立體幾何新題型.

1、立體幾何新題型1 .如圖，在四棱錐 P ABCD中，PC AD CD -AB 2面 ABCD./，A l1fBDC(1)求證：BC 平面PAC;(2)若M為線段PA的中點，且過C,D,M三點的平面與線段由；并求三棱錐A CMN的高.2 .在四B P ABCD中，PAD為正三角形，平面PADCD 2AB 2AD 4.P 1C(I)求證：T® PCD TWPAD;(n)求二棱錐P ABC的體積；(出)在棱PC上是否存在點E ,使得BE/平面PAD?若在 說明理由.2, AB/DC , AD CD, PC 平PB交于點N ,確定點N的位置，說明理平面 ABCD, AB/CD , AB AD

2、,在，請確7E點 E的位直并證明；若小存在，試卷第3頁，總6頁3 .如圖，ABCD是邊長為3的正方形，DE 平面ABCD, AF 平面ABCD , DE 3AF 3.(1)證明：平面 ABF/平面DCE；3:11 ?若存(2)在DE上是否存在一點 G ,使平面FBG將幾彳5體 ABCDEF分成上下兩部分的體積比為 在，求出點G的位置；若不存在，請說明理由 .4 .如圖，在四棱錐 P ABCD中，底面ABCD為直角梯形， AD/BC ,ADC 90 ,平面PAD底面ABCD , Q為AD的中點， M是棱PC上的點， PA PD , BC - AD . 2(I)求證：平面 PQB 平面PAD ;(

3、n)若三棱錐 A BMQ的體積是四棱錐 P ABCD體積的1 ,設(shè)PM tMC ,試確定t的值.65 .已知四棱錐P ABCD中，底面為矩形，PA 底面ABCD, PA BC 1, AB 2, M為PC上一點，M為PC的中點.BC(1)在圖中作出平面 ADM與PB的交點N ,并指出點N所在位置(不要求給出理由)；(2)求平面ADM將四棱錐P ABCD分成上下兩部分的體積比.6.如圖，四棱錐 P ABCD的底面為菱形 且/ ABC= 120° , PA，底面ABCD AB= 2, PA= J3 ,(1)求證：平面 PBDL平面PAC(2)求三棱錐 P-BDC的體積。(3)在線段PC上是

4、否存在一點 E,使PCL平面EBD成立.如果存在，求出 EC的長；如果不存在，請說明 理由。7 .在四B P ABCD中，底面ABCD為平行四邊形,AB 3, AD 242, ABC 45 , P 點2BE 2EA, M 在線段 CD 上，且 CM -CD .3在底面ABCD內(nèi)的射影E在線段AB上，且PE 2,(I)證明： CE 平面PAB ;(n)在線段 AD上確定一點F,使得平面PMF 平面PAB并求三棱錐 P AFM的體積.CD 3 .(1)證明:DCAB;8 .如圖，五面體 ABCDE中，四邊形 ABDE是菱形，ABC是邊長為2的正三角形，DBA 60 ,5(2)若C在平面ABDE內(nèi)的

5、正投影為 H ,求點H到平面BCD的距離.11.如圖，在四棱錐P ABCD中，底面ABCD是正方形， PA 底面ABCD , PA PB , E,FAD AP 2, AB DP 2J2 , E為CD的中點，點F在線段PB上.(l)求證： AD PC;(n)當(dāng)三棱錐 B EFC的體積等于四棱錐10.如圖，在四棱錐P ABCD中，OP ABCD體積的1時，求PF的值. 6 PBAD , AD / BC , AB AD ,AOABBC 1,PO 72, PC 73.PA7求證：平面POC 平面PAD; 若CD V2 ,三棱錐P ABD與C PBD的體積分別為V1、V2 ,求V1的值.V2分別是PA,

6、 PB的中點.(1)在圖中畫出過點E,F的平面 ，使得 /平面PCD (須說明畫法，并給予證明)；(2)若過點E,F的平面 /平面PCD且截四棱錐P ABCD所得截面的面積為 還，求四棱錐2P ABCD的體積.12.如圖，在各棱長均為2的三棱柱ABC AB1C1中，側(cè)面A1ACC1底面ABC, AAC 60o.(1)求三棱柱ABC AB1cl的體積；(2)已知點D是平面ABC內(nèi)一點，且四邊形ABCD為平行四邊形，在直線AA1上是否存在點P,使DP/平面AB1C ?若存在，請確定點P的位置，若不存在，請說明理由.本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細校對后使用，答案僅供參考參考答案1 .(1)詳見解析(2)

7、我【解析】試題分析：(1)先分別利用勾股定理和線面垂直的性質(zhì)得到線線垂直，再利用線面 垂直的判定定理進行證明；(2)利用三角形的中位線證明線線平行，進而通過四點共面確定點N的位置，再利用等體積法進行求解 .試題解析：(1)連接AC ,在直角梯形 ABCD中， AC Jad2 DC2 2& ,BC J AB CD 2 AD2 20,所以 AC2 BC2 AB2,即 AC BC.又 PC 平面 ABCD，二 PC BC ,又 AC PC C ,故 BC 平面 PAC .2 2) N為PB的中點，1因為M為PA的中點， N為PB的中點，所以 MN/AB,且MN -AB 2.2又AB/CD，.

8、- MN /CD，所以 M ,N,C,D 四點共面， 所以點N為過C,D, M三點的平面與線段 PB的交點.因為BC 平面PAC , N為PB的中點，所以N到平面PAC的距離d BC J5. 2又 SAACM 7S ACP A AC PC 五,所以 VN ACM 五 & .22 233由題意可知，在直角三角形 pca中，pa Jac2Pc7 2V3, cm J3 ,在直角三角形 PCB 中，PB,BC2PC2 2V3 ,CNJ3,所以 ScmnJ2.設(shè)三棱錐A CMN的高為h,VN ACMVA cmn 1J2h 2,解得：h72,3 3故三棱錐A CMN的高為J2.答案第13頁，總10

9、頁2. (1)證明見解析;(2) 2® ; (3)存在，證明見解析3【解析】試題分析：(I)先證明 CD AD , PAD ,再利用面面垂直的判定定理可得結(jié)論； 平面ABCD ,再根據(jù)棱錐的體積公式可得結(jié)果；再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得CD 平面(n )先根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得 PO(m)E為PC的中點時，BE/平面PAD,根先證明平面 BEF P平面PAD ,從而可得結(jié)果試題解析：(I)因為 AB/CD , AB AD,所以CD AD.因為平面PAD 平面ABCD ,平面PAD 平面ABCD AD , 所以CD 平面PAD .因為CD 平面PCD, 所以平面PCD 平面PAD.

10、(n)取AD的中點O,連結(jié)PO.因為 PAD為正三角形，所以PO AD.因為平面PAD 平面ABCD ,平面PAD 平面ABCD AD ,所以PO 平面ABCD,所以PO為三棱錐P ABC的高.因為 PAD為正三角形， CD 2AB 2AD 4,所以po .3.1 一 所以 Vp ABC 二 S ABC PO311 c c o 2 32 2 . 3 .3 23(出)在棱PC上存在點E,當(dāng)E為PC的中點時,BE/平面 PAD.分別取CP,CD的中點E,F ,連結(jié)BE,BF,EF .所以 EF/PD.因為 AB/CD, CD 2AB ,所以 AB/FD,AB FD .所以四邊形ABFD為平行四邊形

11、.所以BF PAD .因為 BF EF F, AD PD D,所以平面BEF P平面PAD .因為BE 平面BEF ,所以BE P平面PAD .3. (1)見解析(2)存在點G且EG 1滿足條件【解析】試題分析:(1)根據(jù)DE /AF, AB/CD ,結(jié)合面面平行的判定定理可知兩個平面平行；(2)先求出整個幾何體的體積.假設(shè)存在一點G ,過G作MG /BF交EC于M ,連接BG,BM，設(shè)EG t,求得幾何體GFBME的體積，將其分割成兩個三棱錐B EFG, B EGM ,利用t表示出兩個三棱錐的高， 再利用體積建立方程， 解方程組求得t的值.試題解析：解：(1) . DE 平面 ABCD, A

12、F 1平面ABCD,DE/AF , AF/平面 DCE ,. ABCD是正方形， AB/CD，.- AB/平面 DCE , AB AF A, AB 平面 ABF ， AF 平面 ABF，.平面 ABF/平面 DCE .(2)假設(shè)存在一點 G,過G作MG/BF交EC于M ,連接BG,BM ,ABCDEFVB ADEFVB CDE1 3 1 3 3 1 3 3 3 2132322設(shè) EG t，則 VGFBME VB EFG VB EGM 7?1一，2 14 4設(shè)M到ED的距離為h,則立我_L, h -t , Segm -t2 3 EC 3 124132 139.一 一. 一 3 -t- 3 -1

13、-，解得t 1,即存在點G且EG 1滿足條件.34324點睛：本題主要考查空間點線面的位置關(guān)系，考查幾何體體積的求法，考查探究性問題的解 決方法.第一問要證明面面平行，根據(jù)面面平行的判定定理可知，只需找到平面的兩條相交直線和另一個平面的兩條相交直線平行即可.第二問要對幾何體進行分割，先假設(shè)存在，接著計算出總的體積，然后再次利用分割法用體積來列方程組，求解出G的位置的值.4.(D 見解析；(n) t 1.【解析】試題分析：(I)由平面PAD 平面ABCD,且平面PAD 平面ABCD AD ,QB AD可證得BQ 平面PAD ,進而平面PQB 平面PAD ;(n)(n)由PA PD , Q為AD的

14、中點，可彳# PQ AD .由平面PAD 平面ABCD ,可得PQ 平面ABCD .設(shè)PQ h ,梯形ABCD面積為S ,則Saabq= - S , 31 I 1VP ABCD Sh ,利用 VA BQM VM ABQ 即可求信.3試題解析：1（I）證明：: AD/BC, BC -AD, Q 為 AD 的中點， 2四邊形BCDQ為平行四邊形， CD/BQ , ADC 90 , AQB 90 ,即 QB AD .又.平面PAD 平面ABCD,且平面PAD 平面ABCD AD , BQ 平面 PAD , BQ 平面PQB，平面PQB 平面PAD .（n） PA PD , Q 為 AD 的中點，PQ

15、 AD,平面PAD 平面ABCD ,且平面PAD 平面ABCD AD , PQ 平面 ABCD .設(shè)PQ h ,梯形ABCD面積為S ,則三角形 ABQ的面積為1S ,31Vp ABCD Sh - 3_11又設(shè)M到平面ABC的距離為h',則VA BQM VM ABQ - -Sh',3 3，一一一11111根據(jù)題意 Sh' Sh, h' h , 3 36 32故 MC T 1, PC h 2(2)因為MN是PBC的中位線,BC 1,所以1MN , AN2，且 AN AD ,所以梯形ADMN的面積為1 1 1 叵述, 2 228P點到截面ADMN的距離為P到直線AN

16、的距離d所以四棱錐P ADMN的體積V 1 3/521385 4而四棱錐P ABCD的體積V 1 2 1 -, 33 215所以四棱錐被截下部分體積 v2 V V12 1 ,3 4 12故上，下兩部分體積比 V13 .V25考點：線面平行性質(zhì)與判定定理，棱錐體積【思想點睛】空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略(1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進行 求解.(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補形法等 方法進行求解.(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條 件求解.6. (1)見

17、解析;(2) 1; (3)2 155【解析】試題分析：(1)要證面面垂直，一般先證線面垂直，也即要證線線垂直，由菱形可得BD AC ,又由PA 平面ABCD得PA BD ,從而可得直線與平面 PAC垂直，從而得證面面垂直；(2)三棱錐P BDC的底面是 BDC，高為PA,由體積公式可得體積；(3)假設(shè)存在，由線面垂直可得線線垂直，設(shè)AC BD 。，則EO PC ,在 PAC中由相似三角形可求得 EC長，反之只要有 EO PC ,就可得PC 平面EBD .試題解析:（1） 略證： 通過證 BDLAC,BDL PA,得出 BDL平面 PAC又BD在平面PB咕，所以平面 PBDL平面PADV - -

18、S. PA =工2、155（2） 、 假設(shè)存在，設(shè)川CflBD=。，則£。1 PC , COE sacpa , ce7.（D 見解析；（n）1.3【解析】試題分析：（I）根據(jù)余弦定理結(jié)合勾股定理可得 BE EC ,由PE 平面ABCD , 得PE EC。從而由線面垂直的判定定理可得結(jié)果；（n）取F是AD的中點，先證明CE平面PAB ,即可證明FM 平面PAB ,然后根據(jù)棱錐的體積公式可得結(jié)果.試題解析：（I）證明：在 BCE中，BE 2, BC 2艮 ABC 45 ,由余弦定理得EC 2.所以BE2 EC2 BC2,從而有BE EC.由PE 平面ABCD,得PE EC.所以CE 平面

19、PAB.（n）取F是AD的中點，作 AN/EC交CD于點N ,則四邊形 AECN為平行四邊形，CN AE 1,則 AN/EC.在 AND中，F(xiàn) , M分別是AD , DN的中點，則FM /AN ,所以FM /EC.因為CE 平面PAB,所以FM 平面PAB.又FM 平面PFM ,所以平面 PFM 平面PAB .111Svafm .2-3 sin45 二一. 232、，1 _1V = Svafm PE 33【方法點晴】本題主要考查線面垂直、面面垂直及棱錐的體積公式，屬于中檔題.證明直線和平面垂直的常用方法有：（1）利用直線和平面垂直的判定定理；（2）利用判定定理的推論aPb, a b ； （3）

20、利用面面平行的性質(zhì)a , P a ； （4）利用面面垂直的性質(zhì)，當(dāng)兩個平面垂直時，在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面8. （1）見解析（2）31326【解析】試題分析：（1）取AB的中點。，連OC,OD ,得到AB OC,進而彳導(dǎo)出AB OD ,利用線面垂直的判定定理，證得 AB 平面DOC ,即得到AB CD ;（2）取OD的中點H ,連結(jié)CH ,由（1）證得CH 平面ABD ,所以點H是D在平面ABD內(nèi)的正投影，設(shè)點 H到平面BCD的距離為d ,在 BCD中，求解面積S bcd，在OCD中，得S OCD，利用Vo BCD Vb ocd ,即可得到結(jié)論.試題解析：（1）證明：如圖，

21、取 AB的中點O ,連OC,OD因為 ABC是邊長為2的正三角形，所以 AB OC,OC J3又四邊形ABDE是菱形,DBA 60°,所以 DAB是正三角形所以 AB OD,OD 3而OD OC O ,所以AB 平面DOC所以AB CD（2）取OD的中點H ,連結(jié)CHJ由（1）知OC CD,所以AB ODAB 平面DOC ,所以平面DOC，平面ABD而平面DOC，平面ABD,平面DOC與平面ABD的交線為OD , 所以CH 平面ABD,即點H是D在平面ABD內(nèi)的正投影 設(shè)點H到平面BCD的距離為d,則點O到平面BCD距離為2d 因為在 BCD中，BC BD 2,CD J3,得在OCD

22、中,OC OD CD所以由Vo bcdVb ocd得一S BCD3d S OCD3OB即1 2 ,d341 33 13 41八 S BEC31 1h ° s SABCD PA, 6 3（2）由錐體體積公式得體積之比為SS S ABD hV131s h_ S BCD h3S ABDS BCD,再根據(jù)面積之比可得V19. （D 見解析；（n） 1.3【解析】試題分析：（I）根據(jù)余弦定理及勾股定理先證明BC AC ,可得AD AC,再由勾股定理得 PA AD ,進而可得結(jié)論；（n） F到平面 ABCD的距離為h,由1 一1 1 一一E二 S BEC h - SABCD PA,可信結(jié)果 .3

23、6 3試題解析：（I）證明：在平行四邊形 ABCD中，連接AC ,因為 AB 2金,BC 2, ABC 450,由余弦定理得AC4 8 4 2 2&2 cos45o 4,得 AC 2,所以 ACB 90o，即 BC AC ,又 AD / BC ,所以AD AC,又 AD AP 2, DP 242,所以 PA AD , AP AC A,所以AD 平面PAC ,所以AD PC .1（n）因為E為CD的中點， SBEC SR邊形ABCD4底面 ABCD AD,Q側(cè)面PAD 底面ABCD,側(cè)面PAD PA AD, PA 平面 ABCD.設(shè)F到平面ABCD的距離為h,1Q VB EFC VF B

24、EC _ VP ABCD , 6 _ PF 1h - PA,所以一一. PB 310. （1）見解析（2） 2【解析】試題分析：（1）先根據(jù)正方形性質(zhì)得OC AD,再根據(jù)勾股定理得 OC PO, 根據(jù)線面垂直判定定理得 OC 平面PAD ,最后根據(jù)面面垂直判定定理得面面垂直，的值.試題解析：（1）在四邊形OABC中，: AO BC, AO BC, AB AD,在 POC 中，: PO2 OC2 PC2,四邊形OABC是正方形，得OC AD. OC PO ,又 PO AD O , OC 平面PAD, 又OC 平面POC，:平面POC 平面PAD.（2）由（1）知，四邊形OABC為正方形，. OC

25、 AB 1, OC OD ,:OD JCD2 OC2 1 ,從而 AD 2,設(shè)點P到平面ABCD的距離為h, 二平行線BC與AD之間的距離為1,1c ,1乜3sABDhSabd2AD 1AD2V21s BCDhSbcd-BC 1BC3211 .(1)見解析；(2) g.【解析】試題分析：（1）分別取AD,BC的中點H,G ,連接EF,EH,HG,FG,可證 EH/面 PCD, HG/面 PCD,進而根據(jù) 面面平行得性質(zhì)可得結(jié)果；（2）設(shè)PA 2a,則EF a, GH 2a先證才形EFGH為直角梯形，再根據(jù)面積求得a 1, 進而可得結(jié)果.試題解析：（1）如圖所示，分別取AD,BC的中點H,G, 連接 EF, EH ,HG,FG ,因為 EF/AB, AB/HG ,所以 EF/HG, 即E,F,G,H四點共面，則平面FEHG為所求平面，因為 EH/PD , EH 面 PCD , PD 面 PCD , 所以 EH/面 PCD. 同理可得：HG/面PCD,且HG EH H,所以 /面PCD.（2）設(shè)PA 2a ,則EF a, GH 2