隨機(jī)過程考試真題

1、1、 設(shè)隨機(jī)過程，為常數(shù)，服從區(qū)間上的均勻分布。（1）求的一維概率密度和一維分布函數(shù)；（2）求的均值函數(shù)、相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。2、設(shè)是參數(shù)為的維納過程，是正態(tài)分布隨機(jī)變量；且對任意的，與均獨(dú)立。令，求隨機(jī)過程的均值函數(shù)、相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。3、 設(shè)到達(dá)某商場的顧客人數(shù)是一個(gè)泊松過程，平均每小時(shí)有180人，即；且每個(gè)顧客的消費(fèi)額是服從參數(shù)為的指數(shù)分布。求一天內(nèi)（8個(gè)小時(shí)）商場營業(yè)額的數(shù)學(xué)期望與方差。4、設(shè)馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣為： （1）求兩步轉(zhuǎn)移概率矩陣及當(dāng)初始分布為 時(shí)，經(jīng)兩步轉(zhuǎn)移后處于狀態(tài)2的概率。（2）求馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布。5設(shè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間，轉(zhuǎn)移概率矩陣為：求狀態(tài)的分類、

2、各常返閉集的平穩(wěn)分布及各狀態(tài)的平均返回時(shí)間。6、設(shè)是參數(shù)為的泊松過程，計(jì)算。7、考慮一個(gè)從底層啟動(dòng)上升的電梯。以記在第層進(jìn)入電梯的人數(shù)。假定相互獨(dú)立，且是均值為的泊松變量。在第層進(jìn)入的各個(gè)人相互獨(dú)立地以概率在第層離開電梯，。令在第層離開電梯的人數(shù)。（1）計(jì)算（2）的分布是什么（3）與的聯(lián)合分布是什么8、一質(zhì)點(diǎn)在1，2，3點(diǎn)上作隨機(jī)游動(dòng)。若在時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于這三個(gè)點(diǎn)之一，則在內(nèi)，它都以概率 分別轉(zhuǎn)移到其它兩點(diǎn)之一。試求質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)游動(dòng)的柯爾莫哥洛夫微分方程，轉(zhuǎn)移概率及平穩(wěn)分布。1有隨機(jī)過程x(t)，-¥<t<¥和h(t)，-¥<t<¥，設(shè)x

3、(t)=A sin(w t+Q)，h(t)=B sin(w t+Q+f), 其中A，B，w，f為實(shí)常數(shù)，Q均勻分布于0，2p，試求Rxh(s,t) 2（15分）隨機(jī)過程x(t)=Acos(wt+F )，-¥<t <+¥，其中A, w,F 是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的隨機(jī)變量，EA=2, DA=4, w 是在-5, 5上均勻分布的隨機(jī)變量，F(xiàn) 是在-p，p上均勻分布的隨機(jī)變量。 試分析x(t)的平穩(wěn)性和各態(tài)歷經(jīng)性。3某商店顧客的到來服從強(qiáng)度為4人每小時(shí)的Poisson過程，已知商店9：00開門，試求：（1）在開門半小時(shí)中，無顧客到來的概率； （2）若已知開門半小時(shí)中無顧客到來

4、，那么在未來半小時(shí)中，仍無顧客到來的概率。4設(shè)某廠的商品的銷售狀態(tài)（按一個(gè)月計(jì)）可分為三個(gè)狀態(tài)：滯銷（用1表示）、正常（用2表示）、暢銷（用3表示）。若經(jīng)過對歷史資料的整理分析，其銷售狀態(tài)的變化（從這月到下月）與初始時(shí)刻無關(guān)，且其狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率為pij（pij表示從銷售狀態(tài)i經(jīng)過一個(gè)月后轉(zhuǎn)為銷售狀態(tài)j的概率），一步轉(zhuǎn)移開率矩陣為：試對經(jīng)過長時(shí)間后的銷售狀況進(jìn)行分析。5設(shè)X(t),t³0是獨(dú)立增量過程, 且X(0)=0, 證明X(t),t³0是一個(gè)馬爾科夫過程。6設(shè)是強(qiáng)度為的泊松過程，是一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，且與獨(dú)立，令，證明：若，則7.設(shè)明天是否有雨僅與今天的天氣有關(guān)，而與

5、過去的天氣無關(guān)。又設(shè)今天下雨而明天也下雨的概率為，而今天無雨明天有雨的概率為；規(guī)定有雨天氣為狀態(tài)0，無雨天氣為狀態(tài)1。設(shè)，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。8設(shè)是平穩(wěn)過程，令，其中w0是常數(shù)，Q為均勻分布在0,2p上的隨機(jī)變量，且與Q相互獨(dú)立，Rx(t)和Sx(w)分別是的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度，試證：（1）是平穩(wěn)過程，且相關(guān)函數(shù)：（2）的功率譜密度為：9已知隨機(jī)過程x(t )的相關(guān)函數(shù)為：，問該隨機(jī)過程x(t )是否均方連續(xù)？是否均方可微？1、設(shè)隨機(jī)過程，為常數(shù)，服從區(qū)間上的均勻分布。（1）求的一維概率密度和一維分布函數(shù)；（2）求的均值函數(shù)、相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)?！纠碚摶A(chǔ)】（1），則為密度函數(shù)

6、；（2）為上的均勻分布，概率密度函數(shù)，分布函數(shù)，；（3）參數(shù)為的指數(shù)分布，概率密度函數(shù)，分布函數(shù)，；（4）的正態(tài)分布，概率密度函數(shù)，分布函數(shù)，若時(shí)，其為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。【解答】本題可參加課本習(xí)題2.1及2.2題。（1）因?yàn)樯系木鶆蚍植迹瑸槌?shù)，故亦為均勻分布。由的取值范圍可知，為上的均勻分布，因此其一維概率密度，一維分布函數(shù)；（2）根據(jù)相關(guān)定義，均值函數(shù)；相關(guān)函數(shù)；協(xié)方差函數(shù)（當(dāng)時(shí)為方差函數(shù)）【注】；求概率密度的通解公式2、設(shè)是參數(shù)為的維納過程，是正態(tài)分布隨機(jī)變量；且對任意的，與均獨(dú)立。令，求隨機(jī)過程的均值函數(shù)、相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)?！窘獯稹看祟}解法同1題。依題意，因此服從于正態(tài)分布。故：均值函

7、數(shù)；相關(guān)函數(shù)；協(xié)方差函數(shù)（當(dāng)時(shí)為方差函數(shù)）3、 設(shè)到達(dá)某商場的顧客人數(shù)是一個(gè)泊松過程，平均每小時(shí)有180人，即；且每個(gè)顧客的消費(fèi)額是服從參數(shù)為的指數(shù)分布。求一天內(nèi)（8個(gè)小時(shí)）商場營業(yè)額的數(shù)學(xué)期望與方差?！窘獯稹看祟}可參見課本習(xí)題3.10題。由題意可知，每個(gè)顧客的消費(fèi)額是服從參數(shù)為的指數(shù)分布，由指數(shù)分布的性質(zhì)可知：，故，則由復(fù)合泊松過程的性質(zhì)可得：一天內(nèi)商場營業(yè)額的數(shù)學(xué)期望；一天內(nèi)商場營業(yè)額的方差。4、設(shè)馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣為：（1）求兩步轉(zhuǎn)移概率矩陣及當(dāng)初始分布為時(shí)，經(jīng)兩步轉(zhuǎn)移后處于狀態(tài)2的概率。（2）求馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布。【解答】可參考教材例4.3題及4.16題（1）兩步轉(zhuǎn)移概率矩陣當(dāng)

8、初始分布為時(shí)，故經(jīng)兩步轉(zhuǎn)移后處于狀態(tài)2的概率為0.35。（2）因?yàn)轳R爾可夫鏈?zhǔn)遣豢杉s的非周期有限狀態(tài)，所以平穩(wěn)分布存在。得如下方程組解上述方程組得平穩(wěn)分布為5、設(shè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間，轉(zhuǎn)移概率矩陣為：求狀態(tài)的分類、各常返閉集的平穩(wěn)分布及各狀態(tài)的平均返回時(shí)間?！窘獯稹看祟}比較綜合，可參加例4.13題和4.16題畫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如下：42153（1）由上圖可知，狀態(tài)分類為（2）由上圖及常返閉集定義可知，常返閉集有兩個(gè)，下面分別求其平穩(wěn)分布及各狀態(tài)的平均返回時(shí)間。A、對常返閉集而言，解方程組解上述方程組得平穩(wěn)分布為則各狀態(tài)的平均返回時(shí)間分別為B、對常返閉集而言，解方程組解上述方程組得平穩(wěn)分布為則各狀態(tài)

9、的平均返回時(shí)間分別為6、設(shè)是參數(shù)為的泊松過程，計(jì)算?！窘獯稹?7、考慮一個(gè)從底層啟動(dòng)上升的電梯。以記在第層進(jìn)入電梯的人數(shù)。假定相互獨(dú)立，且是均值為的泊松變量。在第層進(jìn)入的各個(gè)人相互獨(dú)立地以概率在第層離開電梯，。令在第層離開電梯的人數(shù)。（1）計(jì)算（2）的分布是什么（3）與的聯(lián)合分布是什么【解答】此題與本書聯(lián)系不大，據(jù)有關(guān)方面信息，此次考試此題不考。以記在第層乘上電梯，在第層離去的人數(shù)，則是均值為的泊松變量,且全部相互獨(dú)立。因此：(1) (2) 由泊松變量的性質(zhì)知，(3) 因，則，為期望。8、一質(zhì)點(diǎn)在1，2，3點(diǎn)上作隨機(jī)游動(dòng)。若在時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于這三個(gè)點(diǎn)之一，則在內(nèi)，它都以概率 分別轉(zhuǎn)移到其它兩點(diǎn)之一

10、。試求質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)游動(dòng)的柯爾莫哥洛夫微分方程，轉(zhuǎn)移概率及平穩(wěn)分布。【解答】參見教材習(xí)題5.2題依題意，由得，柯爾莫哥洛夫向前方程為，由于狀態(tài)空間，故，所以，解上述一階線性微分方程得：，由初始條件確定常數(shù)，得故其平穩(wěn)分布1、有隨機(jī)過程x(t)，-¥<t<¥和h(t)，-¥<t<¥，設(shè)x(t)=A sin(w t+Q)，h(t)=B sin(w t+Q+f), 其中A，B，w，f為實(shí)常數(shù)，Q均勻分布于0，2p，試求Rxh(s,t) 1.解：2、隨機(jī)過程x(t)=Acos(wt+F )，-¥<t <+¥，其中

11、A, w,F 是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的隨機(jī)變量，EA=2, DA=4, w 是在-5, 5上均勻分布的隨機(jī)變量，F(xiàn) 是在-p，p上均勻分布的隨機(jī)變量。 試分析x(t)的平穩(wěn)性和各態(tài)歷經(jīng)性。2、解： 所以具有平穩(wěn)性。故均值具有各態(tài)歷經(jīng)性。故相關(guān)函數(shù)不具有各態(tài)歷經(jīng)性。3、某商店顧客的到來服從強(qiáng)度為4人每小時(shí)的Poisson過程，已知商店9：00開門，試求：（1）在開門半小時(shí)中，無顧客到來的概率；（2）若已知開門半小時(shí)中無顧客到來，那么在未來半小時(shí)中，仍無顧客到來的概率。3、解：設(shè)顧客到來過程為N(t), t>=0，依題意N(t)是參數(shù)為l的Poisson過程。（1）在開門半小時(shí)中，無顧客到來的概率為

12、：（2）在開門半小時(shí)中無顧客到來可表示為，在未來半小時(shí)仍無顧客到來可表示為，從而所求概率為：4、設(shè)某廠的商品的銷售狀態(tài)（按一個(gè)月計(jì)）可分為三個(gè)狀態(tài)：滯銷（用1表示）、正常（用2表示）、暢銷（用3表示）。若經(jīng)過對歷史資料的整理分析，其銷售狀態(tài)的變化（從這月到下月）與初始時(shí)刻無關(guān)，且其狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率為pij（pij表示從銷售狀態(tài)i經(jīng)過一個(gè)月后轉(zhuǎn)為銷售狀態(tài)j的概率），一步轉(zhuǎn)移開率矩陣為：試對經(jīng)過長時(shí)間后的銷售狀況進(jìn)行分析。4、解答：由一步轉(zhuǎn)移概率矩陣可知狀態(tài)互通，且pii>0，從而所有狀態(tài)都是遍歷狀態(tài)，于是極限分布就是平穩(wěn)分布。設(shè)平穩(wěn)分布為p=p1，p2，p3，求解方程組：p=pP, p1+p2+p3=1即：得：即極限分布為：由計(jì)算結(jié)果可以看出：經(jīng)過相當(dāng)長時(shí)間后，正常銷售狀態(tài)的可能性最大，而暢銷狀態(tài)的可能性最小。5、試對以下列矩陣為一步轉(zhuǎn)移概率矩陣的齊次馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間進(jìn)行分解。（1）（2）5、6、一個(gè)服務(wù)系統(tǒng)，顧客按強(qiáng)度為l的Poisson過程到達(dá)，系統(tǒng)內(nèi)只有一個(gè)服務(wù)員，并且服務(wù)時(shí)間服從參數(shù)為m的負(fù)指數(shù)分布，如果服務(wù)系統(tǒng)內(nèi)沒有顧客，則顧客到達(dá)就開始服務(wù)，否則他就排隊(duì)。但是，如果系統(tǒng)內(nèi)有兩個(gè)顧客在排隊(duì)，他就離開而不返回。令x(t)表示服務(wù)系統(tǒng)中的顧客數(shù)目。（1）寫出狀態(tài)空間；（2）求Q矩陣7、設(shè)是平穩(wěn)過程，令，其中w0是