高等數(shù)學(xué)8-3全微分

1、一、全微分的定義二*、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用8.3 全微分及其應(yīng)用一、全微分的定義函數(shù)f(x, y)對(duì)x的偏微分函數(shù)f(x, y)對(duì)y的偏增量函數(shù)f(x, y)對(duì)y的偏微分v全增量 zf(xx, yy)f(x, y). v偏增量與偏微分 f(xx, y)f(x, y)fx(x, y)x, f(x, yy)f(x, y)fy(x, y)y, 函數(shù)f(x, y)對(duì)x的偏增量 根據(jù)一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系, 有 f(xx, y)f(x, y) f(x, yy)f(x, y) fx(x, y)x fy(x, y)yv全微分的定義其中A、B不依賴于x、y而僅與x、y有關(guān), 則稱函數(shù)zf(x,

2、y)在點(diǎn)(x, y)可微分, 而AxBy稱為函數(shù)zf(x, y)在點(diǎn)(x, y)的全微分, 記作dz, 即 dzAxBy. 如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)各點(diǎn)處都可微分, 那么稱這函數(shù)在D內(nèi)可微分. 如果函數(shù)zf(x, y)在點(diǎn)(x, y)的全增量 zf(xx, yy)f(x, y) 可表示為) )()( )(22yxoyBxAz, v可微分與連續(xù) 偏導(dǎo)數(shù)存在不一定連續(xù), 但可微分必連續(xù). 這是因?yàn)? 如果zf(x, y)在點(diǎn)(x, y)可微, 則 zf(xx, yy)f(x, y) AxByo(),因此函數(shù)zf(x, y)在點(diǎn)(x, y)處連續(xù). 0lim0z, 于是),(),(lim),(lim0)0

3、 , 0(),(yxfzyxfyyxxfyx從而),(),(lim),(lim0)0 , 0(),(yxfzyxfyyxxfyx),(),(lim),(lim0)0 , 0(),(yxfzyxfyyxxfyx. v可微分的必要條件v應(yīng)注意的問題v可微分與連續(xù) 偏導(dǎo)數(shù)存在不一定連續(xù), 但可微分必連續(xù). 如果函數(shù)zf(x, y)在點(diǎn)(x, y)可微分, 則函數(shù)在該點(diǎn)的偏導(dǎo) 數(shù)xz、yz必定存在, 且函數(shù) zf(x, y)在點(diǎn)(x, y)的全微分為 yyzxxzdz. 偏導(dǎo)數(shù)存在是可微分的必要條件, 但不是充分條件. v可微分的充分條件則函數(shù)在該點(diǎn)可微分. 如果函數(shù) zf(x, y)的偏導(dǎo)數(shù)xz、y

4、z在點(diǎn)(x, y)連續(xù), v疊加原理 按著習(xí)慣, x、y分別記作dx、dy, 并分別稱為自變量的微分, 這樣函數(shù)zf(x, y)的全微分可寫作 二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理. 疊加原理也適用于二元以上的函數(shù), 例如uf(x, y, z)的全微分為dyyzdxxzdz. dzzudyyudxxudu. 例1 計(jì)算函數(shù)zx2yy2的全微分. 解 所以 例2 計(jì)算函數(shù)zexy在點(diǎn)(2, 1)處的全微分. 解 所以 dz2xydx(x22y)dy. dze2dx2e2dy. 設(shè) zf(x, y), 則dyyzdxxzdz. xyxz2, , yxyz22,

5、 因?yàn)?因?yàn)?xyyexz, xyxeyz, 212exzyx, 212exzyx 2122eyzyx, 解 設(shè) uf (x, y, z), 則dzzudyyudxxudu. 例3 例 3 計(jì)算函數(shù)yzeyxu2sin的全微分. 1xu, 因?yàn)?1xu, yzzeyyu2cos21, , yzyezu, dzyedyzeydxduyzyz)2cos21(. 所以22ln(1)1,2zxyxy練練習(xí)習(xí)：求求函函數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)的的全全微微分分. .多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)二*、全微分在近似計(jì)算中的

6、應(yīng)用 當(dāng)函數(shù)zf(x, y)在點(diǎn)(x, y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)fx(x, y), fy(x, y)連續(xù), 并且|x|, |y|都較小時(shí), 有近似等式zdzfx(x, y)xfy(x, y)y , 即 f(xx, yy)f(x, y)fx(x, y)xfy(x, y)y . 我們可以利用上述近似等式對(duì)二元函數(shù)作近似計(jì)算. 例4 有一圓柱體, 受壓后發(fā)生形變, 它的半徑由20cm增大到20. 05cm, 高度由100cu減少到99cm. 求此圓柱體體積變化的近似值. 解 設(shè)圓柱體的半徑、高和體積依次為r、h和V, 則有 V r2h. 即此圓柱體在受壓后體積約減少了200 cm3. 2201000.052

7、02(1) VdV 2rhrr2h 200 (cm3), VrrVhh f(xx, yy)f(x, y)fx(x, y)xfy(x, y)y. zdzfx(x, y)xfy(x, y)y, 已知r20, h100, r0. 05, h1, 根據(jù)近似公式, 有 例5 計(jì)算(1.04)2.02的近似值. (1.04)2.02 所以 x yyx y1xx yln x y, f(xx, yy) f(x, y)fx(x, y)xfy(x, y)y1.08. 1221210.0412ln10.02 解 設(shè)函數(shù) f(x, y)x y. 顯然, 要計(jì)算的值就是函數(shù)在 x1.04, y2.02時(shí)的函數(shù)值f(1.

8、04, 2.02). f(xx, yy)f(x, y)fx(x, y)xfy(x, y)y. zdzfx(x, y)xfy(x, y)y, 因?yàn)?取x1, y2, x0.04, y0.02. .多元函數(shù)全微分的概念；多元函數(shù)全微分的概念；.多元函數(shù)全微分的求法；多元函數(shù)全微分的求法；.多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系（注意：與一元函數(shù)有很大區(qū)別）（注意：與一元函數(shù)有很大區(qū)別）三、小結(jié) 函數(shù)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處可微的充分條件是處可微的充分條件是:（1）),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處連續(xù)；處連續(xù)；（2）),(yxfx 、),(yxfy 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx的的 某鄰域存在；某鄰域存在；（3