高級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)效用最大化UMP

1、第五講、效用最大化UMP主要內(nèi)容：(pp1-32)1、 Introduction:consumption set, feasible set, preference and utility, and behavioral assumption2、 contents:消費(fèi)者的偏好與預(yù)算集，消費(fèi)者均衡的特征，由效用函數(shù)推導(dǎo)需求函數(shù)，間接效用函數(shù)及其性質(zhì)。第一節(jié)、budget constraint and feasible set一、定義definitions1、 商品goods，economic goods 和free goods度量：離散還是連續(xù)，infinitely divisible, 同質(zhì)

2、還是差異產(chǎn)品,different goods, 2、商品空間goods spaceconsumption bundle or plannonnegative orthant3、消費(fèi)集consumption set or choice setset of all alternative consumption plans which is conceivable and feasible given the technological and institutional situation.(without consideration of economic realities)消費(fèi)集內(nèi)的元素是

3、alternatives技術(shù)和制度上的可能性assumptions:,使問(wèn)題有意義出于分析上的方便和需要：is closed,is convexpay more attention to feasible set4、競(jìng)爭(zhēng)性預(yù)算集預(yù)算約束刻畫(huà)消費(fèi)者所處的經(jīng)濟(jì)環(huán)境：稀缺性和可替代性競(jìng)爭(zhēng)性預(yù)算集（1）假設(shè)：市場(chǎng)完備性和競(jìng)爭(zhēng)性（2）（3）預(yù)算約束線(xiàn)（4）預(yù)算約束線(xiàn)的斜率及其經(jīng)濟(jì)學(xué)含義，trade-off:斜率取決于商品的相對(duì)價(jià)格的含義是增加一個(gè)單位的第一種商品必須放棄掉個(gè)單位的第二種商品，也往往被稱(chēng)為機(jī)會(huì)成本。二、練習(xí)1、 實(shí)物補(bǔ)貼2、 荒島上的魯濱遜3、魯濱遜和星期五，稟賦約束與市場(chǎng)交換的作用第二節(jié)

4、、偏好和效用函數(shù)preferences and utility function一、定義定義于消費(fèi)集上排序ranking order偏好的形成和變化在經(jīng)濟(jì)學(xué)范疇之外：經(jīng)濟(jì)學(xué)對(duì)marketing（心理學(xué)和哲學(xué)領(lǐng)域）的緩慢滲入狀態(tài)依賴(lài)偏好，例如商品組合（暖氣，冷氣）二、preference relation1、偏好關(guān)系a binary relation defined on the consumption set is called a preference relation if it satisfies completeness and transitivity, denoted as.Def

5、ine completeness and transitivity對(duì)于消費(fèi)集中的任意的，或者，或者對(duì)于任意三個(gè)消費(fèi)計(jì)劃，如果，且，那么。Problem: define strict preference relation and indifference relation嚴(yán)格偏好關(guān)系:無(wú)差異關(guān)系2、sets relative to a consumption bundle給定偏好關(guān)系和一個(gè)消費(fèi)束，可以定義如下集合：indifference set無(wú)差異集：，at least as good as set上優(yōu)集：，no better than set下劣集：。三、axioms and exist

6、ence of utility function1、 rationality definition: completeness, and transitivityshow: rational preference relation is reflexivewhy is it not included in the rationality: redundant排除了什么情況：違背完備性的情況：和同時(shí)成立違背傳遞性意味著存在如下的情況：，且，但是。傳遞性排除了關(guān)系中的cycle模型化了消費(fèi)者可以進(jìn)行比較和做出選擇的思想: consumer can make consistent compariso

7、ns among alternatives例子：OPI折價(jià)知道了排除了什么之后，我們來(lái)看它蘊(yùn)涵著什么？proposition1.1if is rational, then1)is both irreflexive and transitive2)is reflexive, transitive, and symmetric3)if ,then 競(jìng)爭(zhēng)性的理論：行為經(jīng)濟(jì)學(xué)：人的行為是適應(yīng)性的阿爾欽：社會(huì)達(dá)爾文主義2、 continuityaxiom: for all ,the “at least as good as ”set and the “no better than ”set are cl

8、osed blem: deduce that indifference set is closedrule out open area in the indifference setunderstanding: sequence converges to y, then .Example not conformed to this axiom: ，but, ,在極限上，偏好突然倒轉(zhuǎn)。例子：獎(jiǎng)牌榜rule out dictionary preference（非連續(xù)的，字典式偏好，經(jīng)濟(jì)學(xué)為什么不關(guān)心這種情況，不允許替代）3、效用函數(shù)，效用指數(shù)，效用函數(shù)的存在性：理性是必要條件；連續(xù)性是

9、充分條件,效用函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)。（math: any binary relation that is complete, transitive, and continuous can be represented by a continuous real-valued utility function）是效用函數(shù)嗎？當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，那么我們說(shuō)是描述偏好關(guān)系的效用函數(shù)ordinal utility序數(shù)效用論與描述一個(gè)偏好的效用函數(shù)的非唯一性。Nonuniqueness of utility representing a preference relation，no significance of u

10、tility and marginal utility.證明：一個(gè)效用函數(shù)的正單調(diào)變換描述相同的偏好。Problem: is it possible that two indifference curves cross?四、additional assertions1、局部非飽和性Local nonsatiation在給定一個(gè)點(diǎn)的任何領(lǐng)域內(nèi)，無(wú)論這個(gè)鄰域多么小，將總會(huì)存在至少一個(gè)點(diǎn)，使得消費(fèi)者更為偏好。For all ,and for all ,there exists some such that .排除了厚的無(wú)差異集zone of indifference兩種商品的情況：圖示及無(wú)差異曲線(xiàn)無(wú)

11、差異曲線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式problems remained: does this axiom imply that more is better than less?2、單調(diào)性monotonicity對(duì)于所有的消費(fèi)集中的，如果，那么。如果，那么，則稱(chēng)為嚴(yán)格單調(diào)性。Strong monotonicity單調(diào)遞增的效用函數(shù)處理上的技巧：勞動(dòng)閑暇模型不滿(mǎn)足單調(diào)性的例子：均值方差效用函數(shù)，宏觀調(diào)控中政府的效用函數(shù)單調(diào)性限制了無(wú)差異集內(nèi)的商品組合之間的替代關(guān)系，而如果不滿(mǎn)足單調(diào)性則是補(bǔ)償關(guān)系。3、擬凹quasi-concave與嚴(yán)格擬凹strictly quasi-concave（注意用語(yǔ)，偏好是擬凹的，上

12、優(yōu)集是凸的）上優(yōu)集是凸集如果，那么對(duì)于所有的，都有Rule out concave-to-the-origin segment in the indifference sets圖示擬凹的三種情況：完全替代，完全互補(bǔ)，以及中間情況嚴(yán)格擬凹：如果，那么，就有。無(wú)差異曲線(xiàn)凸向原點(diǎn)4、嚴(yán)格擬凹與邊際替代率遞減（1）邊際替代率marginal rate of substitution邊際替代率：解讀邊際替代率：消費(fèi)者愿意為一種商品放棄的另一種商品的比率the rate at which the consumer is willing to give up in exchange for ,such th

13、at he remains indifferent after the exchange.邊際替代率也告訴了我們消費(fèi)者愿意如何交換的信息邊際支付意愿邊際替代率反映了消費(fèi)者對(duì)商品的主觀評(píng)價(jià)（2）邊際替代率遞減principle of diminishing marginal rate of subsitution邊際替代率遞減的條件問(wèn)題：邊際效用遞減和邊際替代率遞減的關(guān)系歷史：馬歇爾效用函數(shù)和埃奇沃斯效用函數(shù)邊際替代率遞減與嚴(yán)格擬凹的效用函數(shù)：圖示：無(wú)差異曲線(xiàn)上任一點(diǎn)沿切線(xiàn)移動(dòng)，效用水平下降沿切線(xiàn)移動(dòng)，效用函數(shù)嚴(yán)格擬凹邊際替代率遞減，for all dx such that .參見(jiàn)教科書(shū)18頁(yè)（

14、3）行為含義從嚴(yán)格擬凹的定義推出來(lái)，令，balanced bundles of goods are preferred to extreme bundles問(wèn)題：下面有三個(gè)商品組合（100，200）；（120，160）；（110，180），而且，已知消費(fèi)者對(duì)前兩個(gè)商品組合是無(wú)差異的，那么推斷消費(fèi)者的選擇。5、擬凹偏好與替代彈性（1）替代彈性（2）三種擬凹偏好（3）問(wèn)題：如何通過(guò)消費(fèi)者行為數(shù)據(jù)估計(jì)替代彈性；如何找到邊際替代率的數(shù)據(jù)；需要控制什么？第三節(jié)、消費(fèi)者均衡的特征一、效用最大化1、 如何刻畫(huà)消費(fèi)者：消費(fèi)者的特征可以記為2、 公理化假設(shè)：消費(fèi)者選擇使得對(duì)于所有的。3、 效用最大化問(wèn)題：，。4

15、、 拉格朗日函數(shù)：，這是因?yàn)?，約束方程的形式為，這保證庫(kù)恩塔克乘子非負(fù)。5、 庫(kù)恩塔克條件assumption: utility function is differentiable6、 解的概念：proposition: if utility function is strictly increasing, then , then the budget constraint is binding, which is called the balance of budget constraint.Problem：how to incorporate the savingSimplify the

16、 FOCInterior solution Simplify the FOCTheorem: if the utility function is continuous and quasiconcave, then FOC is sufficient(textbook theorem1.4)example: second order sufficient condition（1） 以?xún)煞N商品的模型為例，一階條件為加邊海塞矩陣為從一階條件中，我們有，再根據(jù)二階條件，我們有，即要求，因此，這正是嚴(yán)格擬凹的條件。corner solution二、消費(fèi)者均衡的特征：內(nèi)點(diǎn)解2、 story1：等邊際原則

17、無(wú)套利均衡：在均衡時(shí)，不存在不增加支出的前提下僅僅通過(guò)改變收入的配置增大效用的機(jī)會(huì)。方法：設(shè)購(gòu)買(mǎi)商品1的支出增加，那么，購(gòu)買(mǎi)第二種商品的支出減少。利用全微分的方法，我們有，只有當(dāng)時(shí)無(wú)套利機(jī)會(huì)。問(wèn)題：公司報(bào)酬方案；醫(yī)院的預(yù)算支出。3、 story2：在預(yù)算約束下選擇最偏好的商品組合理解：邊際替代率=價(jià)格比。解讀：切點(diǎn)之外的其他商品組合的信息。問(wèn)題：我總是贏家三、消費(fèi)者均衡的特征：角點(diǎn)解給出一個(gè)可能的角點(diǎn)解：利用套利的方法理解：為什么不減少第一種商品上的支出呢：利用選擇更偏好的商品組合理解：非負(fù)約束利用庫(kù)恩塔克條件解讀：如果，那么。的含義是什么，的含義是什么。第四節(jié)、偏好與需求一、需求函數(shù)的存在性

18、二階充分條件還保證了最優(yōu)解的唯一性，那么我們根據(jù)效用最大化的一階條件就可以得到，也就是說(shuō)效用最大化使我們得到一組需求函數(shù)，這種需求函數(shù)被稱(chēng)為瓦爾拉斯需求，如果我們?cè)O(shè)定名義收入給定和其他商品價(jià)格給定，考察一種商品的需求量和該商品自身價(jià)格之間的關(guān)系，我們就得到了馬歇爾需求。二、 偏好與需求：位似偏好1、 定義：如果有，那么就有2、 用處：從一個(gè)無(wú)差異集可以非常容易的得到所有的無(wú)差異集3、 位似函數(shù)：位似函數(shù)是一個(gè)一次齊次函數(shù)的單調(diào)變換，即如果函數(shù)是位似的，當(dāng)且僅當(dāng)它可以表示成，其中，是一次齊次的，是單調(diào)函數(shù)。4、 Cobb-Douglas 效用函數(shù)，其中a、b都大于零，這意味著邊際替代率僅僅取決于

19、兩種商品的比例，與絕對(duì)值無(wú)關(guān)，從而應(yīng)該有。需求函數(shù)與預(yù)算份額對(duì)此函數(shù)的驗(yàn)證方法三、偏好與需求：完全替代（習(xí)題課）四、偏好與需求：完全互補(bǔ)（習(xí)題課）五、偏好與需求：不變替代彈性1、 函數(shù)2、 替代彈性3、 需求(textbook example 1.1)4、 為什么theorists 青睞此函數(shù)generality: 證明：習(xí)題課六、偏好與需求：擬線(xiàn)性偏好1、 定義：效用函數(shù)意味著效用對(duì)于第一種商品是擬線(xiàn)性的2、 如何用于局部均衡分析，組合商品與計(jì)價(jià)物，貨幣的邊際效用為1。3、 圖示其特點(diǎn)4、 需求曲線(xiàn)和邊際效用的關(guān)系第五節(jié)、間接效用函數(shù)及其性質(zhì)一、定義1、 間接效用函數(shù)定義為，。如果是消費(fèi)者在收入和價(jià)格約束下的最優(yōu)選擇，那么。2、 價(jià)格和收入定義了預(yù)算集，在給定偏好關(guān)系的前提下，從一個(gè)預(yù)算集得到的最高效用被稱(chēng)為間接效用，通過(guò)比較間接效用可以比較預(yù)算集的優(yōu)劣，有時(shí)人們把這種偏好關(guān)系稱(chēng)為間接偏好關(guān)系，它定義在預(yù)算集空間上，而直接偏好關(guān)系定義在商品集上。3、 在價(jià)格變化的規(guī)范