優(yōu)秀碩士論文參考】帶電粒子在電場和磁場中的運(yùn)動(dòng)及電磁力的求解

1、帶電粒子在電場和磁場中的運(yùn)動(dòng)及電磁力的求解重慶師范大學(xué)二00九年四月摘 要帶電粒子在電場和磁場中的運(yùn)動(dòng)對(duì)于物理學(xué)和科學(xué)技術(shù)的許多重要領(lǐng)域都有重大意義。例如，質(zhì)譜儀，示波器，電視顯像管，粒子加速器等儀器應(yīng)用都與之有密切關(guān)系。此外，研究帶電粒子在電場和磁場中的運(yùn)動(dòng)已經(jīng)成為等離子體物理理論研究的一個(gè)重要組成部分。關(guān)于帶電粒子在電場和磁場中的運(yùn)動(dòng)，許多人進(jìn)行了大量的工作。在前人的工作中，基本上是從經(jīng)典電磁場理論和經(jīng)典力學(xué)出發(fā)研究帶電粒子的經(jīng)典軌道，也很少有人對(duì)存在彈性界面的情況進(jìn)行分析。本文將考慮存在彈性界面的情況，同時(shí)考慮帶電粒子的經(jīng)典運(yùn)動(dòng)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)，并通過求解帶電粒子的哈密頓正則方程及Mathem

2、atica科學(xué)計(jì)算軟件程序包來描繪帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡。 本文還求解了磁標(biāo)量滿足的拉普拉斯方程，電磁矢量滿足的亥姆霍茲方程，利用邊值問題求解電磁場，并且應(yīng)用麥克斯韋應(yīng)力張量來計(jì)算某些電磁作用力。本項(xiàng)目的研究成果對(duì)開拓和擴(kuò)展電磁場理論應(yīng)用的新領(lǐng)域具有一定的參考作用。 本文主要闡述了五個(gè)方面的內(nèi)容。一，帶電粒子在電場和磁場中的經(jīng)典運(yùn)動(dòng)；二，帶電粒子在電場和磁場中的相對(duì)論運(yùn)動(dòng)；三，帶電粒子在平行電場和磁場及彈性界面附近的運(yùn)動(dòng)；四，求解某些磁標(biāo)量滿足的拉普拉斯方程，電磁矢量滿足的亥姆霍茲方程；五，應(yīng)用麥克斯韋應(yīng)力張量計(jì)算某些電磁作用力。關(guān)鍵詞：帶電粒子，電磁場，洛倫茲力，彈性界面，電勢，邊值關(guān)系The

3、Movements of Charged Particles in Electric and Magnetic Fields and the Solutions of Electromagnetic ForceABSTRACTStudy the movements of charged particles in the electric and magnetic fields with a great significance in many important areas of physics and scientific technology. For example, the appli

4、cations of mass spectrometers, oscilloscopes, TV picture tubes, particle accelerators and other equipments are closely related to this study. In addition, study the movements of charged particles in the electric and magnetic fields have become an important component of the theory research in plasma

5、physics. Many people carried out a lot of work about the movements of charged particles in the electric and magnetic fields. Most previous work basically started from the theory of classical electromagnetic field and classical mechanics to study the classical track of charged particles, but few peop

6、le analyzed the situation of flexible interface when it existed. This article will both consider the condition of the existence of a flexible interface and the classical and relative motion of charged particles, and then use the quantum theory to solve the particles Schrödinger eigen equation .

7、This article will introduce the solutions of the Laplace equation when the magnetic scalar meet it and the Helmholtz equation when the electromagnetic vector satisfy it. This paper also solves the electromagnetic field through the use of boundary value problem and calculates certain electromagnetic

8、force through the application of Maxwell stress tensor. Research results of this project have a great reference significance to explore and expanse new areas of the application of electromagnetic theory.This article focuses on five aspects, it is arranged as follows:1. The classical movement of Char

9、ged particles in electric and magnetic fields.2. The relative movement of Charged particles in electric and magnetic fields.3. The movement of Charged particles in parallel electric and magnetic fields and near the flexible interface.4. Solutions of the Laplace equation when certain magnetic scalar

10、meet it and the Helmholtz equation when the electromagnetic vector satisfy it.5. Calculate certain electromagnetic force by the application of Maxwell stress tensor.key words: Charged particles,  Electromagnetic Field, Lorentz force, Flexible interface, electric potential , The relationship bet

11、ween boundary value目 錄摘 要IABSTRACTII1引言11.1 課題研究的背景及意義11.2 本論文的主要工作及主要成果12帶電粒子在電場和磁場中的經(jīng)典運(yùn)動(dòng)22.1 問題的提出22.2 帶電粒子在電磁場中運(yùn)動(dòng)方程的分析22.3 普遍情況2空間僅存在電場3空間僅存在磁場3電場與磁場同方向4 電場與磁場垂直42.4 討論53帶電粒子在電場和磁場中的相對(duì)論運(yùn)動(dòng)63.1 問題的提出63.2電磁場相對(duì)論變換的一種推導(dǎo)6和的變換式的推導(dǎo)6和的變換式的推導(dǎo)83.3帶電粒子在電磁場中的相對(duì)論運(yùn)動(dòng)的求解103.4討論144帶電粒子在平行電場和磁場及彈性界面附近的運(yùn)動(dòng)154.1 問題的提出

12、154.2 理論模型和公式推導(dǎo)15帶電粒子在平行電場和磁場中的運(yùn)動(dòng)方程15帶電粒子在平行電場和磁場及存在兩個(gè)彈性界面時(shí)閉合軌道形成的條件164.3帶電粒子在平行電場和磁場及存在兩個(gè)彈性界面時(shí)閉合軌道的模擬19粒子沒有碰到任何界面時(shí)的閉合軌道19粒子只碰到上界面時(shí)的閉合軌道19粒子只碰到下界面時(shí)的閉合軌道204.4 討論215求解某些磁標(biāo)量滿足的拉普拉斯方程，電磁矢量滿足的亥姆霍茲方程235.1 問題與分析235.2 雙環(huán)電荷的面電荷密度的表象與勒讓德函數(shù)形式級(jí)數(shù)展開245.3分區(qū)解拉普拉斯方程并用邊界條件與邊值關(guān)系確定系數(shù)245.4 特例與拓展26特例26拓展276應(yīng)用麥克斯韋應(yīng)力張量計(jì)算某些

13、電磁作用力286.1問題的提出286.2麥克斯韋方程的一種討論286.3麥克斯韋應(yīng)力張量336.4 .用應(yīng)力張量計(jì)算磁作用346.5用虛功原理計(jì)算單芯偏心電纜單位長度的靜電力366.6橫截面為透鏡形的柱狀分布電荷的電場396.7結(jié)論437結(jié)論與展望44參考文獻(xiàn)45致 謝47攻讀碩士學(xué)位期間發(fā)表的論文及科研情況481引言1.1 課題研究的背景及意義帶電粒子在電場和磁場中的運(yùn)動(dòng)對(duì)于物理學(xué)和科學(xué)技術(shù)的許多重要領(lǐng)域都有重大意義。磁場對(duì)運(yùn)動(dòng)粒子的洛倫茲力有許多實(shí)際應(yīng)用。雖然因?yàn)榕cv垂直而不做功，但它會(huì)改變粒子運(yùn)動(dòng)的方向。在某些情況下巧妙的配以適當(dāng)?shù)碾妶鯡可以非常有效的控制帶電粒子的運(yùn)動(dòng)，從而達(dá)到各種既定

14、的目的。例如，質(zhì)譜儀，示波器，電視顯像管，粒子加速器等儀器應(yīng)用都與之有密切關(guān)系。此外，研究帶電粒子在電場和磁場中的運(yùn)動(dòng)已經(jīng)成為等離子體物理理論研究的一個(gè)重要組成部分。關(guān)于帶電粒子在電場和磁場中的運(yùn)動(dòng)，許多人進(jìn)行了大量的工作。在前人的工作中，基本上是從經(jīng)典電磁場理論和經(jīng)典力學(xué)出發(fā)研究帶電粒子的經(jīng)典軌道，也很少有人對(duì)存在彈性界面的情況進(jìn)行分析。本文將考慮存在彈性界面的情況，同時(shí)既考慮帶電粒子的經(jīng)典運(yùn)動(dòng)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)，又通過用量子理論求解帶電粒子的哈密頓正則方程。電磁理論早些時(shí)候多用于軍事領(lǐng)域，其發(fā)展和無線電通信，雷達(dá)的發(fā)展應(yīng)用密不可分。如今，電磁理論的應(yīng)用已經(jīng)很廣，涉及到地理科學(xué)，材料科學(xué)和信息科學(xué)等

15、很多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域。計(jì)算電磁場研究的內(nèi)容涉及面也很廣，與電磁場工程，電磁場理論相互聯(lián)系，相互依賴。對(duì)電磁場工程而言，計(jì)算電磁場要解決的是實(shí)際電磁場工程中越來越復(fù)雜的建模和仿真，優(yōu)化設(shè)計(jì)等問題。對(duì)電磁場理論而言，計(jì)算電磁場可以為其研究提供復(fù)雜的數(shù)值及解析運(yùn)算的方法、手段和計(jì)算結(jié)果。近幾十年來，電磁理論的發(fā)展，無一不是與計(jì)算電磁場的發(fā)展相聯(lián)系的。目前，計(jì)算電磁場已為電磁理論的深入研究開辟了新的途徑，并極大地推動(dòng)了電磁工程的發(fā)展。本項(xiàng)目的研究成果對(duì)開拓和擴(kuò)展電磁場理論應(yīng)用的新領(lǐng)域具有重要的參考作用。1.2 本論文的主要工作及主要成果本文主要采用解析法與數(shù)值計(jì)算相結(jié)合進(jìn)行研究。通過哈密頓正則方程求解帶電

16、粒子的運(yùn)動(dòng)；編制程序及利用Mathematica科學(xué)計(jì)算軟件程序包來描繪帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡；重點(diǎn)闡述利用應(yīng)力張量和虛功原理對(duì)電磁力的求解。2帶電粒子在電場和磁場中的經(jīng)典運(yùn)動(dòng)2.1 問題的提出帶電粒子在均勻電磁場中的運(yùn)動(dòng)是電磁學(xué)研究的主要內(nèi)容之一，其應(yīng)用又十分廣泛。比如，實(shí)驗(yàn)室中的陰極射線管，高能物理中常用的回旋加速器、質(zhì)譜儀等設(shè)備都應(yīng)用和涉及到這方面的規(guī)律和知識(shí)。文獻(xiàn)1中有一個(gè)思考題是討論質(zhì)子無初速出發(fā)，在相互垂直的電磁場中運(yùn)動(dòng)的情況。 由于運(yùn)動(dòng)從定性的角度很難說清楚，而在文獻(xiàn)25或電磁學(xué)教材67中，對(duì)帶電粒子在電磁場中運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的分析，都是針對(duì)一些特殊情況進(jìn)行的，并沒有就帶電粒子在電磁場中運(yùn)動(dòng)

17、的更一般情況進(jìn)行全面分析。本章擬從帶電粒子在一般電磁場中所受到的洛倫茲力出發(fā)，系統(tǒng)研究其運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)，并針對(duì)某些特殊情況，用數(shù)值分析方法，研究其運(yùn)動(dòng)規(guī)律，并給出不同條件下的運(yùn)動(dòng)軌跡線。2.2 帶電粒子在電磁場中運(yùn)動(dòng)方程的分析在不考慮重力且空間同時(shí)存在電場 和磁場 的情況下，質(zhì)量為m、速度為的帶電粒子q(>0)受到的洛淪茲力為 =q+q× ()若將的方向取做z軸，與的夾角為，在 x-y平面上的投影與x軸正向夾角 ，根據(jù)牛頓定律，粒子運(yùn)動(dòng)的方程在直角坐標(biāo)中的分解式是 ()現(xiàn)以上述幾式為基礎(chǔ)，討論帶電粒子在均勻電磁場中運(yùn)動(dòng)的普遍情況。2.3 普遍情況我們假設(shè)，在計(jì)時(shí)開始時(shí)，粒子在坐標(biāo)原

18、點(diǎn)，初速.對(duì)(2.2.2)式進(jìn)行拉普拉斯變換，得： （）其中，.由(2.3.1)式，得 （）其中,對(duì)()式作逆變換，得 ()()式可以描述帶電粒子在均勻磁場中運(yùn)動(dòng)的普遍規(guī)律：當(dāng)電場與磁場之間的夾角確定后，帶電粒子在z方向(磁場方向)的運(yùn)動(dòng)是勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度是，在與磁場垂直的平面上，粒子呈振蕩情形。下面就一些不同條件對(duì)式進(jìn)行討論。 空間僅存在電場此時(shí)，則b=0。重新解()式，得運(yùn)動(dòng)方程是 ()其中，上式的軌跡是一條空間拋物線。 空間僅存在磁場此時(shí)，=0，則e=0。由()式，帶電粒子的運(yùn)動(dòng)方程是 ()若令則,可以證明，即在平面上，帶電粒子的軌跡是圓周運(yùn)動(dòng)，則()式表示的運(yùn)動(dòng)軌跡是螺旋線，螺距

19、為,當(dāng)=0時(shí)，運(yùn)動(dòng)軌跡是平面上的圓周運(yùn)動(dòng)。2.3.3 電場與磁場同方向此時(shí)，=0，則e=0。由()式，帶電粒子的運(yùn)動(dòng)方程是 ()與(2.2.2)的分析相同，式表達(dá)的運(yùn)動(dòng)軌跡是螺旋線，螺距是,隨時(shí)間增大。2.3.4 電場與磁場垂直此時(shí)，.可適當(dāng)取坐標(biāo)，使得沿方向，則有 =0.由()式，帶電粒子的運(yùn)動(dòng)方程是 ()當(dāng)，軌跡是平面內(nèi)的擺線，周期。如圖2.1所示，擺線擺動(dòng)的方向取決于b的符號(hào)（即粒子的正負(fù)），圖2.1是b0的情況，當(dāng)0，=0時(shí)（即、三者垂直）有兩種情況，第一種是情況時(shí)，軌跡是平面內(nèi)的擺線，周期.為了使擺線的方向向右（圖形看起來符合習(xí)慣）我們?nèi)0.當(dāng)0，是短幅擺線，如圖2.2（a）當(dāng)，仍

20、是短幅擺線，與圖2.2（a）不同的是，擺線在軸的下方，如圖2.2（b）.當(dāng)=，是普通擺線，如圖2.2（c），擺線的起始位置與圖2.1不同，當(dāng)，是長幅擺線，如圖2.2（d）.第二種是在=情況時(shí)，軌跡是平面內(nèi)的直線，這正式質(zhì)譜儀的原理，如圖2.2(e).圖2. 1 普通擺線 圖2.2 不同條件下的擺線2.4 討論我們將文獻(xiàn)1中的問題進(jìn)行了拓展性的討論，發(fā)現(xiàn)帶電粒子在相互垂直的電磁場中的運(yùn)動(dòng)是一個(gè)復(fù)雜問題。除了在一般教材中討論的直線運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)、螺旋運(yùn)動(dòng)外，還有以擺線作為軌跡的運(yùn)動(dòng)。按照條件的不同，擺線的形式也不相同，有一般擺線、短輻擺線和長輻擺線。3帶電粒子在電場和磁場中的相對(duì)論運(yùn)動(dòng)3.1 問題

21、的提出帶電粒子在均勻電磁場中運(yùn)動(dòng)是一個(gè)有趣的問題,初看起來,似乎是帶電粒子會(huì)在垂直于磁場的平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng),同時(shí)沿電場方向作勻加速運(yùn)動(dòng),整個(gè)運(yùn)動(dòng)是這兩種運(yùn)動(dòng)的合成?？紤]到粒子運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性,通過求解帶電粒子在均勻電磁場中的運(yùn)動(dòng)方程,可以證明實(shí)際的運(yùn)動(dòng)并非是簡單的兩種運(yùn)動(dòng)的合成,為了深刻理解發(fā)生的原因,我們就在四維閔可夫斯基空間,對(duì)帶電粒子在均勻電磁場中的相對(duì)論運(yùn)動(dòng)進(jìn)行求解。3.2電磁場相對(duì)論變換的一種推導(dǎo)在電磁場相對(duì)論變換公式的推導(dǎo)中,常用3種方法:第一,由標(biāo)量和矢量 A的定義,引入四維勢矢量,建立電磁場張量,根據(jù)四維二階張量的變換公式導(dǎo)出;第二,由麥克斯韋方程,在滿足相對(duì)論協(xié)變的要求下,據(jù)微分

22、運(yùn)算的相對(duì)論變換公式導(dǎo)出。第三,由洛侖茲公式,在滿足相對(duì)論協(xié)變性的要求下,據(jù)四維矢量和四維速度矢量的相對(duì)論變換公式導(dǎo)出。這三種方法都能導(dǎo)出電磁場矢量和的變換公式,但進(jìn)一步的導(dǎo)出電位移矢量和磁場強(qiáng)度的變換公式有困難且推導(dǎo)過程也很復(fù)雜。下面采用一種簡單的方法對(duì)和的變換式、和的變換式進(jìn)行推導(dǎo)。3.2.1 和的變換式的推導(dǎo)電磁場由電場強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度描述,由麥克斯韋方程組,在慣性系中,它們滿足如下方程: （） （3.2.2）寫成分量形式,并加以變形有: （3.2.3）引入四維矢量則有，四維矢量四維矢量0=（0，0，0，0）以上分量方程可用如下一個(gè)矩陣方程表示： （）其中T是四階矩陣 （）代入（）中比較

23、得： （）麥克斯韋方程服從相對(duì)性原理,是洛侖茲協(xié)變的,在一切慣性系中數(shù)學(xué)形式不變,因此,在沿ox軸正方向相對(duì)于以速度勻速運(yùn)動(dòng)的慣性系中也有: （）其中 （）注意到X和0是四維矢量代入（）式中有： 其中，是洛倫茲變換矩陣 在式（）的兩邊用的轉(zhuǎn)置矩陣右乘,并記住=I(單位矩陣),可得:和和式比較有寫成分量式 考慮到，則對(duì)各分量的變換關(guān)系為： 將代入以上各式，最后將得到和的變換關(guān)系為更一般的形式為式中和分別表示與速度平行和垂直的分量。實(shí)際上,滿足變換公式,且的四階矩陣就是四維二階張量,因此,我們不僅導(dǎo)出了電磁場矢量和的變換關(guān)系,而且還知道了和可按矩陣的方式構(gòu)成一個(gè)四維二階反對(duì)稱電磁場張量。3.2.2

24、 和的變換式的推導(dǎo)同樣的方法可導(dǎo)出和的變換,推導(dǎo)如下:在慣性系中,由麥克斯韋方程組, 和滿足如下方程:其中, J是電流密度,是電荷體密度。上面的方程可用如下一個(gè)矩陣方程來表示: （）其中, 是四維電流密度矢量,是四階矩陣。 （）在慣性系中，又有： （）和X是四維矢量 （） （）結(jié)合（）-，并記=I 可得從而得到和的變換公式是：寫成更一般的形式為：注意到,因此, 和可按矩陣F的形式構(gòu)成四維二階反對(duì)稱張量。3.3帶電粒子在電磁場中的相對(duì)論運(yùn)動(dòng)的求解我們知道帶電粒子的相對(duì)論運(yùn)動(dòng)方程為：；由質(zhì)量關(guān)系式，能量與動(dòng)能的關(guān)系式：，得到而 ()1）當(dāng)帶電粒子僅在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)，外力與垂直,則(=0),此時(shí) ()

25、帶電粒子速度可以分解成與平行的速度和與垂直的速度,若與平行的分速度,則帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡是是軸的螺旋線,若平行的分速度,則帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡是垂直于平面的圖(圖3.1)。圖3.1 帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)軌跡 2)帶電粒子僅在電聲場中運(yùn)動(dòng)時(shí) ()而,所以那么若帶電粒子初速度或平行于電場,則帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條直線,若是不平行于電場,則帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條曲線(懸鏈線)(圖3.2)。圖3.2 帶電粒子在電場中的運(yùn)動(dòng)3）當(dāng)帶電粒子在組合的電場和磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)（圖3.3），我們采用的方法是在四維閔可夫斯基空間進(jìn)行計(jì)算，我們知道了粒子在四維空間的運(yùn)動(dòng)議程為,， ()式中，為粒子四維速度，為原點(diǎn)時(shí)間

26、隔，為電磁張量。 圖3.3 帶電粒子在組合的電場與磁場運(yùn)動(dòng)的四維空間在具體問題中，的形式 ()將上述的值代入（3.3.4）式便得到四個(gè)分量方程： () () () ()式中，初始條件時(shí)，x=y=z=ct=0,;而，積分()式，注意初始條件，得： ()積分()式，注意初始條件，得： ()將()代入)式，當(dāng)時(shí)得到 ()此式的一般解為： ()式中，為積分常數(shù)利用初始條件，可求得： 所以 ()將()式代入)式，積分并注意初始條件，得(5)將()式代入)式求解，并注意初始條件，得(6)積分()式，注意初始條件，得： 7)如果從(6)式將原時(shí)表示為時(shí)間的顯示，代入) )和)式，則得的表達(dá)式。當(dāng)時(shí)，只需要注

27、意到及，()、 )和)式分別變?yōu)椋寒?dāng)B=E是，首先將雙曲正弦和雙曲余弦按級(jí)數(shù)展開：然后令B=E，則得，的表達(dá)式為：3.4討論通過以上的解,我們可以看出帶電粒子在均勻磁場中的運(yùn)動(dòng)方程是的雙曲函數(shù),由于考慮到粒子運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性,其運(yùn)動(dòng)規(guī)律不遵守牛頓第二定律，當(dāng)帶電粒子的初速度時(shí),其運(yùn)動(dòng)規(guī)律就符合牛頓定律,其運(yùn)動(dòng)軌跡可以是兩種運(yùn)動(dòng)的合成,但經(jīng)過足夠長的時(shí)間之后,即使帶電粒子的初速度很小,其速度也會(huì)越來越趨近于光速(不考慮輻射),仍適相對(duì)論運(yùn)動(dòng)規(guī)律。4帶電粒子在平行電場和磁場及彈性界面附近的運(yùn)動(dòng)4.1 問題的提出進(jìn)行了分析。對(duì)于存在兩個(gè)彈性界面的情況，并沒有進(jìn)行探討。本章首先從哈密頓正則方程出發(fā)推導(dǎo)出了

28、帶電粒子在平行電磁場及彈性界面附近的運(yùn)動(dòng)方程，然后討論了存在兩個(gè)彈性界面時(shí)粒子的閉合軌道，最后用計(jì)算機(jī)對(duì)帶電粒子的一些閉合軌道進(jìn)行了模擬。4.2 理論模型和公式推導(dǎo) 帶電粒子在平行電場和磁場中的運(yùn)動(dòng)方程如圖1所示，質(zhì)量為，帶電量為-e的粒子，在電場F和磁場B（F/B）中運(yùn)動(dòng)。兩個(gè)彈性界面垂直于Z軸，位于原點(diǎn)兩側(cè)，界面距離原點(diǎn)的距離分別為和。圖4.1 帶電粒子在平行電場和磁場兩個(gè)彈性界面運(yùn)動(dòng)的圖示粒子的哈密頓為，矢勢A取為7。假定電場和磁場沿z軸方向，則，。若采用柱坐標(biāo)（），則粒子的哈密頓量用可表示為： ()其中，根據(jù)哈密頓正則方程，可推導(dǎo)出帶電粒子在平行電場和磁場中的運(yùn)動(dòng)方程。 () ()其中

29、，為帶電粒子的出射角，E為帶電粒子的能量。 帶電粒子在平行電場和磁場及存在兩個(gè)彈性界面時(shí)閉合軌道形成的條件下面，我們討論帶電粒子的出射向滿足什么條件時(shí)，粒子從原點(diǎn)出發(fā)后，又返回到原點(diǎn)，即形成一條閉合軌道。我們分幾種情況進(jìn)行討論；.1粒子在運(yùn)動(dòng)中沒有碰到任何界面就形成閉合軌道（1）當(dāng)=0時(shí)，即粒子沿Z軸出射。當(dāng)粒子達(dá)到最高點(diǎn)時(shí) ()此時(shí)，。因此，若，則粒子不碰到界面就返回原點(diǎn)形成閉合軌道，粒子的運(yùn)動(dòng)周期為。（2）當(dāng)=0時(shí)，由可知：時(shí)才可能形成閉合軌道。當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)，由以上分析同理可知，此時(shí)： 若，即，則粒子在運(yùn)動(dòng)過程中不碰到上界面。若粒子能形成閉合軌道，由得，即，由得：當(dāng)時(shí)，粒子恰好回

30、到原點(diǎn)。由此得粒子運(yùn)動(dòng)的初始角滿足，且時(shí)能開成閉合軌道。.2粒子在運(yùn)動(dòng)中只碰到一個(gè)界面后形成閉合軌道（1）粒子在運(yùn)動(dòng)中只碰到上界面后形成閉合軌道a.當(dāng)=0時(shí)，由前面的分析可知，若，則粒子碰到上界面后返回原點(diǎn)形成閉合軌道，粒子碰到上界面時(shí)，。由此推出，由對(duì)稱性可知粒子運(yùn)動(dòng)的周期為。b.當(dāng)時(shí)，由可知：時(shí)才可能形成閉合軌道，根據(jù)前面的分析，當(dāng)時(shí)，粒子在運(yùn)動(dòng)過程中碰到上界面，由于界面是完全彈性的，通過分析可以看出只有粒子初次碰到上界面時(shí)在處，此時(shí)軌道才為閉合的。設(shè)碰撞時(shí)時(shí)時(shí)間為。由于為遞減函數(shù)，所以只要保證即可。若軌道為閉合的，即滿足，。解以上方程得： ，周期。（2）粒子在運(yùn)動(dòng)中只碰到下界面后形成閉合

31、軌道a.當(dāng)=0時(shí)，若，則粒子不會(huì)碰到上界面，粒子碰到下界面后返回形成閉合軌道。b.當(dāng)時(shí)，則粒子沿Z軸負(fù)方向出射。此時(shí)粒子碰到下界面后才可能返回原點(diǎn)形成閉合軌道。經(jīng)計(jì)算粒子到達(dá)下界面的時(shí)間。由于對(duì)稱性，粒子一定能返回到原點(diǎn)。且粒子從碰撞后到原點(diǎn)的時(shí)間，故周期c.當(dāng)時(shí)，由于界面是完全彈性的，可以分析看出只有粒子不碰到上界面且初次碰到下界面時(shí)在處，此時(shí)軌道才為閉合的，設(shè)初次碰撞時(shí)間為，若軌道為閉合的，即滿足， 以上方程，得：，周期。當(dāng)滿足以上條件時(shí)粒子只碰到下界面就形成閉合軌道。.3粒子在運(yùn)動(dòng)中碰到兩個(gè)界面后才形成閉合軌道若粒子在運(yùn)動(dòng)中碰到兩個(gè)界面后才形成閉合軌道，在此情況下粒子滿足：恰好碰第一個(gè)界

32、面時(shí)時(shí)。下面，分幾種情況進(jìn)行討論：（1）當(dāng)=0時(shí)，即粒子沿Z軸出射。若，則粒子碰到上界面后返回碰到下界面后再返回形成閉合軌道。（2）當(dāng)時(shí)，即粒子沿Z軸負(fù)方向出射。由對(duì)稱性可知，若，則粒子先碰到下界面后返回碰到上界面后再返回形成閉合軌道。（3）時(shí)，由公式()，令z=，可知粒子初次到達(dá)上界面的時(shí)間為： ()把帶入公式()得。經(jīng)過上界面的反彈以后，粒子到達(dá)下界面，同理可求出到達(dá)下界面的時(shí)間為 ()若此時(shí)粒子恰好碰到上界面時(shí)在處，則能形成閉合軌道，幫軌道閉合時(shí)有： ()由上式解出即為形成閉合軌道時(shí)的初射角，軌道得周期。（4）時(shí)，由公式()，令可知粒子初次到達(dá)下界面時(shí)間為： ()把代入公式()得。經(jīng)過下

33、界面反彈后，粒子到達(dá)上界面，同理可求出粒子到達(dá)上界面時(shí)間為： () 若此時(shí)粒子恰好碰到上界面時(shí)在處，則能形成閉合軌道。故閉合時(shí)由可解出，此即形成閉合軌道的初射角，周期為。4.3帶電粒子在平行電場和磁場及存在兩個(gè)彈性界面時(shí)閉合軌道的模擬在計(jì)算中，各參量的取值如下：B=2T，E=0.01eV，F(xiàn)=100V/cm。計(jì)算中采取原子單位制，。4.3.1 粒子沒有碰到任何界面時(shí)的閉合軌道當(dāng)E=0.01ed，F(xiàn)=100V/cm時(shí)，故可以碰到上界面。閉合軌道形成的任何為：。當(dāng)j=1時(shí)，此時(shí)粒子的閉合軌道如圖4.2（a）所示。當(dāng)j=2時(shí)，此時(shí)粒子的閉合軌道如圖4.2（b）所示。圖4.2 帶電粒子在平行電場中沒有

34、碰到彈性界面時(shí)的閉合軌道當(dāng)j=3,4,5,6時(shí)，經(jīng)計(jì)算均不滿足條件，故不存在閉合軌道。4.3.2 粒子只碰到上界面時(shí)的閉合軌道I. 當(dāng)時(shí)，粒子沿Z軸出射，此時(shí)粒子閉合軌道如圖4.3(a)所示。圖4.3 帶電粒子在平行電場中沒有碰到彈性界面時(shí)的閉合軌道III. 當(dāng)時(shí)，此時(shí)閉合軌道形成的條件為，且。當(dāng)j=1時(shí)，時(shí)。此時(shí)粒子閉合軌道如圖4.3(b)所示。當(dāng)j=2,3,4時(shí)，均不滿足條件,故不存在閉合軌道。4.3.3 粒子只碰到下界面時(shí)的閉合軌道I. 當(dāng)時(shí)，即粒子沿Z軸負(fù)方向出射。此時(shí)粒子閉合軌道如圖4.4(a)所示。II. 當(dāng)時(shí)，此時(shí)閉合軌道形成的條件為：，且。當(dāng)j=1時(shí)，此時(shí)粒子閉合軌道如圖4.4

35、中(b)所示。當(dāng)j=2時(shí)，此時(shí)粒子閉合軌道如圖4.4中(c)所示。當(dāng)j=3,4,5時(shí)，故此時(shí)不存在閉合軌道。圖4.4 帶電粒子在平行電場中只與下界面碰撞時(shí)形成的閉合軌道4.4 討論 帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動(dòng)，是一個(gè)較為復(fù)雜的問題，本章就一種殊情況，電場和磁場平行的情況，從哈密頓正則方程出發(fā)討論了其運(yùn)動(dòng)方程。并根據(jù)其運(yùn)動(dòng)方程討論了有兩個(gè)彈性界面時(shí)的閉合軌道：通過計(jì)算可以看出，當(dāng)初始條件滿足一定關(guān)系時(shí)，確實(shí)能形成閉合軌道，并且軌道的數(shù)目與初始條件有關(guān)。最后根據(jù)討論的結(jié)果運(yùn)用計(jì)算機(jī)編程繪出閉合軌道。本章的研究可以使我們更形象更直觀的了解帶電粒子在電場和磁場中的運(yùn)動(dòng)情況。對(duì)于很多負(fù)離子體系(如H體系)

36、 在均勻強(qiáng)外場中的運(yùn)動(dòng)問題，當(dāng)最外面的電子離原子核較遠(yuǎn)時(shí)，電子與原子核之間的庫侖勢和電子與強(qiáng)外場之間的作用勢相比便可以忽略不計(jì)，因此負(fù)離子體系在外場中得運(yùn)動(dòng)學(xué)問題可以簡化為電子在強(qiáng)外場中的運(yùn)動(dòng)問題。通過對(duì)帶電粒子在電磁場中運(yùn)動(dòng)的分析，可為帶電粒子在電磁場中的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的研究打好理論基礎(chǔ)。5求解某些磁標(biāo)量滿足的拉普拉斯方程，電磁矢量滿足的亥姆霍茲方程5.1 問題與分析雙環(huán)靜電問題是指真空中任意方向、任意位置處放置的軸線相交的兩個(gè)均勻帶電圓環(huán)靜電問題，如圖5.1所示，求全空間中的電勢分布。圖5.1 該問題看似很簡單，只要把雙環(huán)各自在周圍空間激發(fā)產(chǎn)生的電勢疊加起來就得到空間電勢解表達(dá)式了?？墒聦?shí)不然

37、，因?yàn)槲覀兯闹皇菃苇h(huán)軸對(duì)稱的電勢解表達(dá)式，雙環(huán)時(shí)空間已不再具備軸對(duì)稱性，沒法直接引用軸對(duì)稱電勢解簡單相加來完成，誠然還有一個(gè)辦法，那就是進(jìn)行坐標(biāo)變換把非對(duì)稱環(huán)在帶撇號(hào)坐標(biāo)系中的軸對(duì)稱解變換到不帶撇號(hào)坐標(biāo)系中的電勢解，然后再作疊加實(shí)現(xiàn)，但坐標(biāo)變換關(guān)系比較復(fù)雜不易導(dǎo)出電勢解析式。本章我們避開疊加原理與坐標(biāo)變換而使用均勻帶電圓環(huán)在球坐標(biāo)中的特定球面上電荷密度表象、勒讓德函數(shù)級(jí)數(shù)展開法、球函數(shù)的加法定理、分區(qū)分離變量法解電勢拉普拉斯方程結(jié)合分區(qū)界面上的邊值關(guān)系得到雙環(huán)電勢問題的解析解，并作簡單討論。5.2 雙環(huán)電荷的面電荷密度的表象與勒讓德函數(shù)形式級(jí)數(shù)展開 如圖5.1所示，我們以雙環(huán)軸線的交點(diǎn)為球

38、坐標(biāo)原點(diǎn)，環(huán)1的軸線為Z軸，環(huán)1的環(huán)心位于球坐標(biāo)(，0，0)，環(huán)1半徑為n，帶電總量是；環(huán)2軸線方向在直角坐標(biāo)OXYZ相應(yīng)的球坐標(biāo)經(jīng)緯角為和上，環(huán)2的環(huán)心位于球坐標(biāo)(，)，半徑為，帶電總量為。于是由幾何關(guān)系有,R1=, R1= ()而由于環(huán)1在OXYZ直角坐標(biāo)相應(yīng)的球坐標(biāo)(r,)中半徑為的球面上的電荷面密度表象為 ()環(huán)2在直角坐標(biāo)相應(yīng)的球坐標(biāo)（）中的半徑的球面上的電荷面密度表象是 ()把()、)兩式在各自球坐標(biāo)中按勒讓德函數(shù)展開，即得 () ()而，所以由球函數(shù)的加法定理有 ()用連帶勒讓德函數(shù)表示，即代入得 ()把()代入)得 ()5.3分區(qū)解拉普拉斯議程并用邊界條件與邊值關(guān)系確定系數(shù)建立

39、如圖1所示OXYZ直角坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的球坐標(biāo)系（）下分離變量解電勢拉普拉期議程并應(yīng)用自然邊界條件有 （） () () ()注意到在分區(qū)球面上電勢應(yīng)滿足邊值關(guān)系即 () ()比較()、)式中的球諧函數(shù)的系數(shù)或應(yīng)用球諧函數(shù)正交性有 () ()同樣在球面上電勢應(yīng)滿足邊值關(guān)系故 () ()比較球諧函數(shù)系數(shù)，從而有 () ()解()、)、)和)式得 () () () ()（r） ()（r） ()（r） ()5.4 特例與拓展5.4.1 特例 當(dāng)，時(shí)，雙環(huán)靜電呈軸對(duì)稱性（），其電勢解析為 () () ()它們完全表現(xiàn)為電勢疊加形式。 非對(duì)稱帶電環(huán)在原點(diǎn)位于軸線上球坐標(biāo)中的電勢解是 () ()式中Q為帶電總環(huán)總電

40、量，為環(huán)半徑，和為帶電環(huán)軸線在球坐標(biāo)中經(jīng)緯角。5.4.1 拓展 當(dāng)真空中放置n 個(gè)均勻帶圓環(huán)且各環(huán)軸線相交于一個(gè)公共點(diǎn)，n個(gè)圓環(huán)各自位于以軸線交點(diǎn)發(fā)原點(diǎn)的不同球面上，則可將電場空間分割成n+1個(gè)場區(qū)，應(yīng)用上述環(huán)電荷面密度表象、分區(qū)解電勢拉普拉斯方程得到問題解。當(dāng)n 個(gè)帶電環(huán)中出現(xiàn)部分帶電環(huán)位于相同球面上或所有帶電環(huán)均勻位于同一球面上時(shí)，僅有電場空間分區(qū)數(shù)變少，而它仍然可用以上方法解答問題.同球面上有多個(gè)環(huán)時(shí)，其電荷面密度的疊加。6應(yīng)用麥克斯韋應(yīng)力張量計(jì)算某些電磁作用力6.1問題的提出在用洛倫茲力公式計(jì)算帶電體或載有電流的物體所受的電磁作用力時(shí)，必須除去受力電荷或受力電流本身的場才能得到正確的結(jié)

41、果。即式中的需是除去受力電荷本身后其它所有電荷在所求點(diǎn)產(chǎn)生的電場l；同樣是除去受力電流后其它所有電流在所求點(diǎn)產(chǎn)生的磁場。但在很多情況下，往往遇到總場較易求出，而較難分清在總場中哪些是受力電荷或電流本身產(chǎn)生的場，哪些是其它電荷或電流產(chǎn)生的場。本章認(rèn)為，在可以計(jì)算出總場的情況下，用總場導(dǎo)出的麥克斯韋應(yīng)力張量來直接計(jì)算電磁力，避免了對(duì)總場中成分組成的復(fù)雜討論，也是一種普適的方法。在以往的一些文獻(xiàn)中對(duì)用麥克斯韋應(yīng)力張量來直接計(jì)算電荷間的電作用力已作過很多討論，但用該方法計(jì)算磁作用力的例子卻很少。本章試圖通過例子說明，在討論電流間的磁作用力時(shí)，該方法同樣適用。6.2麥克斯韋方程的一種討論描述宏觀電磁現(xiàn)象

42、的麥克斯韋方程組,是大家早已熟悉的,為以下敘述方便,不妨再予列出。當(dāng)選取,則C1時(shí)，方程組的微分形式為 （6.2.1） （6.2.2） （6.2.3） （6.2.4）在方程組中,已包含了所謂電荷守恒定律,即電流密度與電荷密度滿足的連續(xù)性方程 （6.2.5）另外,當(dāng)帶電粒子在電磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí),受到洛侖茲力的作用 （6.2.6）。這一組著名的電磁場理論的基本方程表明,不僅電荷與電流在激發(fā)電磁場，而且變化的電磁場也在相互激發(fā)。但我們?nèi)缂?xì)心地觀察麥克斯韋方程組,就會(huì)發(fā)現(xiàn),方程組中關(guān)于場源項(xiàng)是沒有對(duì)稱性的，方程()、)是非齊次方程，表明在自然界中存在著作為場源的電荷與電流；而)、)兩齊次方程，則表明自然界

43、中不存在磁荷與磁流，也就是說，自然界中還沒有發(fā)現(xiàn)磁荷這種物質(zhì)，磁單極不存在，對(duì)此問題安培曾從理論上作過所謂的“安培假說”，而且僅僅是“假說”。但是，英國物理學(xué)家狄拉克卻于1931年根據(jù)電動(dòng)力學(xué)、量子力學(xué)，作出了令人十分信服的推測，他在量子場論講義文獻(xiàn)中曾作過表述：即具有一定條件(量子化)的磁單極子能與薛定諤的波函數(shù)一致地存在。這一推測一經(jīng)提出,立即吸引了大量的實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家去尋找磁單極子，同時(shí)也給理論工作者提出了許多新的課題。特別在電動(dòng)力學(xué)中，如果存在磁單極子的話，那么，則應(yīng)對(duì)麥克斯韋方程組進(jìn)行修改，以便適用于電荷與磁荷(磁單極子)并存的情形。從這一思路出發(fā),在假定磁荷(磁單極)存在的情況下，筆

44、者試對(duì)以上麥克斯韋方程組進(jìn)行如下細(xì)致的討論，從而得到一組非常對(duì)稱的麥克斯韋方程組。首先，假設(shè)在自然界中除了存在電荷外，還存在著磁荷(磁單極)。這時(shí)在場的概念下，由于磁荷(磁單極)的存在，使得通過封閉曲面的磁通量一般不再為零。設(shè)磁荷分布具有體密度,則有 （6.2.7）(6.2.7)式表明,磁荷是磁場的源，也就是磁力線的源，這是我們修改的第一個(gè)方程。與處理電荷的方法相類似，設(shè)當(dāng)磁荷運(yùn)動(dòng)時(shí)形成磁流時(shí)，在一個(gè)小體積內(nèi)，磁荷隨時(shí)間的減少量，應(yīng)等于流出小體積表面的磁荷量。在數(shù)學(xué)上處理，就是磁流密度與磁荷密度滿足連續(xù)性方程 （6.2.8）根據(jù)這個(gè)方程，我們很容易把另一個(gè)齊次方程(6.2.4)改寫為 （6.2

45、.9）為把這組方程組改寫為四維洛侖茲協(xié)變形式，我們引用電磁場張量（6.2.10）式和四維矢量（6.2.12）（6.2.13）式： （6.2.10） （6.2.11） （6.2.12） （6.2.13）(注意，此時(shí)，電磁場張量已不再具有的關(guān)系式了，也失去原來的意義) 顯然以上對(duì)于沒有作修改的含電荷、電流的方程（）、其四維形式應(yīng)還保持為我們已知的形式 （6.2.14）而方程(6.2.7)、(6.2.9),未修改時(shí),我們已知其滿足的四維形式為 此式左邊是三階張量,但從方程(6.2.7)、(6.2.9)知,它的右邊應(yīng)為四維矢量。顯然這個(gè)式子已不能再使用了。那么用什么方法去寫新的協(xié)變式呢?仔細(xì)觀察方程(

46、6.2.7)、(6.2.9),對(duì)方程(6.2.1)、(6.2.2),可以發(fā)現(xiàn)這兩對(duì)方程,在形式上有著極為相似之處。這就給我們以啟發(fā),是否能尋找到一個(gè)與有一定關(guān)系的新的電磁場張量,使得電磁場張量中的、 位置對(duì)調(diào),如果這個(gè)新張量存在,則能把方程(6.2.7)、(6.2.9)寫成類似于(6.2.14)式的形式。為此,我們引入一個(gè)四階反對(duì)稱張量,考慮一個(gè)新的電磁場張量 （6.2.15）經(jīng)計(jì)算，易得 (6.2.16)利用此式(6.2.7)、(6.2.9)兩式就可寫為 (6.2.17)(6.2.14)、(6.2.17)兩式就是在磁荷存在的條件下,麥克斯韋方程組的新形式。下面我們就麥?zhǔn)戏匠探M的新形式作如下討

47、論：1、首先,我們看到新方程組的形式是完全對(duì)稱的。四維磁流密度與電流密度對(duì)稱地出現(xiàn)在新的麥克斯韋方程組中,這表明,不僅電荷、電流以及變化的電磁場在激發(fā)著電磁場,而且磁荷、磁流也在同樣激發(fā)著電磁場。電磁場的源包括電荷、磁荷、電流和磁流。當(dāng)給定了空間的電荷、磁荷分布以及它們的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)后,這組麥克斯韋方程就能給出空間電磁場的分布,而這一組方程便是新情況下(假定磁荷存在)的電磁場理論的基本方程。我們分別對(duì)上面兩個(gè)四維協(xié)變方程求其四維散度,有由式（6.2.10）、（6.2.16）知，、均為二階反對(duì)稱張量。我們先討論的情況，由有 上面的運(yùn)算,運(yùn)用了反對(duì)稱的性質(zhì),交換了指標(biāo),因而 這就是四維形式的電荷、磁荷

48、守恒定律。它們很自然地包含在新的麥克斯韋方程組內(nèi),它們的矢量形式即為(6.2.5)式和(6.2.8)式。2、我們已經(jīng)把麥克斯韋方程組寫為四維洛侖茲協(xié)變形式,這表明當(dāng)從一個(gè)慣性系變換到另外一個(gè)慣性系時(shí),方程(6.2.14)、(6.2.17)的形式保持不變。不僅僅如此,當(dāng)我們考慮實(shí)際空間時(shí),可以把上述方程推廣到引力空間去。這還表明在非慣性系中,協(xié)變性仍然成立,由此可見,由于能夠把含磁荷的麥克斯韋方程組寫成協(xié)變形式,因而磁荷的存在是符合狹義相對(duì)論乃至廣義相對(duì)論中的相對(duì)性原理的。從時(shí)空觀、引力場的角度來看,磁荷是有其物理意義的。3、最后再談一下洛侖茲力的情況。我們由(6.2.6)式知道了只帶電荷的粒子

49、受到的洛侖茲力的情形,但若一個(gè)粒子既帶有電荷,又帶有磁荷,那么情況又應(yīng)如何呢?為了解決這個(gè)問題,我們首先考慮一個(gè)只帶磁荷的粒子。設(shè)磁荷量為,則可對(duì)稱地假設(shè)它的電磁場中受到洛侖茲力為其中k為待定系數(shù)(與單位制有關(guān))。可以預(yù)料,在以C為1的速度單位制中,，這是由于電場、磁場強(qiáng)度在麥克斯韋方程組(6.2.1)、(6.2.2)、(6.2.7)、(6.2.9)中不對(duì)稱的緣故。它可由相對(duì)論的變換來驗(yàn)證,限于篇幅, 這里不作討論了。這樣,對(duì)一個(gè)既帶電荷,又帶磁荷的粒子,其所受的洛侖茲力就為引入四維力矢量它由電磁場張量、和構(gòu)成容易驗(yàn)證,它滿足這樣,我們把粒子滿足的四維形式的運(yùn)動(dòng)方程寫為它適用于慣性系,描述了具有電磁荷并存的粒子在電