導(dǎo)數(shù)有關(guān)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)、經(jīng)典例題及解析、近年高考題帶答案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 【考綱說明】1、了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景（如瞬時(shí)速度，加速度，光滑曲線切線的斜率等）；掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義；理解導(dǎo)函數(shù)的概念。2、熟記八個(gè)基本導(dǎo)數(shù)公式；掌握兩個(gè)函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則，了解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會(huì)求某些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。3、理解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；了解可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件(導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)兩側(cè)異號(hào))；會(huì)求一些實(shí)際問題(一般指單峰函數(shù))的最大值和最小值。 【知識(shí)梳理】導(dǎo) 數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義、物理意義函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的極值函數(shù)的最值常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法

2、則一、導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)y=f(x),如果自變量x在x0處有增量，那么函數(shù)y相應(yīng)地有增量=f（x0+）f（x0），比值叫做函數(shù)y=f（x）在x0到x0+之間的平均變化率，即=。如果當(dāng)時(shí)，有極限，我們就說函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并把這個(gè)極限叫做f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f（x0）或y|。即f（x0）=。說明：（1）函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，是指時(shí)，有極限。如果不存在極限，就說函數(shù)在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)，或說無導(dǎo)數(shù)。（2）是自變量x在x0處的改變量，時(shí)，而是函數(shù)值的改變量，可以是零。由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的步驟：（1）求函數(shù)的增量=f（x0+）f（x0）；（2）求

3、平均變化率=；（3）取極限，得導(dǎo)數(shù)f(x0)=。二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y=f（x）在點(diǎn)p（x0，f（x0）處的切線的斜率。也就是說，曲線y=f（x）在點(diǎn)p（x0，f（x0）處的切線的斜率是f（x0）。相應(yīng)地，切線方程為yy0=f/（x0）（xx0）。三、幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ; ; ; .四、兩個(gè)函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法則 法則1：兩個(gè)函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù),等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(或差)，即： ( 法則2：兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù),加上第一個(gè)函數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即：若C為常數(shù),則.即常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)乘

4、以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 法則3：兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的積，減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的積，再除以分母的平方：=（v0）。形如y=f的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)步驟：分解求導(dǎo)回代。法則：y|x= y|u ·u|x五、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用1、單調(diào)區(qū)間：一般地，設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù)；如果在某區(qū)間內(nèi)恒有，則為常數(shù)；2、極點(diǎn)與極值：曲線在極值點(diǎn)處切線的斜率為0，極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0；曲線在極大值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為正，右側(cè)為負(fù)；曲線在極小值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為負(fù)，右側(cè)為正；3、最值：一般地，在區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)f(x)在a，b上必有最大值與最小值。求函數(shù)(x)在

5、(a，b)內(nèi)的極值；求函數(shù)(x)在區(qū)間端點(diǎn)的值(a)、(b)；將函數(shù)(x)的各極值與(a)、(b)比較，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。4定積分(1)概念：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，用分點(diǎn)ax0<x1<<xi1<xi<xnb把區(qū)間a，b等分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間xi1，xi上取任一點(diǎn)i（i1，2，n）作和式In(i)x（其中x為小區(qū)間長度），把n即x0時(shí)，和式In的極限叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的定積分，記作：，即(i)x。這里，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間a，b叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx

6、叫做被積式?；镜姆e分公式：C； C（mQ， m1）；dxlnC；C；C；sinxC；cosxC（表中C均為常數(shù)）。(2)定積分的性質(zhì)（k為常數(shù)）；（其中acb。(3)定積分求曲邊梯形面積由三條直線xa，xb(a<b)，x軸及一條曲線yf(x) (f(x)0)圍成的曲邊梯的面積。如果圖形由曲線y1f1(x)，y2f2(x)（不妨設(shè)f1(x)f2(x)0），及直線xa，xb（a<b）圍成，那么所求圖形的面積SS曲邊梯形AMNBS曲邊梯形DMNC。【經(jīng)典例題】【例1】（2012廣東）曲線y=x3-x+3在點(diǎn)(1,3)處的切線方程： 。【解析】先對(duì)函數(shù)y=x3-x+3求導(dǎo)，得：y=3x2

7、-1。代入點(diǎn)(1,3)求出斜率，k=2。設(shè)切線方程為y-3=2(x-1)，得切線方程為：y=2x+1?！纠?】（2012遼寧）已知P，Q為拋物線x2=2y上兩點(diǎn)，點(diǎn)P，Q的橫坐標(biāo)分別為4，-2，過P，Q分別作拋物線的切線，兩切線交于點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為 ?！窘馕觥繏佄锞€變形為：y=x2。求導(dǎo)y,=x。代入兩點(diǎn)橫坐標(biāo)得出兩切線的斜率分別為：4，-2。點(diǎn)P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)為(4,8)，(-2,2)。得出兩切線為：y=4x-8，y=-2x-2。兩直線交點(diǎn)為(1,-4)。所以交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-4?！纠?】（2011課標(biāo)）已知函數(shù)f(x)=，曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為x+2y-3=0。(1)

8、求a，b的值；(2) 如果當(dāng)x>0，且x1時(shí)，f(x)>，求k的取值范圍。b=1f(x)=1【解析】(1)f,(x)=由于直線x+2y-3=0的斜率為，且過點(diǎn)(1,1)，=f,(1)=故 即 解得a=1，b=1。(2)由（1）知，所以?？紤]函數(shù)，則。(i)設(shè)，由知，當(dāng)時(shí)，。而，故當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)x（1，+）時(shí)，h（x）<0，可得 h（x）>0從而當(dāng)x>0,且x1時(shí)，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.（ii）設(shè)0<k<1.由于當(dāng)x（1，）時(shí)，（k-1）（x2 +1）+2x>0,故h （x）>0,而h（1）=0，故當(dāng)x（1，）時(shí)，

9、h（x）>0，可得h（x）<0,與題設(shè)矛盾。（iii）設(shè)k1.此時(shí)h （x）>0,而h（1）=0，故當(dāng)x（1，+）時(shí)，h（x）>0，可得 h（x）<0,與題設(shè)矛盾。綜合得，k的取值范圍為（-，0.【例4】（2012山東）已知函數(shù)f(x) = （k為常數(shù)，e=2.71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線y= f(x)在點(diǎn)（1，f(1)）處的切線與x軸平行。（）求k的值；（）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)g(x)=(x2+x) ,其中為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，證明：對(duì)任意x0，?！窘馕觥坑蒮(x) = 可得，而，即，解得；（），令可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。于是在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；在內(nèi)為減

10、函數(shù)。（），當(dāng)時(shí)， ，.當(dāng)時(shí)，要證。只需證，然后構(gòu)造函數(shù)即可證明?！纠?】（2012北京）已知函數(shù)，其中.（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若直線是曲線的切線，求實(shí)數(shù)的值；（）設(shè)，求在區(qū)間上的最大值.（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）【解析】（），（），在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，.所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是和，單調(diào)遞增區(qū)間是.（）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則 解得，. （），則解，得，所以，在區(qū)間上，為遞減函數(shù)，在區(qū)間上，為遞增函數(shù).當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上，為遞增函數(shù)，所以最大值為. 當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上，為遞減函數(shù)，所以最大值為. 當(dāng)，即時(shí)，的最大值為和中較大者；，解得，所以，時(shí)，最大值為，時(shí)，最大值為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，最大值為，當(dāng)

11、時(shí)，的最大值為. 【例6】（2012重慶）已知函數(shù)在處取得極值為(1)求、b的值；(2)若有極大值28,求在上的最大值?！窘馕觥垮e(cuò)誤！未找到引用源。()因 故 由于 在點(diǎn) 處取得極值 故有即 ,化簡得解得 ()由()知 , 令，得當(dāng)時(shí),故在上為增函數(shù)；當(dāng) 時(shí), 故在 上為減函數(shù) 當(dāng)時(shí)，故在 上為增函數(shù)。 由此可知在 處取得極大值， 在 處取得極小值由題設(shè)條件知得，此時(shí),因此 上的最小值為。【例7】（2011安徽）設(shè)，其中為正實(shí)數(shù)（）當(dāng)時(shí)，求的極值點(diǎn)；（）若為上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍?！窘馕觥浚?）f ' (x)=當(dāng)a=時(shí)令f ' (x)=0解得x=或x=當(dāng)x時(shí)，f '

12、 (x)>0;當(dāng)x時(shí)，f ' (x)<0;當(dāng)x，f ' (x)>0,所以f(x)在x=處取得極大值，在x=處取得極小值。（2） 若為上的單調(diào)函數(shù)則f ' (x)恒大于等于零或f ' (x)恒小于等于零，因?yàn)閍>0所以=（-2a）2-4a0，解得0<a1.【課堂練習(xí)】1、 選擇題1.（2011全國）曲線y=e-2x+1在點(diǎn)(0,2)處的切線與直線y=0和y=x圍成的三角形的面積為（ ）A B C D 12.（2010課標(biāo)全國）曲線在點(diǎn)(-1,-1)處的切線方程為（ ）A y=2x+1B y=2x-1C y=-2x-3D y=-2x-2

13、3.（2012陜西）設(shè)函數(shù)f(x)=xex,則（ ）A x=1為f(x)的極大值 B x=1為f(x)的極小值 C x=-1為f(x)的極大值D x=-1為f(x)的極大值4.（2008廣東理）設(shè)，若函數(shù)，有大于零的極值點(diǎn)，則（ ）A B. C. D. 5（2008江西、山西、天津理科）函數(shù)有（ ）A 極小值1，極大值1 B 極小值2，極大值3C 極小值2，極大值2 D 極小值1，極大值36.（2006湖南理科）設(shè)f(x)、g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當(dāng)x0時(shí),0.且，.則不等式f(x)g(x)0的解集是（ ）A B C D 7. （2007海南、寧夏理）曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸

14、所圍三角形的面積為（）D .8. （2008湖北理）若f(x)=上是減函數(shù)，則b的取值范圍是（ ）A.-1，+ B.（-1，+）. D.（-，-1）9（2005江西理科）已知函數(shù)的圖像如右圖所示（其中是函數(shù)，下面四個(gè)圖象中的圖象大致是 （ ） A B D（1） （2006江西、天津理科）右圖中陰影部分的面積是（ ）A B C D 二、填空題：11.（2007湖北文）已知函數(shù)的圖象在M（1，f（1）處的切線方程是+2，f(1)f(1)=_.12.（2007湖南理）函數(shù)在區(qū)間上的最小值是 .13.（2008全國卷理）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則 . 14.（2006湖北文）半徑為r的圓的面積S

15、(r)r2,周長C(r)=2r，若將r看作(0，)上的變量，則2r ，式可以用語言敘述為： 對(duì)于半徑為R的球，若將R看作(0，)上的變量，請(qǐng)你寫出類似于的式子： 式可以用語言敘述為： .三、解答題：15.（2005重慶文）某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的月生產(chǎn)量(噸)與每噸產(chǎn)品的價(jià)格(元/噸)之間的關(guān)系式為：,且生產(chǎn)x噸的成本為（元）。問該產(chǎn)每月生產(chǎn)多少噸產(chǎn)品才能使利潤達(dá)到最大？最大利潤是多少？（利潤=收入成本)。16.（2008重慶文）設(shè)函數(shù)若曲線y=f(x)的斜率最小的切線與直線12x+y=6平行，求： （）a的值; （）函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.17.（2008全國卷文、理）已知函數(shù)，（）

16、討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，求的取值范圍3. （2006浙江理）設(shè)曲線0）在點(diǎn)M（t, ）處的切線與x軸y軸所圍成的三角形面積為S（t）。 （）求切線的方程； （）求S（t）的最大值。19.（2007海南、寧夏文）設(shè)函數(shù)（）討論的單調(diào)性； （）求在區(qū)間的最大值和最小值20.（2007安徽理）設(shè)a0，f (x)=x1ln2 x2a ln x（x>0）.（）令F（x）xf（x），討論F（x）在（0.）內(nèi)的單調(diào)性并求極值；（）求證：當(dāng)x>1時(shí)，恒有x>ln2x2a ln x1.【課后作業(yè)】一、選擇題1.（2005全國卷文）函數(shù),已知在時(shí)取得極值,則=( ) A

17、2B 3C 4D 52(2008海南、寧夏文）設(shè)，若，則（ ）A B C D 3（2005廣東）函數(shù)是減函數(shù)的區(qū)間為（ ）A B C D（0，2）4.（2008安徽文）設(shè)函數(shù) 則（ ）A 有最大值 B 有最小值 C 是增函數(shù)D 是減函數(shù)5（2007福建文、理）已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x有f(x)=f(x)，g(-x)=g(x)，且x>0時(shí)，f(x)>0，g(x)>0，則x<0時(shí)（ ）A f(x)>0，g(x)>0 B f(x)>0，g(x)<0C f(x)<0，g(x)>0 D f(x)<0，g(x)<06.（2008全國卷文）設(shè)曲

18、線在點(diǎn)（1,）處的切線與直線平行,則( )A 1 B C D 7（2006浙江文）在區(qū)間上的最大值是（ ）A -2 B 0 C 2 D 4xyoAxyoDxyoCxyoB8（2005湖南文科）若函數(shù)f(x)=x2+bx+c的圖象的頂點(diǎn)在第四象限，則函數(shù)f /(x)的圖象是（ ）9（2005全國卷理科）函數(shù)yxcosxsinx在下面哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)（ ）A (，) B (，2)C (，)D (2，3)10. （2012重慶）設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是（A）函數(shù)有極大值和極小值 （B）函數(shù)有極大值和極小值 （C）函數(shù)有極大值和極小值 （D）函數(shù)有

19、極大值和極小值二、填空題：11.（2007浙江文）曲線在點(diǎn)(1，一3)處的切線方程是 .12.（2006重慶文科）曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線與x軸、直線所圍成的三角形的面積為 . 13（2007江蘇）已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，則 .14.（2008北京文）如圖，函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC,其中A,B,C的坐標(biāo)分別為（0，4），（2，0），（6，4），則f(f(0)= ; 函數(shù)f(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù)f(1)= .三、解答題：15.（2005北京理科、文科）已知函數(shù)f(x)= x33x29xa. （I）求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；（II）若f(x)在區(qū)間2，2上的最大值為20，

20、求它在該區(qū)間上的最小值16.（2006安徽文）設(shè)函數(shù)，已知是奇函數(shù)。（）求、的值。 （）求的單調(diào)區(qū)間與極值。1. （2005福建文科）已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)P（0，2），且在點(diǎn)M（1，f（1）處的切線方程為.（）求函數(shù)的解析式； （）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.18.（2007重慶文）用長為18 m的鋼條圍成一個(gè)長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2：1，問該長方體的長、寬、高各為多少時(shí)，其體積最大？最大體積是多少？（2008全國卷文） 設(shè)，（）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求的值；（）若函數(shù)，在處取得最大值，求的取值范圍20.（2008湖北文） 已知函數(shù)（m為常數(shù)，且m>0）有極大值9. （）求m的值；

21、（）若斜率為-5的直線是曲線的切線，求此直線方程.【參考答案】【課堂練習(xí)】一、選擇110AADBD DDCCC(2) 填空（1） 3 ； 12； 13. 2 ； 14. ,球的體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球的表面積函數(shù)三、解答題15. 解：每月生產(chǎn)x噸時(shí)的利潤為，故它就是最大值點(diǎn)，且最大值為：答：每月生產(chǎn)200噸產(chǎn)品時(shí)利潤達(dá)到最大，最大利潤為315萬元.16. 解：()因?yàn)? 所 即當(dāng)因斜率最小的切線與平行，即該切線的斜率為-12，所以 解得()由()知 17解：（1） 求導(dǎo)：當(dāng)時(shí)，, 在上遞增當(dāng)，求得兩根為即在遞增, 遞減, 遞增（2）要使f(x)在在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，在恒成立，由的圖像可知，

22、只需，即, 解得。a2。所以，的取值范圍。18.解：（）因?yàn)?所以切線的斜率為故切線的方程為即。（）令y= 0得x=t+1, x=0得所以S（t）=從而當(dāng)（0，1）時(shí)，>0, 當(dāng)（1,+）時(shí),<0,所以S(t)的最大值為S(1)=。19 解：的定義域?yàn)椋ǎ┊?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，從而，分別在區(qū)間，單調(diào)增加，在區(qū)間單調(diào)減少（）由（）知在區(qū)間的最小值為又所以在區(qū)間的最大值為20.（）解：根據(jù)求導(dǎo)法則得故 于是列表如下：x (0,2) 2 (2,+)F（x） - 0 +F(x) 極小值F（2） 故知F（x）在（0，2）內(nèi)是減函數(shù)，在（2，+）內(nèi)是增函數(shù)，所以，在x2處取得極小值F（2）2-

23、2In2+2a.（）證明：由于是由上表知，對(duì)一切從而當(dāng)所以當(dāng)故當(dāng)【課后作業(yè)】1、 選擇1-10 DBDAB ACABD1、 填空11. ； 12. ；13. 32；14. 2 , -2 .三、解答題15. 解：（I） f (x)3x26x9令f (x)<0，解得x<1或x>3，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為（，1），（3，）（II）因?yàn)閒(2)81218a=2a，f(2)81218a22a，所以f(2)>f(2)因?yàn)樵冢?，3）上f (x)>0，所以f(x)在1, 2上單調(diào)遞增，又由于f(x)在2，1上單調(diào)遞減，因此f(2)和f(1)分別是f(x)在區(qū)間2，2上

24、的最大值和最小值，于是有 22a20，解得 a2 故f(x)=x33x29x2，因此f(1)13927， 即函數(shù)f(x)在區(qū)間2，2上的最小值為716.解（），。從而是一個(gè)奇函數(shù)，所以得，由奇函數(shù)定義得；（）由（）知，從而，由此可知，和是函數(shù)是單調(diào)遞增區(qū)間；是函數(shù)是單調(diào)遞減區(qū)間；在時(shí)，取得極大值，極大值為，在時(shí)，取得極小值，極小值為。1、 解：()由的圖象過點(diǎn)P（0，2）,d=2知,所以 ,(x)=3x2+2bx+c,由在(-1,(-1)處的切線方程是6x-y+7=0,知-6-f(-1)+7=0,即f(-1)=1, (-1)=6,即解得b=c=-3。故所求的解析式為f(x)=x3-3x2-3x+2,() (x)=3x2-6x-3,令3x2-6x-3=0即x2-2x-1=0,解得x1=1-,x2=1+,當(dāng)x