高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)39721

1、理科數(shù)學(xué)歸納法知識(shí)總結(jié)一 基本概念1.運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題要分兩步,第一步是歸納奠基(或遞推基礎(chǔ)),第二步是歸納遞推(或歸納假設(shè)),兩步缺一不可二 易錯(cuò)點(diǎn) 1.歸納起點(diǎn)易錯(cuò)（1）n未必是從n=1開始例 用數(shù)學(xué)歸納法證明：凸n邊形的對(duì)角線條數(shù)為點(diǎn)拔：本題的歸納起點(diǎn)n=3（2） n=1時(shí)的表達(dá)式例 用數(shù)學(xué)歸納法證明，在驗(yàn)證n=1時(shí)，左邊計(jì)算所得的式子是（ ）A. 1 B. C. D. 點(diǎn)撥 n=1時(shí)，左邊的最高次數(shù)為1，即最后一項(xiàng)為，左邊是，故選B2.沒有運(yùn)用歸納假設(shè)的證明不是數(shù)學(xué)歸納法例1 用數(shù)學(xué)歸納法證明：錯(cuò)證：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左=右=1，等式成立（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，則當(dāng)n=k+

2、1時(shí)，綜合（1）（2），等式對(duì)所有正整數(shù)都成立點(diǎn)撥：錯(cuò)誤原因在于只有數(shù)學(xué)歸納法的形式，沒有數(shù)學(xué)歸納法的“實(shí)質(zhì)”即在歸納遞推中，沒有運(yùn)用歸納假設(shè)3 從n=k到n=k+1增加項(xiàng)錯(cuò)誤例1 已知n是正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，若已假設(shè)n=k（且為偶數(shù)）時(shí)命題為真，則還需證明（ ）A.n=k+1時(shí)命題成立 B. n=k+2時(shí)命題成立 C. n=2k+2時(shí)命題成立 D. n=2（k+2）時(shí)命題成立點(diǎn)撥：因n是正偶數(shù)，故只需證等式對(duì)所有偶數(shù)都成立，因k的下一個(gè)偶數(shù)是k+2，故選例2 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程中，由k推導(dǎo)到k+1時(shí)，不等式左邊增加的式子是 點(diǎn)撥：求即可當(dāng) n=k時(shí)， 左邊，n=k+1時(shí)，左

3、邊,故左邊增加的式子是，即三 知識(shí)應(yīng)用用數(shù)學(xué)歸納法可以證明許多與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，其中包括恒等式、不等式、數(shù)列通項(xiàng)公式、整除性問題、幾何問題等 1 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式例1 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式：證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左=右，等式成立（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即則n=k+1時(shí)當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立綜合（1）（2），等式對(duì)所有正整數(shù)都成立例2 用數(shù)學(xué)歸納法證明：證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊，右邊，左邊=右邊，等式成立（2）假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，即：則當(dāng)n=k+1時(shí)當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立綜合（1）（2），等式對(duì)所有正整數(shù)都成立2 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式例1 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等

4、式證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=，右邊=2，不等式成立（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立，即則當(dāng)n=k+1時(shí)當(dāng)n=k+1時(shí)， 不等式也成立綜合（1）（2），不等式對(duì)所有正整數(shù)都成立注意（1）數(shù)學(xué)歸納法證明命題，格式嚴(yán)謹(jǐn)，必須嚴(yán)格按步驟進(jìn)行；（2）歸納遞推是證明的難點(diǎn)，應(yīng)看準(zhǔn)“目標(biāo)”進(jìn)行變形；（3）由k推導(dǎo)到k+1時(shí)，有時(shí)可以“套”用其它證明方法，如：比較法、分析法等，表現(xiàn)出數(shù)學(xué)歸納法“靈活”的一面例2證明不等式 (nN)證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=2左邊<右邊，不等式成立（2）假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，即則當(dāng)n=k+1時(shí)，當(dāng)n=k+1時(shí)， 不等式也成立綜合（1）（2），不等式對(duì)所

5、有正整數(shù)都成立3 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題例1 求證：能被6 整除.證明：（1）當(dāng)時(shí)，13+5×1=6能被6整除，命題正確；（2）假設(shè)時(shí)命題正確，即能被6整除，則當(dāng)時(shí)，兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)的乘積是偶數(shù)，能被6整除，能被6整除，即當(dāng)時(shí)命題也正確，當(dāng)n=k+1時(shí)， 命題也成立綜合（1）（2），命題對(duì)所有正整數(shù)都成立例2 證明：能被整除證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，能被整除；（2）假設(shè)n=k時(shí)命題成立，即能被整除可設(shè)（其中為次多項(xiàng)式）則當(dāng)n=k+1時(shí)，能被整除當(dāng)n=k+1時(shí)， 命題也成立綜合（1）（2），命題對(duì)所有正整數(shù)都成立4 用“歸納猜想證明”解決數(shù)列問題 例1 在數(shù)列中，（1）寫出；（2）求數(shù)列

6、的通項(xiàng)公式解：（1），猜想下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，由上面的探求可知猜想成立（2）假設(shè)n=k時(shí)猜想成立，即則n=k+1時(shí) 當(dāng)n=k+1時(shí)， 猜想也成立綜合（1）（2），猜想對(duì)所有正整數(shù)都成立例2 在數(shù)列中，其中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式解：，.由此可猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式為.以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1) 當(dāng)n=1時(shí)，,等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即.則當(dāng)n=k+1時(shí)，當(dāng)n=k+1時(shí)， 猜想也成立綜合（1）（2），數(shù)列的通項(xiàng)公式5用“歸納猜想證明”解決幾何問題例1n個(gè)半圓的圓心在同一條直線l上，這n個(gè)半圓每?jī)蓚€(gè)都相交，且都在直線l的同側(cè)，問這些半圓被所有的交點(diǎn)最多分成多少段圓??？

7、分析：設(shè)這些半圓最多互相分成f (n)段圓弧，采用由特殊到一般的方法，進(jìn)行猜想和論證 當(dāng)n=2時(shí)，由圖(1)兩個(gè)半圓交于一點(diǎn)，則分成4段圓弧，故f (2)=4=22當(dāng)n=3時(shí)，由圖(2)三個(gè)半徑交于三點(diǎn)，則分成9段圓弧，故f (3)=9=32由n=4時(shí)，由圖(3)三個(gè)半圓交于6點(diǎn)，則分成16段圓弧，故f (4)=16=42由此猜想滿足條件的n個(gè)半圓互相分成圓弧段有f (n)=n2用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：（1）當(dāng)n=2時(shí)，上面已證（2）設(shè)n=k時(shí)，猜想成立，即f (k)=k2，則當(dāng)n=k+1時(shí)，第k+1個(gè)半圓與原k個(gè)半圓均相交，為獲得最多圓弧，任意三個(gè)半圓不能交于一點(diǎn)，所以第k+1個(gè)半圓把原k個(gè)半

8、圓中的每一個(gè)半圓中的一段弧分成兩段弧，這樣就多出k條圓弧；另外原k個(gè)半圓把第k+1個(gè)半圓分成k+1段，這樣又多出了k+1段圓弧 f (k+1)=k2+k+(k+1) =k2+2k+1=(k+1)2 滿足條件的k+1個(gè)半圓被所有的交點(diǎn)最多分成(k+1)2段圓弧當(dāng)n=k+1時(shí)， 猜想也成立綜合（1）（2）知 滿足條件的n個(gè)半圓被所有的交點(diǎn)最多分成n2段圓弧四 練習(xí)鞏固1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：1(n2-1)+2(n2-22)+n(n2-n2)=(nN*).2.用數(shù)學(xué)歸納法證明：1·2·3+2·3·4+n(n+1)(n+2)=(n+1)·( n+2)·(n+3)(nN*).3.當(dāng)n>1，nN*時(shí)，求證：4.用數(shù)學(xué)歸納法證明：(nN*)5.用數(shù)學(xué)歸納法證明 49n+16n-1能被64整除(nN*)6.用數(shù)學(xué)歸納法證明 mn+2+(m+1)2n+1能被m2+m+1整除(nN*)7.在數(shù)列中，an>0,且Sn=1/2(an+)(1)求a1、a2、a3；(2)猜測(cè)出an的關(guān)系式并用數(shù)學(xué)歸納法證明。