高中數(shù)學(xué)推理與證明 211 合情推理一 習(xí)題 蘇教版選修22

1、2.1.1合情推理(一)明目標(biāo)、知重點(diǎn)1.了解歸納推理的含義，能利用歸納推理進(jìn)行簡單的推理.2.了解歸納推理在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用1歸納推理從個(gè)別事實(shí)中推演出一般性的結(jié)論的推理稱為歸納推理歸納推理的思維過程大致是實(shí)驗(yàn)、觀察概括、推廣猜測一般性結(jié)論2歸納推理的特點(diǎn)(1)歸納推理是從特殊到一般的推理；(2)由歸納推理得到的結(jié)論不一定正確；(3)歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理 情境導(dǎo)學(xué)佛教百喻經(jīng)中有這樣一則故事從前有一位富翁想吃芒果，打發(fā)他的仆人到果園去買，并告訴他：“要甜的，好吃的，你才買”仆人拿好錢就去了到了果園，園主說：“我這里樹上的芒果個(gè)個(gè)都是甜的，你嘗一個(gè)看”仆人說：“我嘗一個(gè)怎能知道全體呢？

2、我應(yīng)當(dāng)個(gè)個(gè)都嘗過，嘗一個(gè)買一個(gè)，這樣最可靠”仆人于是自己動(dòng)手摘芒果，摘一個(gè)嘗一口，甜的就都買回去帶回家去，富翁見了，覺得非常惡心，一齊都扔了想一想：故事中仆人的做法實(shí)際嗎？換作你，你會(huì)怎么做？學(xué)習(xí)了下面的知識(shí)，你將清楚是何道理探究點(diǎn)一歸納推理思考1在日常生活中我們常常遇到這樣一些問題：看到天空烏云密布，燕子低飛，螞蟻搬家等現(xiàn)象時(shí)，我們會(huì)得出一個(gè)判斷天要下雨了；張三今天沒來上課，我們會(huì)推斷張三一定生病了；諺語說：“八月十五云遮月，來年正月十五雪打燈”等，像上面的思維方式就是推理，請問你認(rèn)為什么是推理？答根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知命題得出另一個(gè)新命題的思維過程稱為推理思考2觀察下面兩個(gè)推理，回答后面的兩個(gè)

3、問題：(1)哥德巴赫猜想：422633835105512571477165111 000299711 002139863猜想：任何大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和(2)銅、鐵、鋁、金、銀等金屬都能導(dǎo)電，猜想：一切金屬都能導(dǎo)電問題：以上兩個(gè)推理在思維方式上有什么共同特點(diǎn)？其結(jié)論一定正確嗎？答共同特點(diǎn)：部分推出整體，個(gè)別推出一般(這種推理稱為歸納推理)其結(jié)論不一定正確小結(jié)從個(gè)別事實(shí)中推演出一般性的結(jié)論的推理稱為歸納推理歸納推理的思維過程大致是實(shí)驗(yàn)、觀察概括、推廣猜測一般性結(jié)論探究點(diǎn)二歸納推理在數(shù)列中的應(yīng)用例 1已知數(shù)列an的第1項(xiàng)a11，且an1(n1,2,3，)，試歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式解當(dāng)

4、n1時(shí)，a11；當(dāng)n2時(shí)，a2；當(dāng)n3時(shí)，a3；當(dāng)n4時(shí)，a4.通過觀察可得：數(shù)列的前四項(xiàng)都等于相應(yīng)序號(hào)的倒數(shù)，由此歸納出an.反思與感悟(1)歸納推理的思想：對于集合 a、b、c、d、e、f ，若a、b、c、dA，則a、b、c、d、e、fA.(2)歸納推理的一般步驟：通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題(猜想)(3)歸納推理的意義：歸納推理在數(shù)列中應(yīng)用廣泛，我們可以從數(shù)列的前幾項(xiàng)具有的規(guī)律，歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式或探求數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，其正確性有待證明，但為證明正確性提供了方向跟蹤訓(xùn)練1已知數(shù)列an滿足a11，an12an1(n1,2,3，)(1)求

5、a2，a3，a4，a5；(2)歸納猜想通項(xiàng)公式an.解(1)當(dāng)n1時(shí)，知a11，由an12an1得a23，a37，a415，a531.(2)由a11211，a23221，a37231，a415241，a531251，可歸納猜想出an2n1(nN*)探究點(diǎn)三歸納推理在圖形變化中的應(yīng)用例 2在法國巴黎舉行的第52屆世乒賽期間，某商場櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第1堆只有一層，就一個(gè)球；第2,3,4，堆最底層(第一層)分別按圖所示方式固定擺放，從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放一個(gè)乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球總數(shù)，則f(3)_；f(n)

6、_(答案用含n的代數(shù)式表示)答案10解析觀察圖形可知：f(1)1，f(2)4，f(3)10，f(4)20，故下一堆的個(gè)數(shù)是上一堆個(gè)數(shù)加上下一堆第一層的個(gè)數(shù)，即f(2)f(1)3；f(3)f(2)6；f(4)f(3)10；f(n)f(n1).將以上(n1)個(gè)式子相加可得f(n)f(1)3610(1222n2)(123n)n(n1)(2n1).反思與感悟解例2的關(guān)鍵在于尋找遞推關(guān)系式：f(n)f(n1)，然后用“疊加法”求通項(xiàng)，而第一層的變化規(guī)律，結(jié)合圖利用不完全歸納法可得，即為正整數(shù)前n項(xiàng)和的變化規(guī)律跟蹤訓(xùn)練2在平面內(nèi)觀察：凸四邊形有2條對角線，凸五邊形有5條對角線，凸六邊形有9條對角線，由此猜

7、想凸n(n4且nN*)邊形有幾條對角線？解凸四邊形有2條對角線，凸五邊形有5條對角線，比凸四邊形多3條，凸六邊形有9條對角線，比凸五邊形多4條，于是猜想凸n邊形比凸(n1)邊形多(n2)條對角線因此凸n邊形的對角線條數(shù)為2345(n2)n(n3)(n4且nN*)探究點(diǎn)四歸納推理在算式問題中的應(yīng)用例3觀察下面等式，并從中歸納出一般法則112，1322，13532，135742，1357952，解對于等式，等號(hào)左端是整數(shù)，且是從1開始的n項(xiàng)的和，等號(hào)的右端是項(xiàng)數(shù)的平方猜想結(jié)論：135(2n1)n2(nN)反思與感悟?qū)τ谶\(yùn)算式的猜測和推廣，這一類問題需要觀察的方面很多：首先是式子的共同結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，其次

8、是式子中出現(xiàn)的字母之間的關(guān)系，還有化簡或運(yùn)算的結(jié)果等等另外要注意對較為復(fù)雜的運(yùn)算式，不要化簡，這樣便于觀察運(yùn)算規(guī)律和結(jié)構(gòu)上的共同點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練3在ABC中，不等式成立；在四邊形ABCD中，不等式成立；在五邊形ABCDE中，不等式成立猜想在n邊形A1A2An中有怎樣的不等式成立？答案(n3且nN*)1已知 2，3，4，若 6(a、b均為實(shí)數(shù))請推測a_，b_.答案635解析由前面三個(gè)等式，發(fā)現(xiàn)被開方數(shù)的整數(shù)與分?jǐn)?shù)的關(guān)系：整數(shù)和這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子相同，而分母是這個(gè)分子的平方減1，由此推測 中，a6，b62135.2下圖為一串白黑相間排列的珠子，按這種規(guī)律往下排起來，那么第36顆珠子的顏色應(yīng)是_答案白色解析

9、由圖知：三白二黑周而復(fù)始相繼排列，36÷57余1.第36顆珠子的顏色為白色3將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：按照以上排列的規(guī)律，第n行(n3)從左向右的第3個(gè)數(shù)為_答案解析前n1行共有正整數(shù)12(n1)個(gè)，即個(gè)，因此第n行第3個(gè)數(shù)是全體正整數(shù)中第3個(gè)，即為.4如圖，觀察圖形規(guī)律，在其右下角的空格處畫上合適的圖形，應(yīng)為_答案解析觀察圖中每一行，每一列的規(guī)律，從形狀和顏色入手每一行，每一列中三種圖形都有，故填長方形又每一行每一列中的圖形的顏色應(yīng)有二黑一白呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律歸納推理的一般步驟：(1)對有限的資料進(jìn)行觀察、分析、歸納、整理，發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)；(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確

10、表述的一般命題，提出帶有規(guī)律性的結(jié)論，即猜想注意：一般性的命題往往要用字母表示，這時(shí)需注明字母的取值范圍.一、基礎(chǔ)過關(guān)1數(shù)列5,9,17,33，x，中的x_答案65解析5221,9231,17241,33251，歸納可得：x26165.2根據(jù)給出的數(shù)塔猜測123 456×97_.1×921112×93111123×941 1111 234×9511 11112 345×96111 111答案1 111 111解析由數(shù)塔猜測應(yīng)是各位都是1的七位數(shù)，即1 111 111.3觀察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由歸納

11、推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(x)_.答案g(x)解析由所給函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)知，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)因此當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時(shí)，其導(dǎo)函數(shù)應(yīng)為奇函數(shù)，故g(x)g(x)4f(n)1(nN*)，經(jīng)計(jì)算得f(2)，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，推測當(dāng)n2時(shí)，有_答案f(2n)>(n2)解析觀測f(n)中n的規(guī)律為2k(k1,2，)不等式右側(cè)分別為，k1,2，f(2n)>(n2)5已知sin230°sin290°sin2150°，sin25°

12、sin265°sin2125°. 通過觀察上述兩等式的規(guī)律，請寫出一個(gè)一般性的命題：_.答案sin2(60°)sin2sin2(60°)6觀察下列等式11234934567254567891049照此規(guī)律，第n個(gè)等式為_答案n(n1)(3n2)(2n1)27已知正項(xiàng)數(shù)列an滿足Sn(an)，求出a1，a2，a3，a4，并推測an.解a1S1(a1)，又因?yàn)閍1>0，所以a11.當(dāng)n2時(shí)，Sn(an)，Sn1(an1)，兩式相減得：an(an)(an1)，即an(an1)所以a22，又因?yàn)閍2>0，所以a21.a32，又因?yàn)閍3>0，所以

13、a3.a42，又因?yàn)閍4>0，所以a42.將上面4個(gè)式子寫成統(tǒng)一的形式：a1，a2，a3，a4，由此可以歸納推測：an.二、能力提升8古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù)，如三角形數(shù)1,3,6,10，第n個(gè)三角形數(shù)為n2n，記第n個(gè)k邊形數(shù)為N(n，k)(k3)，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式：三角形數(shù)N(n,3)n2n，正方形數(shù) N(n,4)n2，五邊形數(shù) N(n,5)n2n，六邊形數(shù) N(n,6)2n2n可以推測N(n，k)的表達(dá)式，由此計(jì)算N(10,24)_.答案1 000解析由N(n,4)n2，N(n,6)2n2n，可以推測：當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，N(n，k)n2n，

14、N(10,24)×100×101 1001001 000.9傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上面畫點(diǎn)或用小石子表示數(shù)他們研究過如圖所示的三角形數(shù)：將三角形數(shù)1,3,6,10，記為數(shù)列an，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列bn，可以推測：(1)b2 012是數(shù)列an中的第_項(xiàng)；(2)b2k1_.(用k表示)答案(1)5 030(2)解析由以上規(guī)律可知三角形數(shù)1,3,6,10，的一個(gè)通項(xiàng)公式為an，寫出其若干項(xiàng)有1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120，發(fā)現(xiàn)其中能被5整除的為10,15,45,55,10

15、5,120，故b1a4，b2a5，b3a9，b4a10，b5a14，b6a15.從而由上述規(guī)律可猜想：b2ka5k(k為正整數(shù))，b2k1a5k1(5k1)×，故b2 012b2×1 006a5×1 006a5 030，即b2 012是數(shù)列an中的第5 030項(xiàng)10觀察下列等式1211222312223261222324210照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為_答案12223242(1)n1n2(1)n1·解析觀察等式左邊的式子，每次增加一項(xiàng)，故第n個(gè)等式左邊有n項(xiàng)，指數(shù)都是2，且正、負(fù)相間，所以等式左邊的通項(xiàng)為(1)n1n2.等式右邊的值的符號(hào)也是正、負(fù)相間，其絕對值分別為1,3,6,10,15,21，.設(shè)此數(shù)列為an，則a2a12，a3a23，a4a34，a5a45，anan1n，各式相加得ana1234n，即an123n.所以第n個(gè)等式為12223242(1)n1n2(1)n1·.11根據(jù)下列條件，寫出數(shù)列的前4項(xiàng)，并歸納猜想它的通項(xiàng)公式(1)a1a，an1；(2)對一切的nN*，an>0，且2an1.解(1)由已知可得a1a，a2，a3，a4.猜想an(nN*)(2)2an1，2a11，即2a11，a11.又2a21，2a21，a2a230，對一切的nN*，an>0，a23.同理可求得a35，a47，猜想出an2n1(