常熟理工學(xué)院-高數(shù)A2-題庫(kù)系列：第12章

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上1.下列級(jí)數(shù)中發(fā)散的是 ( D )A. B. C. D. 2下列級(jí)數(shù)中發(fā)散的是（ D ）A. B. C. D.3下列冪級(jí)數(shù)中收斂域?yàn)榈氖牵?A ）A. B. C. D. 4.級(jí)數(shù)的收斂域是( C ).A. x<e B. x>e C. D. 0<x<e5設(shè)是非零常數(shù)，則級(jí)數(shù)（B）A.發(fā)散B.條件收斂C.絕對(duì)收斂D.斂散性與有關(guān)6. 下列級(jí)數(shù)中收斂級(jí)數(shù)是（ A ）A. B. C. D.7. 級(jí)數(shù)的斂散情況是（ A ）。 A. 時(shí)絕對(duì)收斂，時(shí)條件收斂 B. 時(shí)絕對(duì)收斂，時(shí)條件收斂 C. 時(shí)發(fā)散，時(shí)收斂 D. 對(duì)任何，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂8下列級(jí)數(shù)中條件收斂的

2、是（ D ）。A. B. C. D. 9當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)為（B ）A. B. C. D.10.級(jí)數(shù)（B） A.絕對(duì)收斂 B.條件收斂 C.發(fā)散 D.斂散性不確定 11.設(shè)級(jí)數(shù)收斂,則常數(shù)滿足 ( B ).A. B. C. D. 12. 若級(jí)數(shù) 收斂，則級(jí)數(shù)（ D ）A.收斂但不絕對(duì)收斂 B. 絕對(duì)收斂 C. 發(fā)散 D. 斂散性不確定13. 若無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂，則滿足 （ B ）A. B. C. D. 14下列級(jí)數(shù)中收斂的為 （ C ）A. B. C. D.15. 設(shè)級(jí)數(shù),則該級(jí)數(shù)( A )A. 發(fā)散 B. 條件收斂 C. 絕對(duì)收斂 D. 不確定16.若級(jí)數(shù)收斂，則下列正確的是（C）A.收斂B.

3、絕對(duì)收斂C.發(fā)散D.收斂17.下列級(jí)數(shù)中有（D）是收斂的。A. B. C. D. 18. 若無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂，則滿足 （ B ）A. B. C. D. 19. 下列級(jí)數(shù)條件收斂的是 （ C ）A. B. C. D. 二、填空題1級(jí)數(shù)是 條件收斂 （發(fā)散，條件收斂，絕對(duì)收斂）的.2. 冪級(jí)數(shù) 的收斂域?yàn)?.3.函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)為 .4、冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)為 .5冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為 .6.設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑是4，則冪級(jí)數(shù)的收斂半徑是 .7. 冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R= 5 .8冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為 5 .9級(jí)數(shù)是收斂的，其和為 _. 10冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?11. 冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為 .12. 級(jí)數(shù)是收斂的，其和

4、為3.13. 冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?.14. 冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?.15. 如果冪級(jí)數(shù)的收斂半徑是1，則級(jí)數(shù)在最大的一個(gè)開(kāi)區(qū)間 內(nèi)一定收斂.16. 冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為R=3.17冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為 3 .18冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間是(不考濾端點(diǎn)).19級(jí)數(shù)的和函數(shù) .三、解答下列各題1. 判斷級(jí)數(shù)的斂散性（必須給出解題過(guò)程）.解：令 1分由于 4分 故所給級(jí)數(shù)發(fā)散2. 判斷級(jí)數(shù)的斂散性（必須給出解題過(guò)程）.解： 因?yàn)?2分而級(jí)數(shù)收斂 5分 由比較判別法知，級(jí)數(shù)收斂 7分3. 判別級(jí)數(shù)的斂散性（必須給出解題過(guò)程）.解：令 4分而 收斂 故 收斂 7分4.判別級(jí)數(shù)是否收斂，如果收斂，是絕對(duì)收斂，還是條件收斂？

5、解： 由題意，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，且， 3分所以由萊布尼茨判別法，知 收斂。 4分又因?yàn)?故發(fā)散，所以該級(jí)數(shù)條件收斂。 7分5判別下列級(jí)數(shù)的斂散性(必須給出解題過(guò)程).（1）；（2）.解：（1）假設(shè)該級(jí)數(shù)收斂，則有 2分而 所以和假設(shè)矛盾，故級(jí)數(shù)發(fā)散。 4分（2）因?yàn)?6分所以 故該級(jí)數(shù)發(fā)散。 8分6.用部分和數(shù)列證明是收斂的，并求出級(jí)數(shù)的和。解：由于 ， 2分因此 4分從而 ，所以這級(jí)數(shù)收斂，它的和是1. 7分7判別級(jí)數(shù)的斂散性.解： 因?yàn)?1分所以 2分 5分 所以該級(jí)數(shù)收斂。 7分8.試討論級(jí)數(shù)的斂散性.解： 1）時(shí)，顯然是發(fā)散的； 2分 2）是，有，則收斂； 4分 3）時(shí)，有，則該級(jí)數(shù)發(fā)散； 6

6、分綜上可知，當(dāng)時(shí)，該級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，該級(jí)數(shù)收斂。 9.求冪級(jí)數(shù)的收斂域（要討論端點(diǎn)）解：因?yàn)?于是收斂半徑 3分對(duì)于端點(diǎn)，級(jí)數(shù)成為發(fā)散 對(duì)于端點(diǎn)，級(jí)數(shù)成為交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂 7分證明正項(xiàng)級(jí)數(shù)是收斂的.證明：由于 4分 所以，正項(xiàng)級(jí)數(shù)是收斂的 6分10.設(shè)收斂，試證明：絕對(duì)收斂. 解： 2分又 收斂，且 也收斂，所以也收斂， 4分由比較審斂法，知收斂. 故絕對(duì)收斂. 6分11.將函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù).解：由于，所以 . 2分 而 是收斂的等比函數(shù)的和函數(shù)： 4分所以將上式從0到逐項(xiàng)積分，得 6分12.在區(qū)間內(nèi)求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).解：令 ，則 ，故 1分 于是，當(dāng) 時(shí)級(jí)數(shù)收斂 當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂因

7、此，收斂區(qū)間為 3分令當(dāng)時(shí)， 5分當(dāng)時(shí)，令兩邊求導(dǎo)得，兩邊從到積分得，從而 因此， 7分13. 將函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)。解： 1分又 3分 5分即 7分14.在區(qū)間內(nèi)求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).解：令 ，則 ，故 1分 于是，當(dāng) 時(shí)級(jí)數(shù)收斂 當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂因此，收斂區(qū)間為 3分令當(dāng)時(shí)， 5分當(dāng)時(shí)，令兩邊求導(dǎo)得，兩邊從到積分得，從而 因此， 7分 15將展開(kāi)成關(guān)于的冪級(jí)數(shù).解：， 2分又因?yàn)椋?所以 ， 4分 ， 5分所以 . 7分16.將函數(shù) 展開(kāi)成 的冪級(jí)數(shù)，并寫出收斂域.解：由題意，知， 2分又因?yàn)椋?所以 ， （） ， 5分所以 . （） 7分18.將展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，并求展開(kāi)式成立的區(qū)間.解： 4分又展開(kāi)式成立的區(qū)間為 所以展開(kāi)式成立的區(qū)間為，即. 7分19. 將函數(shù) 展開(kāi)成關(guān)于(x-1)的冪級(jí)數(shù)，并寫明收斂區(qū)間.解： 4分當(dāng)時(shí), 發(fā)散 當(dāng)時(shí), 發(fā)散 6分收斂區(qū)間 7分20.試把展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù)，并給出收斂域.解：因?yàn)?所以， 2分因此， 由于 ，即 所以，收斂半徑為 4分又 均發(fā)散故收斂區(qū)間為 7分21將函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù).解：因?yàn)?2分 而 5分從而 7分22設(shè)冪級(jí)數(shù)