高數(shù)下冊知識點

1、高等數(shù)學下冊知識點第八章空間解析幾何與向量代數(shù)（一） 向量及其線性運算1、 向量，向量相等，單位向量，零向量，向量平行、共線、共面；2、 線性運算：加減法、數(shù)乘；3、 空間直角坐標系：坐標軸、坐標面、卦限，向量的坐標分解式；4、 利用坐標做向量的運算：設(shè)，則 ,；5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：；2） 兩點間的距離公式：3） 方向角：非零向量與三個坐標軸的正向的夾角4） 方向余弦：5） 投影：，其中為向量與的夾角。（二） 數(shù)量積，向量積1、 數(shù)量積：1）2）運算律：2、 向量積：大小：，方向：符合右手規(guī)則1）2）運算律：反交換律 （三） 曲面及其方程1、 曲面方程的概念：2、 旋

2、轉(zhuǎn)曲面：面上曲線，繞軸旋轉(zhuǎn)一周：繞軸旋轉(zhuǎn)一周：3、 柱面：表示母線平行于軸，準線為的柱面4、 二次曲面1） 橢圓錐面：2） 橢球面：旋轉(zhuǎn)橢球面：3） 單葉雙曲面：4） 雙葉雙曲面：5） 橢圓拋物面：6） 雙曲拋物面（馬鞍面）：7） 橢圓柱面：8） 雙曲柱面：9） 拋物柱面：（四） 空間曲線及其方程1、 一般方程：2、 參數(shù)方程：，如螺旋線：3、 空間曲線在坐標面上的投影，消去，得到曲線在面上的投影（五） 平面及其方程1、 點法式方程： 法向量：，過點2、 一般式方程：截距式方程：3、 兩平面的夾角：，4、 點到平面的距離：（六） 空間直線及其方程1、 一般式方程：2、 對稱式（點向式）方程：

3、方向向量：，過點3、 參數(shù)式方程：4、 兩直線的夾角：，5、 直線與平面的夾角：直線與它在平面上的投影的夾角，6、 平面束：，過的交線的平面構(gòu)成平面束，方程為：第九章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用（一） 基本概念1、 距離，鄰域，內(nèi)點，外點，邊界點，聚點，開集，閉集，連通集，區(qū)域，閉區(qū)域，有界集，無界集。2、 多元函數(shù)：，圖形：3、 極限：4、 連續(xù)：5、 偏導數(shù)：6、 方向?qū)?shù)*：其中其中為的方向角。7、 梯度：，則。8、 全微分：設(shè)，則（二） 性質(zhì)1、 函數(shù)可微，偏導連續(xù)，偏導存在，函數(shù)連續(xù)等概念之間的關(guān)系：偏導數(shù)存在函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)偏導數(shù)連續(xù)充分條件必要條件定義122342、 閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的

4、性質(zhì)（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）3、 微分法1） 定義：2） 復合函數(shù)求導：鏈式法則3） 隱函數(shù)求導：（三） 應(yīng)用1、 極值1） 無條件極值：求函數(shù)的極值解方程組 求出所有駐點，對于每一個駐點，令， 若，函數(shù)有極小值，若，函數(shù)有極大值； 若，函數(shù)沒有極值； 若，不定。2） 條件極值：求函數(shù)在條件下的極值令： Lagrange函數(shù)解方程組2、 幾何應(yīng)用1） 曲線的切線與法平面曲線，則上一點（對應(yīng)參數(shù)為）處的切線方程為：法平面方程為：2） 曲面的切平面與法線曲面，則上一點處的切平面方程為：法線方程為：第十章重積分（一） 二重積分1、 定義：2、 性質(zhì)：（6條）3、 幾何意義：曲頂柱體的

5、體積。4、 對稱性問題： 設(shè)閉區(qū)域關(guān)于軸對稱，若關(guān)于為奇函數(shù)，即，則；若關(guān)于為偶函數(shù)，即，則，其中為在軸上方的部分 設(shè)閉區(qū)域關(guān)于軸對稱，若關(guān)于為奇函數(shù)，即，則；若關(guān)于為偶函數(shù)，即，則，其中為在軸右邊的部分 如果關(guān)于原點對稱，即時，有，若關(guān)于為奇函數(shù)，即，則；若關(guān)于為偶函數(shù)，則，其中為在上半平面部分； 如果關(guān)于對稱，即時，有，則5、 計算：1） 直角坐標，2） 極坐標（二） 三重積分1、 定義：2、 性質(zhì)：3、 計算：1） 直角坐標 -“先一后二” -“先二后一”2） 柱面坐標，3） 球面坐標（三） 應(yīng)用曲面的面積：第十一章曲線積分與曲面積分（一） 對弧長的曲線積分1、 定義：2、 性質(zhì)：1）

6、2）3）在上，若，則4） ( l 為曲線弧 L的長度)3、 計算：設(shè)在曲線弧上有定義且連續(xù)，的參數(shù)方程為，其中在上具有一階連續(xù)導數(shù)，且，則（二） 對坐標的曲線積分1、 定義：設(shè) L 為面內(nèi)從 A 到B 的一條有向光滑弧，函數(shù)，在 L 上有界，定義，.向量形式：2、 性質(zhì)： 1）；2）；3）用表示的反向弧 , 則3、 計算：設(shè)在有向光滑弧上有定義且連續(xù),的參數(shù)方程為，其中在上具有一階連續(xù)導數(shù)，且，則4、 兩類曲線積分之間的關(guān)系：設(shè)平面有向曲線弧為，上點處的切向量的方向角為：，則.（三） 格林公式1、格林公式：設(shè)區(qū)域 D 是由分段光滑正向曲線 L 圍成，函數(shù)在 D 上具有連續(xù)一階偏導數(shù),則有2、為

7、一個單連通區(qū)域，函數(shù)在上具有連續(xù)一階偏導數(shù)，則曲線積分在內(nèi)與路徑無關(guān)曲線積分在內(nèi)為某一個函數(shù)的全微分（四） 對面積的曲面積分1、 定義：設(shè)為光滑曲面，函數(shù)是定義在上的一個有界函數(shù)，定義 2、 計算：“一單二投三代入”，則（五） 對坐標的曲面積分1、 預(yù)備知識：曲面的側(cè)，曲面在平面上的投影，流量2、 定義：設(shè)為有向光滑曲面，函數(shù)是定義在上的有界函數(shù)，定義 同理，3、 性質(zhì)：1），則2）表示與取相反側(cè)的有向曲面 , 則4、 計算：“一投二代三定號”，在上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，在上連續(xù)，則,為上側(cè)取“+”， 為下側(cè)取“-”.5、 兩類曲面積分之間的關(guān)系：其中為有向曲面在點處的法向量的方向角。（六） 高

8、斯公式1、 高斯公式：設(shè)空間閉區(qū)域 W 由分片光滑的閉曲面 所圍成, 的方向取外側(cè), 函數(shù) P, Q, R 在W 上有連續(xù)的一階偏導數(shù),則有或2、 通量與散度*通量：向量場通過曲面指定側(cè)的通量為：散度：（七） 斯托克斯公式*1、 斯托克斯公式：設(shè)光滑曲面 S 的邊界 G是分段光滑曲線, S 的側(cè)與 G的正向符合右手法則, 在包含 在內(nèi)的一個空間域內(nèi)具有連續(xù)一階偏導數(shù),則有為便于記憶, 斯托克斯公式還可寫作:2、 環(huán)流量與旋度*環(huán)流量：向量場沿著有向閉曲線G的環(huán)流量為旋度：第十二章無窮級數(shù)（一） 常數(shù)項級數(shù)1、 定義：1）無窮級數(shù)：部分和：，正項級數(shù)：，交錯級數(shù)：，2）級數(shù)收斂：若存在，則稱級數(shù)

9、收斂，否則稱級數(shù)發(fā)散3）條件收斂：收斂，而發(fā)散；絕對收斂：收斂。2、 性質(zhì)：1） 改變有限項不影響級數(shù)的收斂性；2） 級數(shù)，收斂，則收斂；3） 級數(shù)收斂，則任意加括號后仍然收斂；4） 必要條件：級數(shù)收斂.（注意：不是充分條件！）3、 審斂法正項級數(shù)：，1） 定義：存在；2） 收斂有界；3） 比較審斂法：，為正項級數(shù)，且 若收斂，則收斂；若發(fā)散，則發(fā)散.4） 比較法的推論：，為正項級數(shù)，若存在正整數(shù)，當時，而收斂，則收斂；若存在正整數(shù)，當時，而發(fā)散，則發(fā)散. 5） 比較法的極限形式：，為正項級數(shù)，若，而收斂，則收斂；若或，而發(fā)散，則發(fā)散.6） 比值法：為正項級數(shù)，設(shè)，則當時，級數(shù)收斂；則當時，級

10、數(shù)發(fā)散；當時，級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.7） 根值法：為正項級數(shù)，設(shè)，則當時，級數(shù)收斂；則當時，級數(shù)發(fā)散；當時，級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.8） 極限審斂法：為正項級數(shù)，若或，則級數(shù)發(fā)散；若存在，使得，則級數(shù)收斂.交錯級數(shù)：萊布尼茨審斂法：交錯級數(shù)：，滿足：，且，則級數(shù)收斂。任意項級數(shù)：絕對收斂，則收斂。常見典型級數(shù)：幾何級數(shù)：p-級數(shù)：（二） 函數(shù)項級數(shù)1、 定義：函數(shù)項級數(shù)，收斂域，收斂半徑，和函數(shù)；2、 冪級數(shù)：收斂半徑的求法：，則收斂半徑 3、 泰勒級數(shù)展開步驟：（直接展開法）1） 求出；2） 求出；3） 寫出；4） 驗證是否成立。間接展開法：（利用已知函數(shù)的展開式）1）；2）；3）；4）；5）6）7）8）4、 傅里葉級數(shù)*1） 定義：正交系：函數(shù)系中任何不同的兩個函數(shù)的乘積在區(qū)間上積分為零。傅里葉級數(shù)