常用地因式分解公式

1、實用文檔常用的因式分解公式:（x+s）a+s）=/+（。+3）彳+而（a ±4）2 =dta± 2ab+b2（。±妁空/±3日+ 3就，±獷aa - A2 = （ai）（a+i）/ -3瞑（口-b）（產i + /%+廣雷+陰+產】）例為正整數(shù)）a1 -A1 =（0+3）（僅1 一廣"+/"”卜曲，“ -/1）（冏為偶數(shù)）1+力=9+蟻產 rf+/一一曲z +尸）（并為奇數(shù)）（。+3+。）？ = J + / + J + 2獨+2岳+ 2儂a3+i3 +c3-3abc - （a +fi +c）（aa +63 +cJ -ab-bc

2、-ca）待定系數(shù)法（因式分解）待定系數(shù)法是數(shù)學中的一種重要的解題方法，應用很廣泛，這里介紹它在 因式分解中的應用.在因式分解時，一些 多項式經過分析、可以斷定它能分解成某幾個因式， 但這幾個因式中的某些系數(shù)尚未確定，這時可以用一些字母來表示待定的系 數(shù).由于該多項式等于這幾個因式的乘積， 根據(jù)多項式恒等的性質，兩邊對應項 系數(shù)應該相等，或取多項式中原有字母的幾個特殊值， 列出關于待定系數(shù)的方程 （或方程組），解出待定字母系數(shù)的值，這種因式分解的方法叫作待定系數(shù)法.例 1 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3.分析由于(x 2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y),若原式可以分解因

3、式，那么它的兩個一次項一定是x+2y+m和x+y+n的形式, 應用待定系數(shù)法即可求出m和n,使問題得到解決.解設x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn比較兩邊對應項的系數(shù)，則有解之得m=3 n=1,所以原式=(x+2y+3)(x+y+1).說明 本題也可用雙十字相乘法，請同學們自己解一下.例 2 分解因式：x4-2x 3-27x2-44x+7 .分析本題所給的是一元整系數(shù)多項式，根據(jù)前面講過的求根法,若原式有 有理根，則只可能是土 1, ±7(7的約數(shù))，經檢驗，它們都不是原式的根，所以, 在有理

4、數(shù)集內.原式沒有一次因式.如果原式能分解，只能分解為(x 2+ax+b)(x 2+cx+d)的形式.解設原式=(x2+ax+b)(x 2+cx+d)=x4+(a+c)x 3+(b+d+ac)x 2+(ad+bc)x+bd ,所以有由bd=7,先考慮b=1, d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x 2+5x+7).說明 由于因式分解的唯一性，所以對b=-1, d=-7等可以不加以考慮.本題 如果b=1, d=7代入方程組后，無法確定a, c的值，就必須將bd=7的其他解代 入方程組,直到求出待定系數(shù)為止.本題沒有一次因式，因而無法運用求根法分解因式.但利用待定系數(shù)法，使 我們找到了二次因式.由

5、此可見，待定系數(shù)法在因式分解中也有用武之地.求根法(因式分解)我們把形如anxn+an-1xn- 1+- +a1x+a0(n為非負整數(shù))的代數(shù)式稱為關于x 的一元多項式，并用f(x) , g(x),等記號表示，如f(x)=x2-3x+2 ,g(x)=x5+x2+6 ,， 當x=a時，多項式f(x)的信用f(a)表示.如對上面的 多項式 f(x)f(1)=12- 3X我們把形如anxn+an-i xn-1 + - +aix+a0(n為非負整數(shù))的代數(shù)式稱為關于x的一元 多項式，并用f(x) , g(x),等記號表示，如f(x)=x 2-3x+2 , g(x)=x 5+x2+6,，當x=a時，多項

6、式f(x)的值用f(a)表示.如對上面的多項式f(x)f(1)=1 2-3X 1+2=0;f(-2)=(-2)2-3 X (-2)+2=12 .若f(a)=0 ,則稱a為多項式f(x)的一個根.定理1(因式定理)若a是一元多項式f(x)的根，即f(a)=0成立，則多項式 f(x)有一個因式x-a .根據(jù)因式定理，找出一元多項式f(x)的一次因式的關鍵是求多項式f(x)的 根.對于任意多項式f(x)，要求出它的根是沒有一般方法的，然而當多項式f(x) 的系數(shù)都是整數(shù)時.即整系數(shù)多項式時，經常用下面的定理來判定它是否有有理定理2的根，則必有p是a。的約數(shù),q是an的約數(shù).特別地，當a0=1時，整系

7、數(shù) 多項式f(x)的整數(shù)根均為an的約數(shù).我們根據(jù)上述定理，用求多項式的根來確定多項式的一次因式，從而對多項 式進行因式分解.例2分解因式：x3-4x2+6x-4 .分析 這是一個整系數(shù)一元多項式，原式若有整數(shù)根，必是 -4的約數(shù)，逐個 檢驗-4的約數(shù)：±1, ±2, ±4,只有42)=2 3-4X22+6X2-4=0,即x=2是原式的一個根，所以根據(jù)定理1,原式必有因式x-2 .解法1用分組分解法，使每組都有因式(x-2).原式=(x3-2x2)-(2x 2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x 2-2x+2).解法

8、2用多項式除法，將原式除以(x-2),所以原式=(x-2)(x 2-2x+2).說明在上述解法中，特別要注意的是多項式的有理根一定是 -4的約數(shù)，反 之不成立，即-4的約數(shù)不一定是多項式的根.因此，必須對 -4的約數(shù)逐個代入 多項式進行驗證.例 3 分解因式：9x4-3x 3+7x2-3x-2 .分析 因為9的約數(shù)有土 1, ±3, ±9; -2的約數(shù)有土 1,為：所以，原式有因式9x2-3x-2 .解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x 3-3x-2)+9x 2-3x-2=(9x2-3x-2)(x 2+1)=(3x+1)

9、(3x-2)(x 2+1)說明 若整系數(shù)多項式有 分數(shù)根,可將所得出的含有分數(shù)的因式化為整系數(shù) 因式，如上題中的因式可以化為9x2-3x-2 ,這樣可以簡化分解過程.總之，對一元高次多項式f(x),如果能找到一個一次因式(x-a),那么f(x) 就可以分解為(x-a)g(x),而g(x)是比f(x)低一次的一元多項式，這樣，我們就 可以繼續(xù)對g(x)進行分解了.雙十字相乘法(因式分解)分解二次三項式時，我們常用十字相乘法.對于某些二元二次六項式 (ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我們也可以用十字相乘法分解因式.例如，分解因式 2x2-7xy-22y2-5x+35y-3 .我們將上式按

10、x降幕排列，并把y當作常數(shù)，于是上 式可變形為 2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3), 可分解二次三項式時，我們常用十字相乘法.對于某些二元二次六項式 (ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我們也可以用十字相乘法分解因式.例如，分解因式2x2-7xy-22y 2-5x+35y-3 .我們將上式按x降幕排列，并把y 當作常數(shù)、于是上式可變形為2x2-(5+7y)x-(22y 2-35y+3),可以看作是關于x的二次三項式.對于常數(shù)項而言，它是關于y的二次三項式，也可以用十字相乘法，分解為即-22y 2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)再利用十字相乘法對關于x的二次三項式

11、分解所以原式=x+(2y-3) 2x+(-11y+1)標準文案實用文檔=(x+2y-3)(2x-11y+1)上述因式分解的過程，實施了兩次十字相乘法如果把這兩個步驟中的十字相乘圖合并在一起，可得到下圖：它表示的是下面三個關系式：(x+2y)(2x-11y)=2x 2-7xy-22y 2；(x-3)(2x+1)=2x 2-5x-3 ；(2y-3)(-11y+1)=-22y 2+35y-3 這就是所謂的雙十字相乘法用雙十字相乘法對多項式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f 進行因式分解的步驟是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2,得到一個十字相乘圖(有兩列)；(2) 把常數(shù)項f 分解成

12、兩個因式填在第三列上，要求第二、第三列構成的十字交叉之積的和等于原式中的ey,第一、第三列構成的十字交叉之積的和等于 原式中的dx例 1 分解因式：(1)x 2-3xy-10y 2+x+9y-2 ；(2)x 2-y 2+5x+3y+4；(3)xy+y 2+x-y-2 ；(4)6x 2- 7xy-3y 2-xz+7yz-2z 2解 (1)原式 =(x-5y+2)(x+2y-1) (2)原式=(x+y+1)(x-y+4) (3)原式中缺x2項，可把這一項的系數(shù)看成0來分解.原式=(y+1)(x+y-2) (4)原式 =(2x-3y+z)(3x+y-2z) 說明 (4) 中有三個字母，解法仍與前面的

13、類似筆算開平方對于一個數(shù)的開方，可以不用計算機，也不用查表，直接筆算出來，下面通 過一個例子來說明如何筆算開平方，對于其它數(shù)只需模仿即可例 求 316.4841 的平方根.第一步 , 先將被開方的數(shù)，從小數(shù)點位置向左右每隔兩位用逗號，分段，如把數(shù)316.4841 分段成 3,16.48,41.第二步，找出第一段數(shù)字的初商，使初商的平方不超過第一段數(shù)字，而初商加1的平方則大于第一段數(shù)字，本例中第一段數(shù)字為3，初商為1，因為12=1<3，而(1+1)2=4>3.第三步，用第一段數(shù)字減去初商的平方，并移下第二段數(shù)字，組成第一余數(shù)，在本例中第一余數(shù)為216.第四步，找出試商，使(20 X初

14、商+試商)X試商不超過第一余數(shù)，而【20X初商 +(試商+1)】X(試商+1)則大于第一余數(shù).第五步，把第一余數(shù)減去(20X初商+試商)X試商，并移下第三段數(shù)字，組成第二余數(shù)，本例中試商為7，第二余數(shù)為2748. 依此法繼續(xù)做下去，直到移完所有的段數(shù)，若最后余數(shù)為零，則開方運算告結束. 若余數(shù)永遠不為零，則只能取某一精度的近似值.第六步，定小數(shù)點位置，平方根小數(shù)點位置應與被開方數(shù)的小數(shù)點位置對齊. 本例的算式如下：標準文案實用文檔17.793,16 .48,41220 X 1 =20 2 16 第一余數(shù)十727 1 89 27X720X17 = 340 2748第二余數(shù)+ 7347 2429&

15、amp;7X720X177 = 3540 31941簞三余數(shù)+93549 319413549X9根式的概念【方根與根式】 數(shù)a的n次方根是指求一個 數(shù)，它的n次方恰好等于a.a的n 次方根記為 訴（n為大于1的自然數(shù)）.作為代數(shù)式.您稱為根式.n稱為根指數(shù)、 a稱為根底數(shù).在實數(shù)范圍內、負數(shù)不能開偶次方，一個正數(shù)開偶次方有兩個方 根，其絕對值相同、符號相反.【算術根】正數(shù)的正方根稱為算術根.零的算術根規(guī)定為塞.【基本性質】由方根的定義，有商根式運算【乘積的方根】 乘積的方根等于各因子同次方根的乘積；反過來，同次方根的 乘積等于乘積的同次方根，即蘇=強亞心0,20）【分式的方根】 分式的方根等于

16、分子、分母同次方根相除，即a b>0,b>0)【根式的乘方】 函丁 =行3 >0)【根式化簡】=® g>o) a a/c + yfd G 而 + "四)+ A石+ 巧)1/ Jb- r岳_gg>°由 >°*R 匕*)0,d)o)!c + -/d _ G自 + /火苗冊)_ (& +- -Jb)+ct bg 二。也> o,口 k”匚 >o,d >o)【同類根式及其加減運算】根指數(shù)和根底數(shù)都相同的根式稱為同類根式，只有同類根式才可用加減運算加以合并.囹進位制的基與數(shù)字任一正數(shù)可表為通常意義下的有限

17、小數(shù)或無限小數(shù)， 各數(shù)字的值與數(shù)字所在的位 置有關，任何位置的數(shù)字當小數(shù)點向右移一位時其值擴大 10倍，當小數(shù)點向左 移一位時其值縮小io倍.例如173.246 = lxlOa+7xlO+3+2xlO-1+4xlO-a+6xl04一般地，任一正數(shù)a可表為1 "=與 乂10* +%. 乂10'" + +"1)<10 +即+ X10 l+RqX10 ' +這就是10進數(shù)，記作a(10),數(shù)10稱為進位制的基，式中ai在0,1,2,L,9中 取值，稱為10進數(shù)的數(shù)字，顯然沒有理由說進位制的基不可以取其他的數(shù).現(xiàn)在 取q為任意大于1的正整數(shù)當作進位制

18、的基,于是就得到 q進數(shù)表示%)= %, %幻/ =+ 曾”+*十% + %產+(1)式中數(shù)字ai在0,1,2，,q-1中取值，anan-1a1a°稱為q進數(shù)a(q)的整數(shù)部分，記作a(q)；a-1a-2 .稱為a(q)的分數(shù)部分，記作a(q).常用進位制，除10進制外，還 有2進制、8進制、16進制等，其數(shù)字如下2進制0, 18 進制 0, 1,2, 3,4, 5, 6, 716 進制 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9各種進位制的相互轉換1 q- 10轉換 適用通常的10講數(shù)四則運算規(guī)則、根據(jù)公式(1),可以把q進 數(shù)a(q)轉換為10進數(shù)表示.例如743陰=

19、7 *"+4父8 + 3= 448+32 +3 = 483 的1011 101=1x2* +0x2* +1x2 + 1 + 1x27 +0x2二 +1*2+二11 625岫2 10一q轉換 轉換時必須分為整數(shù)部分和分數(shù)部分講行.對于整數(shù)部分其步驟是： 用q去除a(10)，得至I面和余數(shù).(2)記下余數(shù)作為q進數(shù)的最后一個數(shù)字.(3)用商替換a(10)的位置重復(1)和(2)兩步，直到商等于零為止.對于分數(shù)部分其步驟是：用 q 去|a(10).(2)記下乘積的整數(shù)部分作為q進數(shù)的分數(shù)部分第一個數(shù)字.(3)用乘積的分數(shù)部分替換a(10)的位置，重復(1)和(2)兩步，直到乘積變?yōu)檎?數(shù)為

20、止，或直到所需要的位數(shù)為止.例如：103.118(10)=147.074324(8)整數(shù)部分的草式分數(shù)部分的草式J 18 89447,5524.4163.3282 .24 4 .5923 pq轉換 通常情況下其步驟是：a(p) 一a(10) 一a(q).如果p,q是同一數(shù)s 的不同次其步驟是：a(p) 一a(s) 一a(q).例如，8進數(shù)127.653(8)轉換為16 進數(shù)時，由于8=23, 16=24,所以s=2,其步驟是：首先把8進數(shù)的每個數(shù)字根 據(jù)8-2轉換表轉換為2進數(shù)(三位一組)127.653(8)=001 010 111.110 101 011(2)然后把2進數(shù)的所有數(shù)字從小數(shù)點起

21、(左和右)每四位一組分組，從16-2轉換表 中逐個記下對應的16進數(shù)的數(shù)字，即127653=0101 0111 1101 0101 lOOOp)= 57,358(lo)正多邊形各量換算公式n為邊數(shù) R為外接圓半徑a為邊長燎為內切圓半徑為圓心角 S為多邊形面 積重心G與外接圓心。重合正多邊形各量換算公式表各量 正三角形n為邊數(shù) R為外接圓半徑a為邊長燎為內切圓半徑（ 值 值為圓心角I /）S為多邊形面積重心G與外接圓心。重合正多邊形各量換算公式表所謂初等幾何作圖問題，是指使用無刻度的直尺和圓規(guī)來作圖.若使用尺規(guī) 有限次能作出幾何圖形，則稱為作圖可能，或者說歐幾里得作圖法是可能的，否 則稱為作圖不

22、可能.很多平面圖形可以用直尺和圓規(guī)作出，例如上面列舉的正五邊形、正六邊 形、正八邊形、正十邊形等.而另一些就不能作出，例如正七邊形、正九邊形、 正十一邊形等，這些多邊形只能用近似作圖法.如何判斷哪些作圖可能，哪些作 圖不可能呢？直到百余年前，用代數(shù)的方法徹底地解決了這個問題， 即給出一個 關于尺規(guī)作圖可能性的準則：作圖可能的充分必要條件是，這個作圖問題中必需 求出的未知量能夠由若干已知量經過有限次有理運算及開平方運算而算出.幾千年來許多數(shù)學家耗費了不少的精力，企圖解決所謂“幾何三大問題”：10 立方倍積問題，即作一個立方體，使它的體積二倍于一已知立方體的體積2口 三等分角問題，即三等分一已知角

23、.3口 化圓為方問題，即作一正方形，使它的面積等于一已知圓的面積.后來已嚴格證明了這三個問題不能用尺規(guī)作圖標準文案代數(shù)式的求值代數(shù)式的求值與代數(shù)式的恒等變形關系十分密切.許多代數(shù)式是先化簡再求值，特別是有附加條件的代數(shù)式求值問題， 往往需要利用乘法公式、絕對值與算術根 的性質、分式的基本性質、通分、求值中的方法技巧主要是 代數(shù)式恒等變形的技能、技巧和方法.下面結合例 題逐一介紹.1 .利用因式分解方法求值因式分解是重要的一種代數(shù)包等變形，在代數(shù)式化簡求值中，經常被采用.分析x的值是通過一個一元二次方程給出的，若解出 x后，再求值，將會 很麻煩.我們可以先將所求的代數(shù)式變形，看一看能否利用已知條

24、件.解已知條件可變形為3x2+3x-1=0,所以6x4+15x3+10x2=(6x4+6x3-2x2)+(9x 3+9x2-3x)+(3x 2+3x-1)+1=(3x2+3x-1)(2z 2+3x+1)+1=0+1=1.說明 在求代數(shù)式的值時，若已知的是一個或幾個代數(shù)式的值，這時要盡可 能避免解方程(或方程組)，而要將所要求值的代數(shù)式適當變形，再將已知的代數(shù) 式的值整體代入，會使問題得到簡捷的解答.例2已知a, b, c為實數(shù)，且滿足下式：a2+b2+c2=1,求a+b+c的值.解將式因式分解變形如下所以a+b+c=0 或 bc+ac+ab=0.若 bc+ac+ab=0,(a+b+c) 2=a

25、2+b2+c2+2(bc+ac+ab)=a2+b2+c2=1,所以a+b+c=± 1.所以a+b+c的值為0, 1,-1.說明本題也可以用如下方法對式變形：前一解法是加一項，再減去一項；這個解法是將3拆成1+1+1,最終都是將式變形為兩個式子之積等于零的形式.2 .利用乘法公式求值例 3 已知 x+y=m x3+y3=n,0,求 x2+y2 的值.解因為x+y=m)所以m3=(x+y) 3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3m - xy,所以求 x2+6xy+y2 的值.分析 將x, y的值直接代入計算較繁，觀察發(fā)現(xiàn)，已知中 x, y的值正好是 一對共知無理數(shù),所以很容易計算出x+

26、y與xy的值，由此得到以下解法.解 x 2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy=(x+y) 2+4xy3 .設參數(shù)法與換元法求值如果代數(shù)式字母較多，式子較繁，為了使求值簡便，有時可增設一些參數(shù)(也 叫輔助未知數(shù))、以便溝通數(shù)量關系，這叫作設參數(shù)法.有時也可把代數(shù)式中某 一部分式子，用另外的一個字母來替換，這叫換元法.分析 本題的已知條件是以連比形式出現(xiàn)，可引入?yún)?shù) k,用它表示連比的 比值，以便把它們分割成幾個等式.x = (a-b)k , y = (b-c)k , z = (c-a)k 所以x+y+z=(a-b)k + (b-c)k+(c-a)k=0u+v+w=1,由有把兩邊平方得u2+v2+W+2(uv+vw+wu)=1,所以 u2+v2+W=1,即兩邊平方有所以4 .利用非負數(shù)的性質求值若幾個非負數(shù)的和為零,則每個非負數(shù)都為零，這個性質在代數(shù)式求