高中數(shù)學(xué)平面直角坐標(biāo)系下的圖形變換及常用方法

1、 高中數(shù)學(xué)平面直角坐標(biāo)系下的圖形變換及常用方法摘要：高中數(shù)學(xué)新教材中介紹了基本函數(shù)圖像，如指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)等圖像等。而在更多的數(shù)學(xué)問題中，需要將這些基本圖像通過適當(dāng)?shù)膱D形變換方式轉(zhuǎn)化成其他的圖像，要讓學(xué)生理解并掌握?qǐng)D形變換方法。高中數(shù)學(xué)研究的對(duì)象可分為兩大部分，一部分是數(shù)，一部分是形，高中生是最需要培養(yǎng)的能力之一就是作圖解圖能力，就是根據(jù)給定圖形能否提煉出更多有用信息；反之，根據(jù)已知條件能否畫出準(zhǔn)確圖形。圖是數(shù)學(xué)的生命線，能不能用圖支撐思維活動(dòng)是學(xué)好初等數(shù)學(xué)的關(guān)鍵之一；函數(shù)圖像也是研究函數(shù)性質(zhì)、方程、不等式的重要工具。提高學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)中對(duì)圖形、圖像的認(rèn)知水平，是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù)

2、之一，教師在教學(xué)過程中應(yīng)該確立以下教學(xué)目標(biāo)：一方面，要求學(xué)生通過對(duì)數(shù)學(xué)教材中基本的圖形和圖象的學(xué)習(xí)，建立起關(guān)于圖形、圖象較為系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)；培養(yǎng)和提高學(xué)生認(rèn)識(shí)、研究和解決有關(guān)圖形和圖像問題的能力。為達(dá)到這一目標(biāo)，教師應(yīng)在教學(xué)中讓學(xué)生理解并掌握?qǐng)D形變換的思想及其常用變換方法。函數(shù)圖形的變換，其實(shí)質(zhì)是用圖像形式表示的一個(gè)函數(shù)變化到另一個(gè)函數(shù)。與之對(duì)應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)的解析式之間有何關(guān)系？這就是函數(shù)圖像變換與解析式變換之間的一種動(dòng)態(tài)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。在更多的數(shù)學(xué)問題中，需要將這些基本圖像通過適當(dāng)?shù)膱D形變換方式轉(zhuǎn)化成其它圖像，要讓學(xué)生理解并掌握?qǐng)D像變換方法。常用的圖形變換方法包括以下三種：縮放法、對(duì)稱性法、平移法

3、。1.圖形變換中的縮放法縮放法也是圖形變換中的基本方法，是蔣某基本圖形進(jìn)行放大或縮小，從而產(chǎn)生新圖形的過程。若某曲線的方程F（x，y）=0可化為f（ax，by）=0（a，b不同時(shí)為0）的形式，那么F（x，y）=0的曲線可由f（x，y）=0的曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/a倍，同時(shí)將縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/b倍后而得。（1）函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像中的每一點(diǎn)橫坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)或壓縮（）為原來的倍得到；（2）函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像中的每一點(diǎn)縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)或壓縮（）為原來的倍得到y(tǒng)=f(x)y=f(); y=f(x)y=f(x).縮放法的典型應(yīng)用是在高中數(shù)學(xué)課本（三角函數(shù)部分）介紹函數(shù)

4、的圖像的相關(guān)知識(shí)時(shí)，課本重點(diǎn)分析了由函數(shù)y=sinx的圖像通過怎樣變化后得到的圖像的全部過程。一般有兩種變換形式：第一種：先由y=sinx的圖像按向量平移得到的圖像，再將其縮放后形成的圖像。第二種：由完成了從y=sinx到的縮放，將這一過程分為兩個(gè)步驟，更易于學(xué)生理解，最后由的圖像按向量平移得到的圖像。如圖8是函數(shù)的圖像形成過程。2.平移（1）水平平移：函數(shù)的圖像可以把函數(shù)的圖像沿軸方向向左或向右平移個(gè)單位即可得到；（2）豎直平移：函數(shù)的圖像可以把函數(shù)的圖像沿軸方向向上或向下平移個(gè)單位即可得到 y=f(x)y=f(x+h); y=f(x) y=f(x-h); y=f(x) y=f(x)+h;

5、y=f(x) y=f(x)-h. 將平面圖形F上的每一個(gè)點(diǎn)p（x，y）按向量a=（h，k）移動(dòng)（即：按同一方向，移動(dòng)同一長(zhǎng)度）到點(diǎn)p（x，y），將這些新的點(diǎn)組成圖形F的過程，平移公式為：（x，y）=（x，y）+（h，k）。 平移思想的應(yīng)用一般包括以下兩種情況：2.1將一個(gè)已知的圖形按向量平移后產(chǎn)生新的圖形。 例1：已知y=f（x）的圖形如圖1，求平移后的圖像。分析 進(jìn)行圖形的評(píng)議，需抓住圖形的特征，找到特征點(diǎn)。如圖2，去圖像上的幾個(gè)特征點(diǎn)，先將它們按移至新位置得相應(yīng)點(diǎn)的曲線，即為所求，圖2（實(shí)線部分）。2.2在曲線與方程的問題中，研究F（x，y）=0的曲線可有基本圖形f（x，y）=0的曲線怎樣

6、平移而得。將F（x，y）=0化為f（x-h，y-k）=0的形式，那么，F(xiàn)（x，y）=0的曲線可由f（x，y）=0的曲線按向量進(jìn)行平移而得。例2：關(guān)于函數(shù)，下列選項(xiàng)正確的是（）（A） 在內(nèi)單調(diào)遞增（B） 在內(nèi)單調(diào)遞減（C） 在內(nèi)單調(diào)遞增（D） 在內(nèi)單調(diào)遞減分析 可作出函數(shù)簡(jiǎn)圖，用數(shù)形結(jié)合的思想求解。先將函數(shù)解析式化為，該方程表示曲線由的曲線按向量平移而得。然后畫出的曲線，最后將圖3的圖象按平移得到圖4（實(shí)曲線部分）。根據(jù)圖4可判斷，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，故選（C）。3.利用對(duì)稱性（1）函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱即可得到；（2）函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱即可得到；（3）函數(shù)的圖像可

7、以將函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即可得到；（4）函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱得到y(tǒng)=f(x) y= -f(x); y=f(x) y=f(-x);y=f(x) y=f(2a-x); y=f(x) y=f-1(x); y=f(x) y= -f(-x).通常要研究以下對(duì)稱軸及對(duì)稱中心：3.1軸對(duì)稱型3.1.1點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)（x，-y）關(guān)于x軸相互對(duì)稱，若某曲線的方程F（x，y）=0可化為f（x，y）=0的形式，那么F（x，y）=0的曲線可由f（x，y）=0的曲線通過作出關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形而得。3.1.2點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)（-x，y）關(guān)于y軸相互對(duì)稱，若某曲線的方程F（x，y）=0可化為f（-x，

8、y）=0的形式，那么F（x，y）=0的曲線可由f（x，y）=0的曲線通過作出關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形而得。3.1.3點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)（2a-x，y）關(guān)于直線x=a對(duì)稱，若某曲線的方程F（x，y）=0可化為f（2a-x，y）=0的形式，那么F（x，y）=0的曲線可由f（x，y）=0的曲線通過作出關(guān)于x=a的對(duì)稱圖形而得。3.1.4點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)（x，2a-y）關(guān)于直線y=b對(duì)稱，若某曲線的方程F（x，y）=0可化為f（x，2a-y）=0的形式，那么F（x，y）=0的曲線可由f（x，y）=0的曲線通過作出關(guān)于y=b的對(duì)稱圖形而得。3.1.5 點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)（y，x）關(guān)于直線y=x對(duì)稱，若某曲線的方程

9、F（x，y）=0可化為f（y，x）=0的形式，那么F（x，y）=0的曲線可由f（x，y）=0的曲線通過作出關(guān)于y=x的對(duì)稱圖形而得。以上列舉的只是軸對(duì)稱的幾個(gè)簡(jiǎn)單情況，以此為基礎(chǔ)，可引導(dǎo)學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)的學(xué)生探討以平面內(nèi)任一直線為軸的對(duì)稱變換。3.2中心對(duì)稱型3.2.1點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)（-x，-y）關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，若某曲線的方程F（x，y）=0可化為f（-x，-y）=0的形式，那么F（x，y）=0的曲線可由f（x，y）=0的曲線通過作出關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱圖形而得。3.2.2點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)（2a-x，2b-y）關(guān)于點(diǎn)（a，b）中心對(duì)稱，若某曲線的方程F（x，y）=0可化為f（2a-x，2b-y）的形

10、式，那么F（x，y）=0的曲線可由f（x，y）=0的曲線通過作出關(guān)于點(diǎn)（a，b）的中心對(duì)稱圖形而得。例3：下列函數(shù)中，即為偶函數(shù)又在（0，）上單調(diào)遞增的是（）（A）（B）（C）（D）分析 此題的求解思路，定位為數(shù)形結(jié)合法的使用。對(duì)于函數(shù)，一方面，定義域不含區(qū)間（0，）；另一方面，利用的圖象作其關(guān)于y軸的對(duì)稱圖象而得的圖像（如圖5），可以排除。對(duì)于函數(shù)，它與是同一函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，可排除；而函數(shù)可化為，其圖像可由的圖像作關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形而得（如圖6），此函數(shù)符合題目要求。而函數(shù)的圖像可由的圖像保留在x軸及上方的部分，通過作出x軸下方的圖像關(guān)于x軸的對(duì)稱圖象而得，（圖7中的實(shí)曲線），該函數(shù)在區(qū)間（0，）內(nèi)為減函數(shù)。因此，選項(xiàng)（C）為正確選項(xiàng)。在探索與解決數(shù)學(xué)問題的過程中，數(shù)形結(jié)合是常用的數(shù)學(xué)思想之一。學(xué)生要在教師的指導(dǎo)下，分析和總結(jié)平面直角坐標(biāo)系下進(jìn)行圖形變換的規(guī)律。同時(shí)，結(jié)合描點(diǎn)法等基本方法的掌握和使用，更加透徹的理解函數(shù)知識(shí)，函數(shù)圖像。函數(shù)及函數(shù)的思想是貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)的一條主線，是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容之一。函數(shù)圖像的變換在教材中占有重要的地位。函數(shù)圖像是函數(shù)的一種表達(dá)方式，形象的現(xiàn)實(shí)了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系提供了“形”的直觀性，它是探求階梯途徑、獲得問題結(jié)果的重要工