(完整版)專升本高等數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)匯總

1、專升本高等數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)匯總常用知識(shí)點(diǎn):一、常見函數(shù)的定義域總結(jié)如下：y kx b(1) 2一般形式的定義域：xCRy ax bx ck(2) y 分式形式的定義域：xw0x(3) y 、反根式的形式定義域：x0(4) y log a x對(duì)數(shù)形式的定義域：x0二、函數(shù)的性質(zhì)1、函數(shù)的單調(diào)性當(dāng)xi x2時(shí),恒有f(xi) f(x2), f (x)在x1,x2所在的區(qū)間上是增加的.當(dāng)x1 *2時(shí),恒有f(x1) f(x2), f (x)在x1, x2所在的區(qū)間上是減少的.2、 函數(shù)的奇偶性D)定義：設(shè)函數(shù)y f(x)的定義區(qū)間D關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(即假設(shè) x D,那么有 x偶函數(shù)f (x) x D ,恒

2、有f( x) f(x).(2)奇函數(shù) f (x) x D ,恒有 f( x) f(x).三、根本初等函數(shù)2、哥函數(shù)：y xu1、常數(shù)函數(shù)：y c,定義域是(,),圖形是一條平行于 x軸的直線.(u是常數(shù)).它的定義域隨著 u的不同而不同.圖形過原點(diǎn).3、指數(shù)函數(shù)定義：y f (x)a是常數(shù)且a0, a 1).圖形過(0,1)點(diǎn).4、對(duì)數(shù)函數(shù)定義：y f (x)a是常數(shù)且1).圖形過(1,0)點(diǎn).5、三角函數(shù)正弦函數(shù)：ysin x(2)(4)D(f),f (D)1,1.余弦函數(shù)：ycosx.D(f),f (D)1,1.正切函數(shù):,D(f)余切函數(shù):D(f)tan x.x | x R, xy co

3、tx.x | x R, x(2k 1)-,k Z,k Zf(D)f(D).).5、反三角函數(shù)反正弦函數(shù)：arcsin x ,D(f)1,1, f (D)2,2(2)反余弦函數(shù)：arccos ,D(f)1,1,f(D)0,.反正切函數(shù)：arctanx ,D(f),f(D) ( -,2)反余切函數(shù)：arccotx ,D(f),f(D) (0,).(4)一、求極限的方法1、代入法代入法主要是利用了 “初等函數(shù)在某點(diǎn)的極限,等于該點(diǎn)的函數(shù)值.因此遇到大局部簡(jiǎn)單題目的時(shí)候,可以直接代入進(jìn)行極限的求解.2、傳統(tǒng)求極限的方法(1)利用極限的四那么運(yùn)算法那么求極限.(2)利用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限.(3)利用

4、兩個(gè)重要極限求極限.(4)利用羅比達(dá)法那么就極限.、函數(shù)極限的四那么運(yùn)算法那么設(shè) lim u A, lim v B ,那么(1)lim (u xv) lim u lim v A B(2)lim (u xv)lim uxlim v AB x推論(a) lim (Cxv) C(C為常數(shù)).(3)(5)三、(b) lim un (lim u)nxxlim ulim xv lim vxP(x)為多項(xiàng)式P(x)0).nn 1a0xaxan ,那么 lim P(x)P(Xo)X x0P(x),Q(x)均為多項(xiàng)式, 且Q(x) 0,那么lim以 x M Q(x)P(x0)Q(xo)等價(jià)無(wú)窮小常用的等價(jià)無(wú)窮小

5、量代換有：當(dāng)x 0時(shí),arcsinx - x , ln(1 x)x , ex 1 x, 1sin x 1cosx 對(duì)這些等價(jià)無(wú)窮小量的代換,應(yīng)該更深一層地理解為：當(dāng) 似.四、兩個(gè)重要極限重要極限I limx 0sinx1.它可以用下面更直觀的結(jié)構(gòu)式表示:.sin 口 dlim 1二 0 口x , tanx x , arctanx x ,-x .2口 0時(shí),sin口口,其余類1重要極限II lim 1 一 x xxe. 1其結(jié)構(gòu)可以表本為：lim 1 一 e 八、洛必達(dá)(LHospital)法那么“0型和“型不定式,存在有l(wèi)imf limU) A (或 ).0x a g(x) x a g (x)

6、一元函數(shù)微分學(xué)一、導(dǎo)數(shù)的定義x在x0處取得增量x (點(diǎn)設(shè)函數(shù)y f(x)在點(diǎn)xo的某一鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)自變量x0 x仍在該鄰域內(nèi))時(shí),相應(yīng)地函數(shù)y取得增量 yf(x0x) f(x0).如果當(dāng)x 0時(shí),函數(shù)的增量 y與自變量 x的增量之比的極限lim -y= lim f(x一x) f(x0)= f (x0)注意兩個(gè)符號(hào)x和x0在題目中可能換成其x 0 x x 0x他的符號(hào)表示.二、求導(dǎo)公式1、根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(1) (C)0 (C為常數(shù))1(x ) x (為任意常數(shù))(3) (ax)axln a (a 0,a 1) 特殊情況(ex)ex111(4)(log a x) -log a e (x

7、 0,a 0, a 1), (ln x) 一xx ln ax(sin x) cosx(6) (cos x) sin x2cos x(7)(tan x)1(8 ) (cot x)sin x(9) (arcsinx)1(1x1)2. 1 x(10)(arccosx)11(1x1),1 x2(11)(arctanx)(12)(arc cotx)11 x211 x22、導(dǎo)數(shù)的四那么運(yùn)算公式(1)u(x) v(x) u (x) v (x)(2 )u(x)v(x) u (x)v(x) u(x)v(x)(4 )u(x)v(x)u (x)v(x) u(x)v (x)(3 ) ku ku (k為常數(shù))v2(x)

8、3、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式：設(shè)y f (u), u (x),且f(u)及(x)都可導(dǎo),那么復(fù)合函數(shù)y f (x)的導(dǎo)數(shù)為 dy 電電 f(u). (x). dx du dx三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1、函數(shù)的單調(diào)性_ . _ 、 f (x) 0那么f (x)在(a, b)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加._ _ f (x) 0那么f (x)在(a, b)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)減少.2、函數(shù)的極值_ . . . . . _ . .f (x) 0的點(diǎn)一一函數(shù)f(x)的駐點(diǎn).設(shè)為Xo(1)右 xX0時(shí),f (x)0；xX0時(shí),f(x)0 ,那么f(Xo)為f (x)的極大值點(diǎn).,一、4_ _-, 右xXo時(shí),f (x)0；xXo時(shí),f(x)0 ,

9、那么f (Xo)為f (x)的極小值點(diǎn). (3)如果f (x)在Xo的兩側(cè)的符號(hào)相同,那么 f (Xo)不是極值點(diǎn).3、曲線的凹凸性, _ . _. 、 一f (x) 0,那么曲線y f (x)在(a,b)內(nèi)是凹的._ _ 、f (x) 0,那么曲線y f (x)在(a,b)內(nèi)是凸的.4、曲線的拐點(diǎn),、一一,、, . _ .(1)當(dāng)f (x)在xo的左、右兩側(cè)異號(hào)時(shí),點(diǎn)(x0, f (x.)為曲線y f(x)的拐點(diǎn),此時(shí)f (xo) 0. 當(dāng)f (x)在x0的左、右兩側(cè)同號(hào)時(shí),點(diǎn)(x0,f(x0)不為曲線yf(x)的拐點(diǎn).5、函數(shù)的最大值與最小值極值和端點(diǎn)的函數(shù)值中最大和最小的就是最大值和最小

10、值.四、微分公式, dy f (x)dx ,求做分就是求導(dǎo)數(shù).一元函數(shù)積分學(xué)一、不定積分1、定義,不定積分是求導(dǎo)的逆運(yùn)算,最后的結(jié)果是函數(shù)+C的表達(dá)形式.公式可以用求導(dǎo)公式來記憶.2、不定積分的性質(zhì)(1) f(x)dx f(x)或 d f(x)dx f (x)dx(2) F(x)dx F(x) C 或 dF(x) F(x) C(3) f (x)(x) (x)dx f (x)dx (x)(x)dx.(4) kf(x)dx k f(x)dx (k為常數(shù)且 k 0).2、根本積分公式(要求熟練記憶)(1) 0dx C(2) xadxxa 1 C (a 1).a 11 一一(3) -dx in x C

11、.xx 1 x -(4) a dx a C (a 0,a 1)In a(5) exdx ex C(6) sin xdx cosx C(7) ) cosxdx sin x C-1(8 )2dx tanx C .cos x(9 )2dxcotx C.sin x1(10dx arcsin x C.1 x21(11) dx arctanx C.1 x23、第一類換元積分法對(duì)不定彳散分g(x)dx ,將被積表達(dá)式g(x)dx湊成g(x)dx f (x) (x)dx f (x)d (x),這是關(guān)鍵的一步.常用的湊微分的公式有： 1 .(1) f (ax b)dx f (ax b)d (ax b) a(2

12、) f(axk b) xk 1dx f(axk b)d(axk b) ka(3 ) f (x) -dx 2 f Vxd Vx x.11.11(4 ) f(-) dxf(-)d-x xx x(5 ) f(ex) exdxf(ex)d(ex).1(6 ) f (ln x) dx f (ln x)d(ln x) x(7 ) f(sin x) cosxdxf (sin x)d (sin x)(8 ) f (cos x) sin xdx f (cos x) d (cos x)1(9 ) f (tan x) 2 dxf (tanx)d(tanx)cos x1(10) f (cot x) 2dxf (cot

13、 x)d(cotx)sin x1(11) f (arcsin x)dx f (arcsin x)d(arcsin x)1 x21(12) f (arccosx) dx f (arccosx)d (arccosx),1 x21(13) f (arctanx) 2 dx f (arctanx)d(arctanx)1 x(14) (-dx d(ln (x)( (x) 0)(x)4、分部積分法udv uv vdu二、定積分公式1、(牛頓萊布尼茨公式)如果F(x)是連續(xù)函數(shù)f (x)在區(qū)間a,b上的任意一個(gè)原函數(shù),b那么有 f(x)dx F(b) F(a). a2、計(jì)算平面圖形的面積如果某平面圖形是由兩

14、條連續(xù)曲線y g(x), y2f (x)及兩條直線 xi a和x2b所圍成的(其中 是下面的曲線,y2是上面的曲線),那么其面積可由下式求出： bS af(x) g(x)dx. a3、計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的體積設(shè)某立體是由連續(xù)曲線y f(x)(f(x) 0)和直線 x a, x b(a b)及x軸所圍平面圖形繞 x軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體,如下圖.那么該旋轉(zhuǎn)體的體積V可由下式求出:b 2b 2Vxf (x)dx f (x)dx.aa多元函數(shù)微分學(xué)1、偏導(dǎo)數(shù),對(duì)某個(gè)變量求導(dǎo),把其他變量看做常數(shù).2、全微分公式：dz df (x, y) A x By.3-復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)一一利用函數(shù)結(jié)構(gòu)圖如果u(x, y)

15、、v(x, y)在點(diǎn)(x, y)處存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)且在對(duì)應(yīng)于(x, y)的點(diǎn)(u,v)處,函數(shù)zf (u,v)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù) ,那么復(fù)合函數(shù)u vz f (x,y), (x, y)在點(diǎn)(x, y)處存在對(duì)x及y的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且zzuzvzzuzv-,xuxvxyuyvy4、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) . 、一 一 _ , 對(duì)于方程F(x, y) 0所確定的隱函數(shù) y f(x),可以由以下公式求出y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)y :yF,Fy(x, y)2、隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)對(duì)于由方程F(x, y,z) 0所確定的隱函數(shù) z f(x,y),可用以下公式求偏導(dǎo)數(shù)： zFx (x, y, z)zFy(x,y,z)i?i?xFz (x

16、, y, z)yFz(x,y,z)5、二元函數(shù)的極值設(shè)函數(shù)zf(x0,yO)在點(diǎn)(x0,y0)的某鄰域內(nèi)有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且fx(x0,y0)0 , f y (x0 , y0 )0 又僅 f xx (x0 , y0 )A , f xy (x0 , Yo)B , f yy (x0 , 丫0)C ,那么：(1)當(dāng)B2 AC 0時(shí),函數(shù)f (x, y)在點(diǎn)(xo, yo)處取得極值,且當(dāng) A 0時(shí)有極大值,當(dāng) A 0時(shí)有極小值. 當(dāng)B2 AC 0時(shí),函數(shù)f (x, y)在點(diǎn)(x0, y0)處無(wú)極值.(3)當(dāng)B2 AC 0時(shí),函數(shù)f(x, y)在點(diǎn)(x, y0)處是否有極值不能確定,要用其它方法

17、另作討論.平面與直線1、平面方程(1)平面的點(diǎn)法式方程：在空間直角坐標(biāo)系中,過點(diǎn)M 0(x0, y01z0),以n A, B, C為法向量的平面方程為A(x X0) B(y y) C(z z0) 0稱之為平面的點(diǎn)法式方程(2)平面的一般式方程Ax By Cz D 0稱之為平面的一般式方程2、特殊的平面方程Ax By Cz 0表示過原點(diǎn)的平面方程Ax By D 0表示平行于Oz軸的平面方程Ax By 0 表示過Oz軸的平面方程Cz D 0表示平行于坐標(biāo)平面 xOy的平面方程3、兩個(gè)平面間的關(guān)系設(shè)有平面i : Aix Biy Ciz Di 02:A2x B2y C2z D20平面i和2互相垂直的充

18、分必要條件是：AiA2 Bi B2 CiC2 0平面i和2平行的充分必要條件是:ABiCiDiA2B2C2D2平面i和2重合的充分必要條件是:ABiCiDiA2B2C2D24、直線的方程(i)直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程過點(diǎn)M 0(x0, y,z)且平行于向量s m,n, p的直線方程x- 匕叢 Jz稱之為直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程(又稱點(diǎn)向式方程、對(duì)稱式方程) m n p常稱s m,n, p為所給直線的方向向量AxB1y Gz Di 0 ,、,11稱之為直線的一般式方程A2x B2y C2z D205、兩直線間關(guān)系設(shè)直線l1,l2的方程為xx1yy1zz11 .m1 n1p1,x x2 y y2 z z2i -

19、m2n2 p2直線li , l 2平行的充分必要條件為一； m2也直線l1 , l2互相垂直的充分必要條件為m1m2n1n2 p1P206、直線l與平面間的關(guān)系設(shè)直線l與平面的方程為l . x x. yyozzom n p:A(x x.) B(y yo) C(z z.) 0直線l與平面垂直的充分必要條件為:ABCm n p直線l與平面平行的充分必要條件為:Am Bn Cp 0Am0 Bno Cp0 Dl落在平面上的充分必要條件為Am Bn Cp 0Am Bn. Cp D 0將初等函數(shù)展開成事級(jí)數(shù)1、定理：設(shè)f (x)在U(x0,)內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù),且f (n 1)()lim Rn(x) 0 ,

20、 Rn(x) (-2(x x)n1 那么在 U(x0,)內(nèi)n(n 1)!一、/(%)/、nf(x) (x 5)n 0 n!稱上式為f (X)在點(diǎn)Xo的泰勒級(jí)數(shù).或稱上式為將f(X)展開為X Xo的哥級(jí)數(shù).2、幾個(gè)常用的標(biāo)準(zhǔn)展開式D 1( 1)nxn1 X n 0neX Xn 0 n!2n 1 sin x ( 1)n n 0(2n 1)!2n cosx ( 1)n n 0(2n)!n X ln(1 x) ( 1) n 0nnX ln(1 x)n 0 n常微分方程1、一階微分方程(1)可別離變量的微分方程假設(shè)一階微分方程 F(x,y, y ) 0通過變形后可寫成 g(y)dy f (x)dx 或

21、y f(x)g(y)那么稱方程F(x, y, y ) 0為可別離變量的微分方程.2、可別離變量微分方程的解方程g(y)dyf (x)dx必存在隱式通解 G(y) F(x) C.其中：G(y) g(y)dy, F(x) f(x)dx.即兩邊取積分.(2) 一階線性微分方程1、定義：方程 y P(x)y Q(x)稱為一階線性微分方程.(1)非齊次方程一一 Q(x) 0 ;(2)齊次方程y P(x)y 0.2、求解一階線性微分方程P(x)dx(1)先求齊次方程 y P(x)y 0的通解：y Ce ,其中C為任意常數(shù). P(x)dx(2)將齊次通解的 C換成u(x).即y u(x)e(3)代入非齊次方

22、程 y P(x)y Q(x),得P(x)dxP(x)dxy eq( x)e dx C2、二階線性常系數(shù)微分方程 (1)可降階的二階微分方程1、yf(x)型的微分方程1 2x1 2x_例3： 求方程y -e sin x的通解.分析：y y dx - e cosx C1 ;24y y dx -e2x sin x C1x C2.82、y f (x, y )型的微分方程解法：令p y ,方程化為p f (x, p)；(2)解此方程得通解p(x,CJ ；(3)再解方程 y (x,Ci)得原方程的通解y (x,C1)dx C2.3、yf(y, y)型的微分方程解法：令p y,而ap為y的函數(shù),那么y型型燈p也 dx dy dx dy(2)代