數(shù)學學習與解決問題 汪純中

1、數(shù)學學習與解決問題 汪純中一、 解決問題概述二、 解決問題的基本過程三、 課改為解決問題搭建平臺一、解決問題概述1、備受關注的解決問題“初步學會運用數(shù)學的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實社會，去解決日常生活中和其他學科學習中的問題”具體要求包括：（1）逐步學會從數(shù)學的角度提出問題，理解問題，并能綜合運用所學知識和技能解決問題；（2）形成解決問題的基本策略，體驗解決問題策略的多樣性，發(fā)展實踐能力與創(chuàng)新精神；（3）“高中數(shù)學課程應提供基本內容的實際背景，反映數(shù)學的應用價值，開展數(shù)學建模的學習活動，設立體現(xiàn)數(shù)學某些重要應用的專題課程。高中數(shù)學課程應力求使學生體驗數(shù)學在解決實際問題中的作用、數(shù)學與日常生活及其

2、他學科的聯(lián)系，促進學生逐步形成和發(fā)展數(shù)學應用意識，提高實踐能力”“根據(jù)以學生發(fā)展為本的觀念，新的課程體系必須正確處理教材、老師、學生三者關系，要堅持加強基礎，要特別重視發(fā)揮學生主體在認識活動中的主動和能動作用，重視由此導致地從問題出發(fā)、設計以解決問題的活動為基礎的數(shù)學認識過程。”2、問題的含義問題就是日常的練習，解決問題就是算法的操練。問題是非常規(guī)的問題，要求學生通過探索，解決問題。問題是一種狀態(tài)，這種狀態(tài)要求人們去完成一個任務，而對于這個任務，由他們的經驗，沒有一個現(xiàn)成的可供使用的完成任務的策略。因此，解決問題中的問題，主要指非常規(guī)問題。比較教材中的問題，主要是常規(guī)的問題，所以我們把其稱之為

3、練習。大部分是一種模仿、操練為主。練習與解決問題的特征比較練習的特征解決問題的特征著重尋找答案著重尋找解決問題的過程往往針對某個知識點或技能點，著重對某項數(shù)學技能進行練習著重思考如何將一般知識和技巧運用到新情況中，具有綜合性的特點可以對某一類習題反復演練解決問題中的“問題”具有新穎性對思考的要求相對比較低對思考的要求相對比較高 一個問題是不是問題，要看對象及其背景。3、問題應具備的基本條件接受性、障礙性、探究性接受性：學生愿意接受這個問題，并且具備了解決這個問題所必須具備的知識、技能與能力。（學生要感興趣）障礙性：學生對解答問題的最初嘗試往往以失敗而告終。探索性：學生需要對失敗的嘗試進行反思，

4、重新進行探索，并排除思維定勢，尋找新的解決問題的方案。例1：某工程由甲、乙兩隊承包，天可以完成，需支付1800元；由乙、丙兩隊承包，天可以完成，需支付1500元；由甲、丙兩隊承包，天可以完成，需支付1600元，在保證一個星期內完成這項工程的前提下，選擇哪個隊單獨承包費用最少？例2、有關買鹽問題：甲每次買1元，乙每次買1斤，哪個更合算？解：設每次價格分別為元/斤，元/斤，元/斤則甲：，而乙：即比較與9之間的大小關系方法一：基本不等式（兩個）方法二：基本不等式（三個）方法三：柯西不等式（先平方）例3：有關電動洗衣機每次漂洗的水量相同的問題解：設洗滌并甩干后衣服中殘留臟物（不含水分）量為，設第次漂洗

5、時用水量為，漂洗并甩干后衣服上的殘留臟物（不含水分）量為，再設洗衣漂洗時總用水量為（常數(shù)）另設每次漂洗并甩干后衣服中的殘留水分（含殘留臟物）的重量為（常數(shù)）由百分比濃度同理：常數(shù)，當且僅當取等號當增大時，減小，即證單調增即例4、平面上的個圓最多能將平面分成多少個區(qū)域？解：時，時，要分情況有相離、相切、相交、內含，最多有時，同樣分情況，最多是三個圓兩兩相交且沒有共點，猜想：檢驗：當時，得不符合，從而說明猜想錯誤，這時就要尋求新的途徑找遞推關系：添上第個圓，與前個圓相交，且沒有公共點，被分割成段弧，即增加了個部分，即，由累加法，得例5、已知拋物線，圓：，三個頂點在拋物線上，求證：若直線與圓相切，則

6、直線與圓也相切此題為83年的高考題，解略例6、有一個66的方格中，去掉左上角和右下角的各一個方格，用17個的方格能把其蓋住嗎？反證法：染色。涂上黑色及白色，需要17個黑色，而實際要用到18個黑色，所以不可能 二、解決問題的基本過程1、幾種模式奧蘇貝爾四階段模式第一階段：呈現(xiàn)問題情景命題第二階段：明確問題最終目標與已知條件（最好能建立聯(lián)系，縮小差距）第三階段：填補空隙過程第四階段：解答之后的檢驗杜威五步模式第一步：產生困惑第二步：嘗試從情景中識別出問題第三步：將問題情景中命題與已有的認知結構聯(lián)系起來第四步：將假設作檢驗第五步：將成功的答案組合到認知結構中波利亞“怎樣解決問題”表第一步了解問題？未

7、知數(shù)是什么？已知數(shù)是什么？條件是什么？可能滿足條件嗎？畫一個圖，導入適當?shù)姆柕诙秸页鲆阎獢?shù)和未知數(shù)之間的關系（假使你不能找出關系，就得考慮輔助問題，最后應想出一個計劃）你以前曾見過它嗎？你知道什么有關的問題么？注視未知數(shù)！試想出一個相同或相似的未知數(shù)的熟悉的問題這里有一個與你有關而且以前解過的問題，你能應用它嗎？你若不能解釋這問題，試先解一個有關問題，你能想出一個更容易著手的有關問題嗎？一個更一般的問題？一個更特殊的問題？一個類似的問題？你能解問題的一部分嗎？你用了全部條件嗎？第三步實行你的計劃實行計劃實行你的解題計劃，校核每一個步驟第四步驗證所得的解答回顧你能驗證結果嗎？你能驗證論證嗎？

8、你能用不同的方法得出結果嗎？你能應用這結果或方法到別的問題上去嗎？求物體的重心？ 一維空間：一條線段的重心即線段的中點（物理上的重心：線段上的質點有質量，如天平）兩維空間：三角形的重心即三中線的交點（物理上的重心？）（的邊的重心為其中點，是2個單位質量，而是1個單位質量，所以重心在線段的三等分點，）數(shù)學上證明其三線共點由此推廣到三維空間：四面體的重心，先找到底面的重心，是3個單位質量，而是1個單位質量，所以四面體的重心為線段的四等分點，）2、解決問題與數(shù)學思考（1）特殊化與一般化特殊化考慮特殊情況，取特殊值，簡化問題、作圖作表格等（即一種技巧）小學：三角形的內角和為180度?？梢匀我猱嬕粋€三角

9、形，并量其角度，得結論。當然也可以剪開，拼成一個平角。例1、證明：長為的封閉曲線L，一定可以用一個半徑為的圓把它覆蓋住，并且該圓是所有能覆蓋曲線的圓中的最小一個圓。特殊：曲線本身是圓，則由，得，當然能蓋住。 曲線是平行四邊形，其對稱中心為對角線的交點，ODA只需證：CB對于任意的曲線呢？找到曲線上最遠的兩點，則，找到其的中點，再找曲線上的點C，D，無法得到所要證明的結論另找其他方法：將曲線分成兩相等長度的兩段曲弧為線段的中點，M為曲線上的任意一點，AOBCDM則 例2、函數(shù)定義在整數(shù)集上，且滿足，求解：；猜想：當時，證明（用數(shù)學歸納法證明）當時，命題成立假設當與時，命題成立時命題成立例3、設是

10、四個正實數(shù)，且其中有兩個小于1求證：（1）時，需證證：（2）且由（1）知又，則（3）原命題由（2）得又例4、任意一圓和的圖象相交的交點（A）至多2點 （B）至多4點 （C）至多6點 （D）可以多于6答案：D （圓心離x軸遠點，半徑無限大）一般化建立模型、符號化、逆推、反證、推廣等 模型：在一個邊長為的正方形中剪出兩個盡量大的兩圓（可用函數(shù)的觀點）而例：在19901990的方格棋盤中，對每一個11方格染上紅、白兩種顏色中的一種，使得方格棋盤中心對稱的兩個11方格染上不同的顏色。問：是否存在一種染法，能使方格棋盤中的每一行，每一列中紅、白顏色的格子數(shù)相等。符號法：記紅色格為1，白色格為1將方格棋盤

11、分成四等分，每一個方格為995995，在左上方的每個小方格的數(shù)字之和記為，右上方的數(shù)字之和記為，左下方為，右下方為，由題意知995為奇數(shù)，不妨設時，（1），不合題意 （2），不合題意結論：不可能存在這樣的染法（2）猜測與驗證四色猜想用計算機來解決費馬大定理也徹底解決了書上有的，不屬于探究的范疇例：矩形ABCD中，P是其內部或其邊界上的點，則有何關系？特例：點P與A重合時，發(fā)現(xiàn)（其中）點P與點B重合時，發(fā)現(xiàn)（其中）ADCPB猜想：并加以證明（可用解析法）3、解決問題的教學模式對數(shù)學課堂教學改革的啟示P15S1ABCDEF2030S220公交車的座位設計問題：一邊是一座，一邊是兩座，你會站在哪一邊

12、？站在兩座旁邊。理由？概率問題。例：如圖所示，求的面積而代入發(fā)現(xiàn)不成立，從而說明題目有問題條件多給了？多少個小三角形的面積告訴你，就可以求大三角形的面積。例5、若對非零常數(shù)，函數(shù)滿足求證：是周期函數(shù)證明：設則由條件，任給，移項，于是，比較等式兩邊虛部，可得又是周期函數(shù)例如：，求通項公式注意系數(shù)的特點，可得設則再回到剛才的那道題 得：其中特殊：，猜想周期為，然后再驗證。例：若滿足，求證：是周期函數(shù)找一個特殊的函數(shù)： 可猜想，周期為，然后再給出驗證三、課改為解決問題搭建平臺教師要成為學生探究的組織者和主導者教師應根據(jù)學生的差異進行鼓勵和指導善于信息處理，善于轉化問題，善于長期的記憶（小學生）案例：一只大桶裝了10斤水，另有兩只桶，一只恰好能裝3斤水，一只恰好能裝7斤水。現(xiàn)在要把這10斤水平分為5斤的兩分，問如何倒法？研究過程：1、 學生自主操作，也可小組討論倒水方案一：大桶103366992253斤桶00303011307斤桶0744110755倒水方案二：大桶1077441188553斤桶030303220307斤桶003366702252、提出問題問題（1）上述兩個倒水方案，哪個更優(yōu)？（2