分形式的不變性： 由復(fù)合函數(shù)的微分法則可見(jiàn)，無(wú)論u是自變量還是另一個(gè)變量的可微函數(shù)，微分形式dy f (u)du保持不變。這一性質(zhì)稱為微分形式不變性。下頁(yè)復(fù)合函數(shù)的微分法則：復(fù)合函數(shù)的微分法則： 設(shè)yf(u)及uj(x)都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)yfj(x)的微分為 dyf (u)du或dyyudu。函數(shù)的和差積商的微分法則函數(shù)的和差積商的微分法則：

9、d(uv)dudv， d(uv)vduudv，d(Cu)Cdu， 2)(vudvvduvud(v 0)。 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 解法一：解法一：利用dyydx得 dxedybxax)(2 dxbxaxebxax)(22 解法二：解法二：解把 axbx2 看成中間變量u，由微分形式的不變性得 duededyuu )(22bxaxdebxax dxebxabxax2)2(。 dxebxabxax2)2(。 )2(2bxdxadxebxax 復(fù)合函數(shù)的微分法則：復(fù)合函數(shù)的微分法則：dyf (u)du或dyyudu。下頁(yè) 例 1 設(shè)2bxaxey，求 dy。 例例3上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 例例4ys

10、in(2x1)，求dy。 解：解：設(shè)u2x1，則 211xe2xed(x 2) 2212xxexedx。 dyd(sin u)cos(2x1)d(2x1)2cos(2x1)dx。 cos (2x1)2dx復(fù)合函數(shù)的微分法則：復(fù)合函數(shù)的微分法則：dyf (u)du或dyyudu。2xe) 211xed(12xe) d(x 2) 221xxee2xdx cos udu首頁(yè)例 3 yln(12xe)，求 dy。 例例5解 dydln(12xe) 解解:上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 如果函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x處可微，則 Dy dyf (x)Dx，或 f(xD

11、x)f(x)也就是 f(xDx)因此，當(dāng)|Dx|很小且f (x)0時(shí)， DyADxo(Dx)dyo(Dx)f (x)Dxo(Dx)。f (x)Dx， f(x)f (x)Dx。下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)近似公式：近似公式： Dyf(xDx)f(x)dyf (x)Dx， f(xDx)f(x)f (x)Dx。 解：解：半徑為r的球體體積為 球殼體積為DV，用dV作為其近似值 所求球殼體積為|DV|的近似值|dV|為19.63立方厘米。 Vf(r)3 34r。 下頁(yè)例 1 一個(gè)外徑為 10 厘米的球，球殼厚度為161厘米。 試求球殼體積的近似值。 例例6 dV f (r)drdV f (r)dr)161(54 422drr)161(54 422drr)161(54 422drr 19.63。 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) f(xDx) f(x)f (x)Dx 令x1，Dx0.02，便有近似公式：近似公式： Dyf(xDx)f(x)dyf (x)Dx