江蘇省南通市通州區(qū)2016-2017學(xué)年高一(下)期末數(shù)學(xué)試卷(解析版)

1、2016-2017學(xué)年江蘇省南通市通州區(qū)高一(下)期末數(shù)學(xué)試卷一、填空題(共14小題，每小題5分，滿分70分)1 .設(shè)集合 A=1 , 2, B=(a+1, 2),若 AU B=1,2, 3, M 實(shí)數(shù) a 的值為.2 .若向量：=(2, 1), t= ( - 4, x),且；/ fc,貝U x 的值為.3 .在 ABC中，已知 AB=2, AC=3, /A=120°,則 ABC的面積為.4 .函數(shù)f (x) =lg (2-x-x2)的定義域?yàn)?5 .若指數(shù)函數(shù)f (x) = (a-1) x是R上的單調(diào)減函數(shù)，則實(shí)數(shù) a的取值范圍 是.6 .已知直線x-y=0與圓(x-2)2+y2=

2、6相交于A, B兩點(diǎn)，則弦AB的長(zhǎng)為.7 .已知兩曲線f (x) =cosx與g (x) =gsinx的一個(gè)交點(diǎn)為P,則點(diǎn)P至ij x軸的 距離為.8 .已知長(zhǎng)方體 ABCA A1B1C1D1中，AB=AD=2 AA1二4,則該長(zhǎng)方體外接球的表 面積為.9 .如圖，D, E分別是 ABC的邊AC, BC上的點(diǎn)，且標(biāo)=5己筋=1五.若幣=凝 +帖。(%代R),貝U H n的值為.10 .如圖，已知正三棱柱 ABC- A1B1C1的所有棱長(zhǎng)均為2, 4DEF為平行于棱柱底面的截面，Q,O分別為上、下底面內(nèi)一點(diǎn)，則六面體OiDEFO的體積為11 .將函數(shù)f (x) =sin<0< 9V6

3、)圖象向右平移尚個(gè)單位后得到函數(shù)g (x)ir的圖象.若g(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為(f,0),則f(x)的最小正周期為.12 .在4ABC中，已知AB=AC=4 BC=Z / B的平分線交 AC于點(diǎn)D,則菽？近的第1頁(yè)(共19頁(yè))值為.13 .已知f (x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f (x) =x2-3x.若方程f (x) +x-t=0恰有兩個(gè)相異實(shí)根，則實(shí)數(shù)t的所有可能值為 .14 .在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A (2a, 0) (a>0),直線li: mx-y-2m+2=0 與直線12： x+my=0 (mC R)相交于點(diǎn) M,且MA2+MO2=2a2+16,

4、則實(shí)數(shù)a的取 值范圍是.二、解答題(共6小題，滿分90分)狂冗115 .已知 tan ( a-)=一尚.(1)求tan a的值;(2)求cos2 a的值.16 .在四棱錐P-ABCD中，已知DC/ AB, DC=2AB E為棱PD的中點(diǎn).(1)求證：AE/平面PBQ(2)若 PB± PC, PB±AB,求證：平面 PABL平面 PCD17 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，邊長(zhǎng)為1的正4OAB的頂點(diǎn)A, B均在第 一象限，設(shè)點(diǎn)A在x軸的射影為C, /AOC=.(1)試將了?溫表示a的函數(shù)f (a),并寫出其定義域；(2)求函數(shù)f ( a)的值域.18 .如圖，海平面某區(qū)域內(nèi)

5、有 A, B, C三座小島，島C在A的北偏東700方向, 島C在B的北偏東40°方向，且A, B兩島間的距離為3海里.(1)求B, C兩島間的距離；(2)經(jīng)測(cè)算海平面上一輪船D位于島C的北偏西50°方向，且與島C相距3M海 里，求輪船在島A的什么位置.(注：小島與輪船視為一點(diǎn))19 .在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓：x2+y2=4,直線l: 4x+3y-20=0. A(4, -1)為圓O內(nèi)一點(diǎn)，弦MN過(guò)點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)。作MN的垂線交l于點(diǎn)P.(1)若 MN / 1.求直線MN的方程；求 PMN的面積.(2)判斷直線PM與圓O的位置關(guān)系，并證明.20 .已知函數(shù) f (x) =a|

6、x-b|+1,其中 a, bC R.(1)若a<0, b=1,求函數(shù)f (x)的所有零點(diǎn)之和；(2)記函數(shù) g (x) =x2-f (x).若 a<0, b=0,解不等式 g (2x+1) <g (x-1)；若b=1, g (x)在0, 2上的最大值為0,求a的取值范圍.第3頁(yè)(共19頁(yè))第6頁(yè)(共19頁(yè))2016-2017學(xué)年江蘇省南通市通州區(qū)高一（下） 期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題（共14小題，每小題5分，滿分70分）1.設(shè)集合 A=1, 2, B= （a+1, 2）,若 AUB=1, 2, 3,則實(shí)數(shù) a 的佰為 2【考點(diǎn)】1D:并集及其運(yùn)算.【分析】由并集

7、定義得a+1=3,由此能求出實(shí)數(shù)a的值.【解答】解：二.集合 A=1, 2, B= （a+1, 2）, AU B= 1, 2, 3,a+1=3,解得實(shí)數(shù)a的值2.故答案為：2.2 .若向量黑（2, 1）, fc= （ - 4, x）,且；/1貝U x的值為 -2 .【考點(diǎn)】9K：平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示.【分析】利用向量共線定理即可得出.【解答】解：4-2x=0,解得x=-2.故答案為：-2.3 .在 ABC中，已知 AB=2, AC=3, /A=120°,則 ABC的面積為_(kāi)之, 【考點(diǎn)】HP:正弦定理.【分析】由已知利用三角形面積公式求解即可得答案.3V31【解答】 解：.

8、 AB=2 AC=3 /A=120°,Sabc=. AB?AC?sinA=二二二nl3 故答案為：斗.4 .函數(shù) f （x） =lg （2-x-x2）的定義域?yàn)椋?2、1）【考點(diǎn)】33:函數(shù)的定義域及其求法.【分析】根據(jù)函數(shù)y的解析式，列出使解析式有意義的不等式，求出解集即可.【解答】解：函數(shù)f (x) =lg (2-x-x2),2 - x- x2> 0,即 x2+x- 2< 0,解得-2<x< 1 ,函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?-2, 1).故答案為:(-2, 1).5.若指數(shù)函數(shù)f (x) = (a-1)、是R上的單調(diào)減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 (1,2)

9、.7.已知兩曲線f (x) =cosx與g (x) =gsinx的一個(gè)交點(diǎn)為P,則點(diǎn)P至U x軸的 距離為叵.一 2 一【考點(diǎn)】H7:余弦函數(shù)的圖象；H2:正弦函數(shù)的圖象.【分析】由題意根據(jù)cosx=JMsinx,求得x的值，可得y的值，從而得到點(diǎn)P到x 軸的距離為| y|的值.【解答】解：兩曲線f (x) =cosx與g (x) =/sinx的一個(gè)交點(diǎn)為P,設(shè)點(diǎn)P的坐 標(biāo)為(x, y),由 cosx=/sinx,可得 tanx=5,1S1x=k Y", kC Z, . . y=±乎,，點(diǎn)P至1J x軸的距離為| y| = , 故答案為：手.8 .已知長(zhǎng)方體 ABO AiB

10、iCiDi中，AB=AD=2 AAi=4,則該長(zhǎng)方體外接球的表 面積為 247.【考點(diǎn)】LG球的體積和表面積；LR球內(nèi)接多面體.【分析】由長(zhǎng)方體的對(duì)角線公式，算出長(zhǎng)方體對(duì)角線 AG的長(zhǎng)，從而得到長(zhǎng)方體外接球的直徑，結(jié)合球的表面積公式即可得到，該球的表面積【解答】 解：.長(zhǎng)方體 ABCD- A1B1C1D1 中，AB=3, AD=4, AA1二5,，長(zhǎng)方體的對(duì)角線ACi=序/7=2加，.長(zhǎng)方體ABCD- A1B1C1D1的各頂點(diǎn)都在同一球面上，球的一條直徑為AG,可得半徑R=/e,因此，該球的表面積為S=4冗長(zhǎng)=4 ttX (或)2=24冗故答案為：24冗.9 .如圖，D, E分另I是 ABC的

11、邊AC, BC上的點(diǎn)，且AE=DC, BE 與EC.若DE=/AE +(%代R),則？+ n的值為 3 .【考點(diǎn)】9H:平面向量的基本定理及其意義.【分析】DE=DC+CE=vAC+wCE=yM+w(前-AC)AE -/AC.1 j 二T， dJ/J b3b即可求得？+生【解答】 解：DE =DC+CE=AC+_|_CB=7；AC+_'(AB-AC )=7rAE -AC-.2 u 1則管弓J.J b 上故答案為：，10 .如圖，已知正三棱柱 ABC- A1B1C1的所有棱長(zhǎng)均為2, ZXDEF為平行于棱柱底面的截面，。1, O分別為上、下底面內(nèi)一點(diǎn)，則六面體O1DEFO的體積為2v5亍

12、一【考點(diǎn)】LF：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積.【分析】六面體的體積為上下兩個(gè)棱錐的體積和，根據(jù)體積公式化簡(jiǎn)即可得出答 案.【解答】解：設(shè)三棱錐 。1-DEF的高為,三棱錐 O-DEF的高為h2,則 h1+h2=AAi=2, Vo def+V。9”.二 一 _：+；-.：" ,% = ；$ de"（h+h2）=； ' ,273=3故答案為：莘.，一17T11.將函數(shù)f (x) =sin<0< w<6)圖象向右平移 七個(gè)單位后得到函數(shù)g (x) 的圖象.若g (x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為(1，0),則f (x)的最小正周期為 2K【考點(diǎn)】HJ：函數(shù)y=Asin

13、 (奸協(xié)的圖象變換.【分析】求出g (x)的解析式，利用對(duì)稱中心得出 叫再代入周期公式得出答案.【解答】 解：g (x) =f (x =sin(x -) =sin (x 烏 )， 666g (-Tt) =sin (-")=0,即萬(wàn)-s =k彳k e Z,.=3k,又 0V <6, cd =3.f (x)的最小正周期為T=.故答案為猙.10312.在 ABC中，已知AB=AC=4 BC=Z / B的平分線交 AC于點(diǎn)D,則正？正的值為【考點(diǎn)】9R平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.【分析】由余弦定理求得cosA,可得族？£=4x4x=14,再由內(nèi)角平分線定理, 可得ad=|ac,再由

14、向量的加減運(yùn)算和數(shù)量積的性質(zhì)：向量的平方即為模的平方, 計(jì)算即可得到所求值.【解答】解：由余弦定理可得cosA=AB；*C：F22AB*AC 16116-4 7=2X4X&T可得正?章=4X 4 X萬(wàn)=14,O由BD為/ABC的平分線，可得=' =0ad=1ac，即有正?近灰？(標(biāo)-凝)=AC?(段亮-贏)底正2 - AE?AC=7x 16-14=-差.OOO故答案為：-¥.-113.已知f (x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f (x)(x) +x-t=0恰有兩個(gè)相異實(shí)根，則實(shí)數(shù)t的所有可能值為 【考點(diǎn)】54:根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷.=x2 - 3x.若

15、方程f - 1,1【分析】求出f (x)的解析式，分離參數(shù)可得t=f (x) +x,作出g (x) =f (x)+x的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象可得t=±1.【解答】解：當(dāng) x< 0 時(shí)，f (x) = f ( x) =- (x2+3x) =-x2- 3x,由 f (x) +x - t=0 得 t=，y -2 x t 工 0/,作出g (x)的函數(shù)圖象如圖所示:戈, 工 <0-1第14頁(yè)(共19頁(yè))方程f (x) +x-t=0恰有兩個(gè)相異實(shí)根，即g (x) =t有兩個(gè)實(shí)根, t=1 或 t= - 1 .故答案為：-1,1.14 .在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A (2a, 0)

16、 (a>0),直線li: mx-y-2m+2=0 與直線12： x+my=0 (mC R)相交于點(diǎn) M,且MA2+MO2=2a2+16,則實(shí)數(shù)a的取 值范圍是 2, 1+布.【考點(diǎn)】IJ：直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系.【分析】?jī)芍本€方程聯(lián)立，消去 m,可得M的軌跡方程，再設(shè)M (x, y),運(yùn)用 兩點(diǎn)的距離公式，可得M的又一軌跡方程，由兩圓有公共點(diǎn)，可得 a的不等式， 解不等式即可得到a的范圍.a r 口亍 (mx-y-2irrF2=0【解答】解：由題息，, 八 ，x+ny=0將 m= X代入 h mx - y- 2m+2=0,化簡(jiǎn)可得 x2+y2-2x- 2y=0,即有M在以圓心G

17、 (1, 1),半徑為例的圓上，又點(diǎn) A (2a, 0) (a>0),設(shè) M (x, y),MA2+MO2=2a2+16,可得(x-2a) 2+y2+x2+y2=2a2+16,即有 x2+y2 - 2ax+a2 - 8=0,可得M在以圓心C2 (a, 0),半徑為2%年的圓上，由兩圓相交可得 無(wú)勺C1C2I <3,即為加w產(chǎn)+103加,解得 2<a<1+V17.故答案為：2, 1+J詬.二、解答題(共6小題，滿分90分).JT 115 .已知 tan ( a)=一1.(1)求tan a的值;(2)求cos2 a的值.【考點(diǎn)】GR兩角和與差白正切函數(shù)；GU：二倍角的正切.

18、【分析】(1)由已知利用兩角差的正切函數(shù)公式， 特殊角的三角函數(shù)值即可計(jì)算得解.(2)由tanag,利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角的余弦函數(shù)公式即可計(jì)算得解.【解答】 解：(1) , tan (a二)=；¥， =-，. 4 1+tanCl 3；解得：tan .a.(2)tan a 看,二 C0S2 a£0 3%一式” =lTan2 cl =g cos2Ct +si n2 Ct 1+tan2 CL 516 .在四棱錐PABCD中，已知DC/ AB, DC=2AB E為棱PD的中點(diǎn).(1)求證：AE/平面PBQ(2)若 PB± PC, PB±AB,求證：

19、平面 PABL平面 PCD【考點(diǎn)】LY平面與平面垂直的判定；LS直線與平面平行的判定.【分析】(1)取PC中點(diǎn)E,連結(jié)ER BF,推導(dǎo)出四邊形ABFE是平行四邊形，從 而AE/ BF,由止匕能證明AE/平面PBC(2)由 DC/ AB, PB±PC, PB± AB,彳4 PB± CD,從而 PB,平面 PC。由此能證 明平面PABL平面PCD【解答】證明：(1)取PC中點(diǎn)E,連結(jié)EF、BF,二.在四棱錐P- ABCD中，DC/ AB, DC=2AB E為棱PD的中點(diǎn)，ef14cd, abJct,.E匚AB, 四邊形ABF就平行四邊形，AE/ BF,. AE?平面

20、PBQ BF?平面 PBQAE/平面 PBC(2) DC/ AB, PB± PC, PB± AB,PB± CD,P8 CD=CPB，平面 PCD,v PB?平面PAB，平面 PABL平面PCD17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，邊長(zhǎng)為1的正4OAB的頂點(diǎn)A, B均在第 一象限，設(shè)點(diǎn)A在x軸的射影為C, /AOC=.(1)試將不?無(wú)表示a的函數(shù)f (a),并寫出其定義域；(2)求函數(shù)f ( a)的值域.【考點(diǎn)】9R平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；36:函數(shù)解析式的求解及常用方法.【分析】(1)根據(jù)題意，用a表示出不、豌、0C,求出豌，利用數(shù)量積個(gè)數(shù)計(jì)算f (a)并化簡(jiǎn)，寫出

21、a的取值范圍；(2)根據(jù)a的取值范圍即可求出函數(shù)f (a)的值域.【解答】解：(1)根據(jù)題意，|正|=1, /AOC=,0?= (cosa, sin 4,JTTT0E= (cos ( a+-) , sin ( a+-),0C= (cos % 0)；JTJT二 CE=OE 0C= (cos ( a+二)cos % sin ( a+q),f(a) =55?K=C0ScC0S ( a+)-COS c+sin a sin( a+-)3:12=coq ( a+-) - a - COS a_11+81口=2 21 -JT= _COS2 a,其中 aC (0,);2 6(2)由(1)知，f ( a) =-,

22、COS2%長(zhǎng)(0, 4)時(shí)，2底(0, ?),cos2 底(段, 1),jcos2 長(zhǎng)(-， r), 224函數(shù)f ( a)的值域?yàn)?-2，-日). /7318 .如圖，海平面某區(qū)域內(nèi)有 A, B, C三座小島，島C在A的北偏東700方向， 島C在B的北偏東40°方向，且A, B兩島間的距離為3海里.(1)求B, C兩島間的距離；(2)經(jīng)測(cè)算海平面上一輪船 D位于島C的北偏西50°方向，且與島C相距3M海 里，求輪船在島A的什么位置.(注：小島與輪船視為一點(diǎn))【考點(diǎn)】HU:解三角形的實(shí)際應(yīng)用.【分析】（1）在 ABC中使用正弦定理得出BC;（2）在 ABC中求出AC,再在

23、ACD中利用余弦定理求出 AD,利用正弦定理 求出/ DAG得出結(jié)論.【解答】解：（1）由題意可得/ ABC=105, /BAC=45, AB=3, ./ACB=30,在 ABC中,由正弦定理得ABBC忘inNACB iinNBAC '第16頁(yè)（共19頁(yè)）3 _BC即工邁，解得BC=S （海里）.T F（2）由題意可知 CD=3/2, /ACD=60,在ABC中，由余弦定理得 AC=yAB2+BC-2AB*BC-cosZABC =3vZ2+Vs,由正弦定理得:在 ACD中，由余弦定理 AD=; AC2+CD3-2AC-CDcosZAC=3/3 ,sinz DAC sih/ACD sin

24、/DAC sinbO解得 sin/DAC#, ./ DAC=45,D船在A島北偏東25°方向上，距離A島3灰海里處.19 .在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓：x2+y2=4,直線l: 4x+3y-20=0. A （卷,-1）為圓O內(nèi)一點(diǎn)，弦MN過(guò)點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)。作MN的垂線交l于點(diǎn)P.（1）若 MN / l.求直線MN的方程；求 PMN的面積.（2）判斷直線PM與圓O的位置關(guān)系，并證明.【考點(diǎn)】J9直線與圓的位置關(guān)系.【分析】（1）求出直線MN的斜率k=kAB= - 4,由此能求出直線MN的方程.求出點(diǎn)O （0, 0）到直線MN的距離d=1,從而MN=2jH=2g,點(diǎn)。到直線l的距離| OP

25、| =4, P到MN的距離h=4 - 1=3,由此能求出 PMN的面積SaPMN.5yn-35 工廠4（2）設(shè)M （刈，yo）,則直線MN的斜率k=，直線0P的斜率為-瓦石,直線OP的方程為y=- 1r 口辦x,聯(lián)立，產(chǎn)5344（5北一3）5yL 工，得點(diǎn) p（n72r,&3V-20二0以-415KtiY）-：；）,求出PM, 0M,推導(dǎo)出PM,OM=0,從而PMXOM,進(jìn)而直線PM與4幾圓O相切.【解答】解：（1）.圓：x2+y2=4,直線 l： 4x+3y- 20=0, A （|, 1）為圓 O 內(nèi)一點(diǎn)，弦 MN 過(guò)點(diǎn) A, MN / 1,直線MN的斜率k=kAB=-|,直線mn的

26、方程為：y 1= 1（x-卷），整理，得：4x+3y-5=0.I n+n 七 I點(diǎn)O （0, 0）到直線MN的距離d飛舟=1,MN=2 府 _ ¥=2%K=2 優(yōu),點(diǎn)O到直線1的距離| OP = "j：消 =4,P 至ij MN 的距離 h=4 1=3,.PMN 的面積 Sapmn烏MMNXh=,X2«M3=3jl（2）直線PM與圓O相切，證明如下：設(shè)M (xo, y0),則直線MN的斜率k二 一 J Ik. OP,MN, .直線OP的斜率為-5工口 Y 5"3,直線OP的方程為_(kāi) 5”y三7 x，5y 0 -35中y=-7X5 V0-3,4x+3y-2

27、0=0一 415Vn»3)4(5xn-4)解得點(diǎn) P 的 坐標(biāo)為 (-, -),44-3叼4f-3M- ,1=(4(5y0-3)4(5x(j-4)匚4九-3Koi-Wop0NI (x。，y。)，0 +y口 二4,., 4的(5丫口-3)2 4%(5工0-4)” 一二、,!二,4加。(5¥3)-4里口(5kqT)4y0-344-12 Xn+16y n 10I ： ,5畫,商， PMXOM.直線PM與圓O相切.20.已知函數(shù) f (x) a|x-b|+1,其中 a, b R(1)若a。，b1,求函數(shù)f (x)的所有零點(diǎn)之和；(2)記函數(shù) g (x) x2-f (x).若 a。，

28、b=0,解不等式 g (2x+1) g (x-1)；若b=1, g (x)在0, 2上的最大值為0,求a的取值范圍.【考點(diǎn)】52：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理.【分析】(1)判斷f (x)的單調(diào)性和對(duì)稱軸，得出零點(diǎn)個(gè)數(shù)和零點(diǎn)之和;x的范圍;(2)根據(jù)g (x)的奇偶性和單調(diào)性列出不等式得出討論a的范圍，判斷g (x)的單調(diào)性，根據(jù)最大值驗(yàn)證或列出不等式得出 a 的范圍.【解答】解：(1)(x) =a| x- 11+ 1 =a-aic+1,ax-a+1,41': a< 0,f (x)在(-OO, 1)上單調(diào)遞增，在(1, +8)上單調(diào)遞減,又 f (1) =1, f (x)在(-8, 1)和(1, +OO)上各有1個(gè)零點(diǎn)，. f (x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱, .f (x)的所有零點(diǎn)之和為2.(2) b=0 時(shí)，f (x) =a| x|+ 1,g (x)