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1、均值不等式歸納總結(jié)1. (1)若,則(2)若,則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”)2. (1)若,則(2)若,則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”)(3)若,則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”)3.若,則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”)若,則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”)若,則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”)4.若,則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”)若,則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”)5.若,則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”)ps.(1)當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí),可以求它們的和的最小值,當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí),可以求它們的積的最小值,正所謂“積定和最小,和定積最大”(2)求最值的條件“一正,二定,三取等”(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實(shí)際
2、問(wèn)題方面有廣泛的應(yīng)用應(yīng)用一:求最值例1:求下列函數(shù)的值域(1)y3x 2 (2)yx解:(1)y3x 22 值域?yàn)椋?)(2)當(dāng)x0時(shí),yx22;當(dāng)x0時(shí), yx= ( x)2=2值域?yàn)椋ǎ?2,+)解題技巧技巧一:湊項(xiàng)例 已知,求函數(shù)的最大值。 解:因,所以首先要“調(diào)整”符號(hào),又不是常數(shù),所以對(duì)要進(jìn)行拆、湊項(xiàng),當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),上式等號(hào)成立,故當(dāng)時(shí),。評(píng)注:本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào),又要配湊項(xiàng)的系數(shù),使其積為定值。技巧二:湊系數(shù)例1. 當(dāng)時(shí),求的最大值。解析:由知,利用均值不等式求最值,必須和為定值或積為定值,此題為兩個(gè)式子積的形式,但其和不是定值。注意到為定值,故只需將湊上一個(gè)系數(shù)即可。當(dāng),即x
3、2時(shí)取等號(hào) 當(dāng)x2時(shí),的最大值為8。評(píng)注:本題無(wú)法直接運(yùn)用均值不等式求解,但湊系數(shù)后可得到和為定值,從而可利用均值不等式求最大值。變式:設(shè),求函數(shù)的最大值。解:當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立。技巧三: 分離例3. 求的值域。解析一:本題看似無(wú)法運(yùn)用均值不等式,不妨將分子配方湊出含有(x1)的項(xiàng),再將其分離。當(dāng),即時(shí),(當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取“”號(hào))。技巧四:換元解析二:本題看似無(wú)法運(yùn)用均值不等式,可先換元,令t=x1,化簡(jiǎn)原式在分離求最值。當(dāng),即t=時(shí),(當(dāng)t=2即x1時(shí)取“”號(hào))。評(píng)注:分式函數(shù)求最值,通常直接將分子配湊后將式子分開(kāi)或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開(kāi)再利用不等式求最值。即化為,g(x)恒正或恒負(fù)的形式
4、,然后運(yùn)用均值不等式來(lái)求最值。技巧五:在應(yīng)用最值定理求最值時(shí),若遇等號(hào)取不到的情況,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性。例:求函數(shù)的值域。解:令,則因,但解得不在區(qū)間,故等號(hào)不成立,考慮單調(diào)性。因?yàn)樵趨^(qū)間單調(diào)遞增,所以在其子區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù),故。所以,所求函數(shù)的值域?yàn)?。練?xí)求下列函數(shù)的最小值,并求取得最小值時(shí),x 的值.(1) (2) (3)2已知,求函數(shù)的最大值.;3,求函數(shù)的最大值.條件求最值1.若實(shí)數(shù)滿足,則的最小值是 .分析:“和”到“積”是一個(gè)縮小的過(guò)程,而且定值,因此考慮利用均值定理求最小值,解: 都是正數(shù),當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,由及得即當(dāng)時(shí),的最小值是6變式:若,求的最小值.并求x,y的值技巧六:整體代
5、換多次連用最值定理求最值時(shí),要注意取等號(hào)的條件的一致性,否則就會(huì)出錯(cuò)。2:已知,且,求的最小值。錯(cuò)解:,且, 故 。錯(cuò)因:解法中兩次連用均值不等式,在等號(hào)成立條件是,在等號(hào)成立條件是即,取等號(hào)的條件的不一致,產(chǎn)生錯(cuò)誤。因此,在利用均值不等式處理問(wèn)題時(shí),列出等號(hào)成立條件是解題的必要步驟,而且是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。正解:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),上式等號(hào)成立,又,可得時(shí), 。變式: (1)若且,求的最小值(2)已知且,求的最小值技巧七已知x,y為正實(shí)數(shù),且x 21,求x的最大值.分析:因條件和結(jié)論分別是二次和一次,故采用公式ab。同時(shí)還應(yīng)化簡(jiǎn)中y2前面的系數(shù)為 , xx x·下面將x,分別看
6、成兩個(gè)因式:x· 即x·x 技巧八:已知a,b為正實(shí)數(shù),2baba30,求函數(shù)y的最小值.分析:這是一個(gè)二元函數(shù)的最值問(wèn)題,通常有兩個(gè)途徑,一是通過(guò)消元,轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問(wèn)題,再用單調(diào)性或基本不等式求解,對(duì)本題來(lái)說(shuō),這種途徑是可行的;二是直接用基本不等式,對(duì)本題來(lái)說(shuō),因已知條件中既有和的形式,又有積的形式,不能一步到位求出最值,考慮用基本不等式放縮后,再通過(guò)解不等式的途徑進(jìn)行。法一:a, ab·b由a0得,0b15令tb+1,1t16,ab2(t)34t28 ab18 y 當(dāng)且僅當(dāng)t4,即b3,a6時(shí),等號(hào)成立。法二:由已知得:30aba2b a2b2 30ab2令
7、u則u22u300, 5u33,ab18,y點(diǎn)評(píng):本題考查不等式的應(yīng)用、不等式的解法及運(yùn)算能力;如何由已知不等式出發(fā)求得的范圍,關(guān)鍵是尋找到之間的關(guān)系,由此想到不等式,這樣將已知條件轉(zhuǎn)換為含的不等式,進(jìn)而解得的范圍.變式:1.已知a>0,b>0,ab(ab)1,求ab的最小值。2.若直角三角形周長(zhǎng)為1,求它的面積最大值。技巧九、取平方5、已知x,y為正實(shí)數(shù),3x2y10,求函數(shù)W的最值.解法一:若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系,本題很簡(jiǎn)單 2解法二:條件與結(jié)論均為和的形式,設(shè)法直接用基本不等式,應(yīng)通過(guò)平方化函數(shù)式為積的形式,再向“和為定值”條件靠攏。W0,W23x2y2
8、83;102·10()2·()2 10(3x2y)20 W2變式: 求函數(shù)的最大值。解析:注意到與的和為定值。又,所以當(dāng)且僅當(dāng)=,即時(shí)取等號(hào)。 故。評(píng)注:本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”,為利用均值不等式創(chuàng)造了條件??傊?,我們利用均值不等式求最值時(shí),一定要注意“一正二定三相等”,同時(shí)還要注意一些變形技巧,積極創(chuàng)造條件利用均值不等式。應(yīng)用二:利用均值不等式證明不等式1已知為兩兩不相等的實(shí)數(shù),求證:1)正數(shù)a,b,c滿足abc1,求證:(1a)(1b)(1c)8abc例6:已知a、b、c,且。求證:分析:不等式右邊數(shù)字8,使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個(gè)“2”連乘,又,可由此變形入手。解:a、b、c,。同
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