高等數(shù)學(xué)2-5函數(shù)的微分

1、復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)1. 隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo)直接對方程兩邊求導(dǎo)2. 對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法:適用于冪指函數(shù)及某些用連乘適用于冪指函數(shù)及某些用連乘,連除表示的函數(shù)連除表示的函數(shù)3. 參數(shù)方程求導(dǎo)法參數(shù)方程求導(dǎo)法極坐標方程求導(dǎo)極坐標方程求導(dǎo)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化成立的條件？成立的條件？d( )d( )ttyytxtx ( )( )xtyt 4. 相關(guān)變化率問題相關(guān)變化率問題列出依賴于列出依賴于 t 的相關(guān)變量關(guān)系式的相關(guān)變量關(guān)系式對對 t 求導(dǎo)求導(dǎo)相關(guān)變化率之間的關(guān)系式相關(guān)變化率之間的關(guān)系式求高階導(dǎo)數(shù)時求高階導(dǎo)數(shù)時, ,從低到高每次都用參數(shù)方程求導(dǎo)公式從低到高每次都用參數(shù)方程求導(dǎo)公式22d( )d

2、( )ddddtttyxxt 第五節(jié)第五節(jié)函數(shù)的微分函數(shù)的微分二、微分運算法則二、微分運算法則三、微分在近似計算中的應(yīng)用三、微分在近似計算中的應(yīng)用一、微分的定義一、微分的定義 一、微分的定義一、微分的定義引例引例: :正方形金屬薄片受熱后面積的增量正方形金屬薄片受熱后面積的增量. .20 xA 0 x0 x(2)(1)x x 2)( x xx 0 xx 0邊長由邊長由 變到變到 時，時， 0 x0 xx 面積的改變量為面積的改變量為202() .xxx (2): 的線性函數(shù)，為的線性函數(shù)，為 的主要部分的主要部分A x (1): 當當 時時, ,為為 的高階無窮小的高階無窮小, ,可忽略可忽略

3、; ;|0 xx 2200()Axxx 再例如再例如, , 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點在點 處的增量為處的增量為 求求 (2)(1)3yx 0 x, x . y 3300()yxxx 2230033()() .xxxxx 既容易計算又是較好的近似值既容易計算又是較好的近似值(2): 的線性函數(shù)，為的線性函數(shù)，為 的主要部分的主要部分y x (1): 當當 時時, ,為為 的高階無窮小的高階無窮小, ,可忽略可忽略; ;|0 xx 20 3.yxx 微分的實質(zhì)：函數(shù)增量的線性主部微分的實質(zhì)：函數(shù)增量的線性主部定義：定義：設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在某區(qū)間內(nèi)有定義，在某區(qū)間內(nèi)有定義， 及及( )yf x 0 x0 x

4、x 在該區(qū)間內(nèi)，在該區(qū)間內(nèi)，00()()yf xxf x 可表示為可表示為 ()yAxox 其中其中 是與是與 無關(guān)的常數(shù)無關(guān)的常數(shù)x A如果函數(shù)的增量如果函數(shù)的增量則則稱函數(shù)稱函數(shù) 在點在點 處可微，處可微，( )yf x 0 x稱稱 為為 在點在點 相應(yīng)于自變量增量相應(yīng)于自變量增量Ax的微分，的微分，x ( )yf x 0 x記作記作d , yd.yAx即：即：問題問題:函數(shù)滿足什么條件才可微函數(shù)滿足什么條件才可微? 如何求微分如何求微分?證證 (1) 必要性必要性0( ) ,f xx在在可可微微定理：定理：在點在點 可微的可微的充要條件充要條件是是 在點在點 處可導(dǎo)處可導(dǎo), 且且即即(

5、)yf x 0 x( )f x0 x0() ,Afx 0d().yfxx (),yAxox 00() limlimxxyoxAxx .A 0().fxA 即：即：(2) 充分性充分性 在在 可導(dǎo)，可導(dǎo)，( )f x0 x00lim().xyfxx 0(),yfxx 即即 0(0),x 其其中中0()()yfxxx 于于是是: : 0()(),fxxox 00 ( ) , d().f xxyfxx 在在可可微微且且由定義知：由定義知：綜上綜上: :(1) dy 是自變量增量是自變量增量 的線性函數(shù)；的線性函數(shù)； x (2) 是比是比 高階的無窮??；高階的無窮??； d()yyox x (3) 當當

6、 時，時， 0()0fx d (0);yyx 00()()()dyyfxxoxfxx 1(0).x 0()()1oxxxf (4) 當當 時，時， d ,yy |1x即：可以用微分近似增量即：可以用微分近似增量.xyoMNf (x)dyx)(0 xf )(dxoyy xyx0lim tan 很很小小時時當當 x )()(xxfxf xxf )(00 xxx 0)(0 xf)( xo 微分近似增量是函數(shù)的局部線性化微分近似增量是函數(shù)的局部線性化.用切線增量近似曲線增量用切線增量近似曲線增量dydy =在圖上是哪條線段？在圖上是哪條線段？=tan x微分微分的幾何意義的幾何意義 y即：即：yxxf

7、xf )()(切線縱坐標的增量切線縱坐標的增量.,1MNMx段段切切線線段段可可近近似似代代替替曲曲線線的的附附近近在在點點時時當當 xyodyx)(dxoyy 很很小小時時當當 x 0 xxx 0)(0 xf)( xo 用切線增量近似曲線增量用切線增量近似曲線增量dy y y微分的幾何意義dy y哪條線段是哪條線段是dy ？.問題：何時問題：何時dy y ?二、基本初等函數(shù)的微分和微分運算法則求法求法: 計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 乘以自變量的微分乘以自變量的微分.1. 基本初等函數(shù)的微分公式基本初等函數(shù)的微分公式122d()0 d()dd(sin )cos d d(cos )sin d

8、d(tan )secd d(cot )cscdd(sec )sectan dd(csc )csccot dCxxxxx xxx xxx xxx xxxx xxxx x d( )dyfxx 2222d()ln dd()d11d(log)dd(ln )dln11d(arcsin )dd(arccos )d1111d(arctan )dd(arccot )d11xxxxaaaa xeexxxxxxaxxxxxxxxxxxxx 2222d(sh )ch d d(ch )sh d11d(th )d d(arsh )dch111d(arch )d d(arth )d11xx xxx xxxxxxxxxxx

9、xx 4. d()(0)uvv 二、二、 微分運算法則微分運算法則設(shè)設(shè) u(x) , v(x) 均可微均可微 , 則則(C 為常數(shù)為常數(shù))1. d()uv dduv2. d()CudC u 3. d()uvddv uu v2ddv uu vv 分別可微分別可微 ,5. 復(fù)合函數(shù)的微分復(fù)合函數(shù)的微分, 設(shè)設(shè)( ),( )yf uux 的微分為的微分為則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù) ( )yfx ddxyyx ( )( )dfuxx 微分形式的不變性：微分形式的不變性：函數(shù)的微分形式總是函數(shù)的微分形式總是d( )dyfxx ( )dfuu 無論無論 x 是自變量還是中間變量是自變量還是中間變量, 解解.),

10、1(arctan)2(),()1(2dyxfyxxy求求設(shè)設(shè) )()()1(22xxdxxdy dxxxxxxddxxx )(2()()()(222 )1(arctan)1(arctan)2(xdxfdy )1(111)1(arctan2xdxxf dxxxfdxxxxxf22221)1(arctan11)1(arctan 基于一階微分形式不變性，求微分時無須指明對哪一變量進行基于一階微分形式不變性，求微分時無須指明對哪一變量進行,Esp 對復(fù)合函數(shù)只需一次一次地求，直至不能求對復(fù)合函數(shù)只需一次一次地求，直至不能求(自變量自變量)為止為止.導(dǎo)數(shù)不具有此性質(zhì)，求導(dǎo)時總要指明對哪一變量進行的！導(dǎo)數(shù)

11、不具有此性質(zhì)，求導(dǎo)時總要指明對哪一變量進行的！.),(, 2)1(, 1)1()3(123 xdFxffFff求求且且若若1222212)()()(3 xxdxxxfxffxffdFdxdxfffdxfffff242)1()1()1(32)1()1()1(322 例例1.求求 解解:2ln(1e) ,xy d . y21d1exy 2d(1e)x 211ex 2ex2d()x221e2 d1exxx x 222 ed1exxxx 例例2解法解法21 3cos ,d .xyexy 求求 1 31 31 3 cos3cossinxxxexexex 1 3 d(3cossin )d .xyexxx

12、1 31 3dcosd()d(cos )xxyxeex1 31 3cos( 3)d( sin )dxxxexexx 1 3(3cossin )d .xexxx 解法解法1解解dcosd()sind()axaxyebxbxbx eaxcosdsin()daxaxebx b xbx eax ( cossin)d .axebbxabxx 例例3解解dcos dyu u cos(21)d(21)xx cos(21) 2dxx 2cos(21)d .xx sin(21),d .yxy求求設(shè)設(shè)sin ,21.yu ux例例4sin,d .axyebxy 求求設(shè)設(shè)1 1 d(sin)cosd .tt t 例

13、例5解解在下列等式左端的括號中填入適當?shù)暮瘮?shù)在下列等式左端的括號中填入適當?shù)暮瘮?shù),使使2(1) d()cosd ;(2) d(sin)()d().t txx 22d(sin)2 cosd(2)1d()d2xxxxxxx ,cos42xxx 22d(sin)(4cos)d().xxxxxC 等式成立等式成立.(1) (sin)cos,tt sin() 2()4 sin()4 22() 注注:數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性 , 例如例如 說明說明: 微分的反問題是不定積分要研究的內(nèi)容微分的反問題是不定積分要研究的內(nèi)容.42 2242 k 22三、微分在近似計算中的應(yīng)用三、

14、微分在近似計算中的應(yīng)用1. 計算函數(shù)增量的近似值計算函數(shù)增量的近似值例例6 半徑半徑 10厘米的金屬圓片加熱后，半徑伸長了厘米的金屬圓片加熱后，半徑伸長了0.05厘米，厘米， 問面積增大了多少？問面積增大了多少？解解2,Ar 當當 且且 時，時， 0()0fx 1x00dx xx xyy0().fxx 10,0.05.rr 厘厘米米厘厘米米d2AArr 2100.05 2(). 厘厘米米2. 計算函數(shù)的近似值計算函數(shù)的近似值使用原則使用原則:1. 計算函數(shù)計算函數(shù) 在點在點 附近的近似值附近的近似值( )f x0 xx 00()()yf xxf x 0().fxx 000()()().f xx

15、f xfxx (1)x001)(),();f xfx 好好算算02).xx與與靠靠近近( )(0)(0).f xffx 特別地，特別地， 當當 很小時，很小時，00 ,|xx 例例7 計算計算解解( )cos ,f xx 設(shè)設(shè)( )sin ,fxx 則則 ( x 為弧度為弧度)0,3360 xx 13(),().3232ff cos60 30cos()3360o cossin33 3601322360 0.4924. cos60 30.o 的的近近似似值值常用近似公式常用近似公式:很小很小)(|x證明證明:(1) (1)x 1x 令令( )(1)f xx 得得(0)1,f (0)f 當當 很小

16、時，很小時，|x(1)1xx (2) sin x x(3) ex 1x (4) tan x x(5) ln(1)x x例例8 計算下列各數(shù)的近似值計算下列各數(shù)的近似值解解0.033(1)998.5;(2).e 33(1)998.510001.531.51000(1)1000310 10.0015110(10.0015)39.995. 0.03(2)10.03e 0.97. 為了提高球面的光為了提高球面的光每只球需用銅多少克每只球需用銅多少克. 估計一下估計一下, 潔度潔度,要鍍上一層銅要鍍上一層銅,厚度定為厚度定為0.01cm, 38.9g cm( 銅的密度銅的密度 : )例例9. 有一批半徑

17、為有一批半徑為1cm 的球的球, 解解: 已知球體體積為已知球體體積為343VR 鍍銅體積為鍍銅體積為V 在在時體積的增量時體積的增量1,0.01RR,V dVV10.01RR 24RR10.01RR 30.13(cm ) 因此每只球需用銅約為因此每只球需用銅約為( g )8.90.131.16由于測量儀器的精度、測量的條件和測量的方法由于測量儀器的精度、測量的條件和測量的方法等各種因素的影響，測得的數(shù)據(jù)往往帶有誤差，等各種因素的影響，測得的數(shù)據(jù)往往帶有誤差，而根據(jù)帶有誤差的數(shù)據(jù)計算所得的結(jié)果也會有誤而根據(jù)帶有誤差的數(shù)據(jù)計算所得的結(jié)果也會有誤差，我們把它叫做差，我們把它叫做間接測量誤差間接測量

18、誤差.3、誤差估計、誤差估計若某量的精確值為若某量的精確值為 A ,其近似值為其近似值為 a ,稱為稱為a 的絕對誤差的絕對誤差A(yù)a 稱為稱為a 的相對誤差的相對誤差|Aaa AAa 則則稱為測量稱為測量 A 的的絕對誤差限絕對誤差限A 稱為測量稱為測量 A 的的相對誤差限相對誤差限|Aa 問題問題:在實際工作中在實際工作中,絕對誤差與相對誤差無法求得絕對誤差與相對誤差無法求得?辦法辦法: 將誤差確定在某一個范圍內(nèi)將誤差確定在某一個范圍內(nèi).若某個量的精確值為若某個量的精確值為 A， 測得它的近似值為測得它的近似值為 a, 又又知道它的誤差不超過知道它的誤差不超過,A 即即誤差傳遞公式誤差傳遞公

19、式 :若直接測量某量得若直接測量某量得 x , 已知測量誤差限為已知測量誤差限為,x 按公式按公式計算計算 y 值時的誤差值時的誤差( )yf x y dy ( )fxx ( )xfx 故故 y 的絕對誤差限約為的絕對誤差限約為相對誤差限約為相對誤差限約為( )yxfx ( )( )yxfxyf x 解解:計算計算 A 的的絕對誤差限約為絕對誤差限約為 A 的的相對誤差限約為相對誤差限約為(mm2)測量測量D 的的 絕對誤差限絕對誤差限欲利用公式欲利用公式圓鋼截面積圓鋼截面積 ,試估計面積的誤差試估計面積的誤差 . 計算計算60.03 mm,D 0.05 mm,D 24AD 例例10. 設(shè)測得

20、圓鋼截面的直徑設(shè)測得圓鋼截面的直徑 ADA 2DD 60.00.0524.715 224DADAD 2DD 0.05260.00.17 % 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 微分定義微分定義 微分的定義及幾何意義微分的定義及幾何意義 可微可微可導(dǎo)可導(dǎo)2. 微分運算法則微分運算法則微分形式不變性微分形式不變性 :( u 是自變量或中間變量是自變量或中間變量 )3. 微分的應(yīng)用微分的應(yīng)用近似計算近似計算估計誤差估計誤差d ( )( )df ufuu 微分學(xué)所要解決的兩類問題微分學(xué)所要解決的兩類問題:函數(shù)的變化率問題函數(shù)的變化率問題函數(shù)的增量問題函數(shù)的增量問題微分的概念微分的概念導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念求導(dǎo)數(shù)與微分的方法求導(dǎo)數(shù)與微分的方法, 稱為稱為 微分