圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系

1、圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系考綱要求1 .掌握確定圓的幾何要素.2 .掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.3 .能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系.4 .能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系.5 .能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題.6 .初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想.第1課時(shí)系統(tǒng)知識、1.圓的定義及方程定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡叫做圓標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+ (y- b)2= r2(r>0)圓心：(a, b)半徑：r一般方程x2+y2+Dx+Ey+F = 0(D2 + E2-4F >0)圓心：D2,2j半徑：r=Vd2+E2-4F2

2、2 .點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn) M(x0, yo),圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2+(y b)2=r2.理論依據(jù)在到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系三種情況(x。一 a)2+(y。一 b)2三r2?點(diǎn)在圓上(x0a)2+(y0b)2二r2?點(diǎn)在圓外(x° a)2+ (y° b)2< r2?點(diǎn)在圓內(nèi)提醒不要把形如x2+y2+Dx+Ey+F = 0的結(jié)構(gòu)都認(rèn)為是圓，一定要先判斷D2+E24F的符號，只有大于0時(shí)才表示圓.謹(jǐn)記常用結(jié)論若x2+y2+Dx + Ey+F = 0表示圓，則有：(1 1 F = 0時(shí)，圓過原點(diǎn).(2肖D=0, EW0時(shí)，圓心在y軸上；當(dāng)Dw0, E = 0時(shí)，圓心在x

3、軸上.(31D=F = 0, EW0時(shí)，圓與x軸相切于原點(diǎn)； E=F=0, Dw0時(shí)，圓與y軸相切于原點(diǎn).(4肖D2= E2= 4F時(shí)，圓與兩坐標(biāo)軸相切 .小題練通1 .人教A版教材P124A組T4圓C的圓心在x軸上，并且過點(diǎn)A(1,1)和B(1,3),則圓C的方程為 答案：(x- 2)2+y2=102 .教材改編題經(jīng)過點(diǎn)(1,0),且圓心是兩直線 x= 1與x+y= 2的交點(diǎn)的圓的方程為 . 答案:(x 1)2+(y1)2=13 .教材改編題圓心為(1,1)且過原點(diǎn)的圓的方程是 .答案:(x- 1)2+(y1)2=24 .易錯(cuò)題已知圓的方程為 x2+y2+ax+2y+a2=0, 一定點(diǎn)為 A

4、(1,2),要使過定點(diǎn) A的圓的切線有兩條, 則a的取值范圍是.較案. 2.3 2，3口水13，3 )5 .若坐標(biāo)原點(diǎn)在圓(x- m)2+(y+ m)2=4的內(nèi)部，則實(shí)數(shù) m的取值范圍是 .答案：(“,平6 .在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過三點(diǎn)(0,0), (1,1), (2,0)的圓的方程為 .答案：x2+y2-2x=0二、1.直線與圓的位置關(guān)系(半徑r,圓心到直線的距離為d)相離相切相交圖形必量化方程觀點(diǎn)A0A= 0A> 0幾何觀點(diǎn)d> rd三rd< r2 .圓的切線(1)過圓上一點(diǎn)的圓的切線過圓x2+y2=r2上一點(diǎn)M(x°, y。)的切線方程是x+ypy： r2.

5、過圓(x a)2+(yb)2=r2上一點(diǎn) M(x), y°)的切線方程是(x° a)(xa)+(yq b)(yb)= r2.(2)過圓外一點(diǎn)的圓的切線過圓外一點(diǎn) M(x°, y。)的圓的切線求法：可用點(diǎn)斜式設(shè)出方程，利用圓心到直線的距離等于半徑求出斜率k,從而得切線方程；若求出的k值只有一個(gè)，則說明另一條直線白斜率不存在，其方程為x=%.(3)切線長從圓x2+y2+Dx + Ey + F = 0(D2+ E2 4F > 0)外一點(diǎn) M(x°, y°)引圓的兩條切線，切線長為 寸x2 + y2 + Dx0 + Ey0+ F.兩切點(diǎn)弦長：利用

6、等面積法，切線長a與半徑r的積的2倍等于點(diǎn)M與圓心的距離d與兩切點(diǎn)弦長b的積，即 b=2ar d提醒過一點(diǎn)求圓的切線方程時(shí)，要先判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，以便確定切線的條數(shù).3 .圓的弦問題直線和圓相交，求被圓截得的弦長通常有兩種方法：(1)幾何法：因?yàn)榘胂议L ，弦心距d、半徑r構(gòu)成直角三角形，所以由勾股定理得L=2r2d2.(2)代數(shù)法：若直線 y= kx+ b與圓有兩交點(diǎn) A(xi, yi), B(x2, y2),則有: |AB| =/+ k2 |xi X2|= yJ1+2 |yi y2.謹(jǐn)記常用結(jié)論過直線 Ax+By+ C=0 和圓 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E24F>0

7、聲點(diǎn)的圓系方程為 x2+y2+Dx + Ey+F + Ax+ By+ C 尸 0.,小題練通1 .教材改編題若直線x- y+ 1 = 0與圓(x a)2 + y2=2有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是()A. 3, 1B. 1,3C. -3,1D. ( 8, - 3 U 1, +oo)答案：C2 .教材改編題直線y= ax+ 1與圓x2+y2-2x-3=0的位置關(guān)系是()A.相切B.相交C.相離D.隨a的變化而變化解析：選B二,直線y=ax+ 1恒過定點(diǎn)(0,1),又點(diǎn)(0,1)在圓(x1)2+y2= 4的內(nèi)部，故直線與圓相交.3 .教材改編題已知點(diǎn)M(a, b)在圓O： x2+y2=1外，則直

8、線ax+by= 1與圓。的位置關(guān)系是 .1斛析：由題忌知點(diǎn) M在圓外，則a2 + b2> 1,圓心到直線的距離 d= c<1,故直線與圓相父.a +b答案：相交4 .易錯(cuò)題過點(diǎn)(2,3)且與圓(x-1)2+y2=1相切的直線的方程為 .解析：當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)圓的切線方程為y=k(x-2)+3,由圓心(1,0)到切線的距離為1,得k=4,3所以切線方程為4x- 3y+ 1 = 0;當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，易知直線x = 2是圓的切線，所以所求的直線方程為4x 3y+ 1 = 0 或 x= 2.答案：x=2 或 4x 3y+1=05 .以M(1,0)為圓心，且與直線 xy+3=0相

9、切的圓的方程是.答案：(x- 1)2+y2=86 .直線 y=x+1 與圓 x2+y2+2y- 3=0 交于 A, B 兩點(diǎn)，則 |AB|=.解析：由 x2+y2+2y-3 = 0,得 x2+(y+1)2=4.圓心C(0, 1),半徑r=2.圓心C(0, 1)到直線x-y+ 1 = 0的距離d= 咋1J = 也,2|AB|=2r2- d2 = 24-2 = 2亞.答案：2 2三、圓與圓的位置關(guān)系(兩圓半徑為0, d= |OiO2|)相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖形譚溪1©u量的關(guān)系d> r 1+ 勺 d= r1+1*2|r1 r21V dv門士£2d= |n- r2| d&l

10、t; |門一切提醒涉及兩圓相切時(shí)，沒特別說明，務(wù)必要分內(nèi)切和外切兩種情況進(jìn)行討論.謹(jǐn)記常用結(jié)論圓 Cl： X2+y2+Dix+Eiy+ Fi = 0 與 C2： x2+y2+D?x+E2y+F2= 0 相交時(shí)：(1乃兩圓方程直接作差，得到兩圓公共弦所在直線方程；(2嚴(yán)圓圓心的連線垂直平分公共弦；(3 Xy2+ Dix+ Eiy+ F1+ x2+ y2+ D2x+ E2y + F2 j= 0表示過兩圓交點(diǎn)的圓系方程 (不包括C2) 小題練通1 .人教A版教材P133A組T9圓x2+y24=0與圓x2+y24x+4y12= 0的公共弦的長為 .答案：2 22 .教材改編題若圓x2 + y2=1與圓

11、(x+4)2+(ya)2=25相切，則實(shí)數(shù) a=.答案：立班或03 .教材改編題圓*2+丫2=產(chǎn)與圓儀3)2+廿+1)2=產(chǎn)外切，則半徑r=.解析：由題意，得2r= >/32+(-1 2,所以r = 乎.答案:4°4 .易錯(cuò)題若兩圓x2+y2=m和 x2+y2+6x8y11 = 0有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù) m的取值范圍是 .答案：1,1215 .若圓 C1： x2+y2=1 與圓 C2: x2+y26x8y+m=0 外切，則 m =()A. 21B. 19C. 9D. - 11解析：選C 圓C1的圓心為C1(0,0),半徑 門=1,因?yàn)閳AC2的方程可化為(x-3)2+(y-4)2=25

12、-m,所以圓 C2的圓心為 C2(3,4),半徑.=皿m(m<25).從而|CiC2|=。32+42 = 5.由兩圓外切得|CiC2|=門+2,即1 + 、25-m =5,解得 m=9,故選 C.6.與圓 C1： x2+y2-6x + 4y+12=0, C2： x2+y2- 14x- 2y+ 14=0 都相切的直線有()A. 1條B. 2條C. 3條D. 4條解析：選A 兩圓分別化為標(biāo)準(zhǔn)形式為C1：(x 3)2+(y+2)2=1, C2:(x 7)2+(y1)2= 36,則兩圓圓心距|C1c2|=、(7-3 2+ 1-(-2 2 =5,等于兩圓半徑差，故兩圓內(nèi)切.所以它們只有一條公切線.

13、故選 A.課時(shí)跟蹤檢測1. (2019廣西陸川中學(xué)期末)圓C1： x2+y2+2x+8y8=0與圓C2： x2+y24x4y1 = 0的位置關(guān)系是()A.內(nèi)含B.外離C.外切D.相交解析：選D 圓Ci的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y+4)2= 25,圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2+(y 2)2=9,兩圓的圓心 距為、(2+ 1 2+(2+ 4 2 =3g 兩圓的半徑為 j=5,2 = 3,滿足8>3/5>2=、一2,故兩圓相交. 故選D.2. (2019閩侯第八中學(xué)期末)若圓過點(diǎn)(0, 1), (0,5),且被直線x-y= 0截得的弦長為 2萬，則圓的方程為()A. x2+(y2)2=

14、9或儀+4)2+廿2)2=25B. x2+(y 2)2=9 或(x1)2+(y 2)2=10C. (x+4)2+(y- 2)2 = 25 或(x+4)2+(y-2)2= 17D. (x+4)2+(y- 2)2 = 25 或(x-4)2+(y-1)2= 16解析：選A 由于圓過點(diǎn)(0, 1), (0,5),故圓心在直線 y=2上，設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,2),由弦長公式得 *2+(5_2尸7,解得a=0或a=4.故圓心為(0,2),半徑為3或圓心為( 4,2),半徑為5,故選A.3. (2019北京海淀期末)已知直線x-y+m=0與圓O: x2+y2=1相交于A, B兩點(diǎn)，且 OAB為正三角形, 則實(shí)

15、數(shù)m的值為()BB. 2/或-解析：選D 由題意得圓 O: x2+y2=1的圓心坐標(biāo)為(0,0),半徑r=1.因?yàn)锳OAB為正三角形，則圓心O到直線xy+時(shí)。的距離為多=當(dāng)即=果=字解得m=*或m26選，故選D.4. (2019南寧、梧州聯(lián)考)直線y=kx+ 3被圓(x-2)2+(y- 3)2= 4截得的弦長為2/3,則直線的傾斜角為()兀I、, 5兀A二或T 66兀4兀兀C - 6或6D.6解析：選A 由題知，圓心(2,3),半徑為2,所以圓心到直線的距離為d=22-0/3)2 =1.即d= =|=1,所以k=且3,由k=tan a,得或丫,故選A. 3665. 若圓C的半徑為1,圓心在第一

16、象限，且與直線4x-3y= 0和x軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ()A. (x-2)2+(y- 1)2 = 1B. (x-2)2+(y+1)2=1C. (x+2)2+(y- 1)2=1D.(x3)2+ (y- 1)2=1解析：選A由于圓心在第一象限且與x軸相切，故設(shè)圓心為(a,1)(a>0),又由圓與直線4x3y=0相切可得|4a 3| = 1,解得a= 2,故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x 2)2+(y1)2=1. 56. (2019西安聯(lián)考)直線y1=k(x3)被圓(x2)2+(y2)2=4所截得的最短弦長等于()A市B. 2v3C. 2mD.5解析：選C 圓(x2)2+(y2)2= 4的圓心C

17、(2,2),半徑為2,直線y 1 = k(x-3), 此直線恒過定點(diǎn)P(3,1),當(dāng)圓被直線截得的弦最短時(shí)，圓心 C(2,2)與定點(diǎn)P(3,1)的連線垂直于弦，弦心距為比23)2+(21 j =2,所截得的最短弦長為 2y22-=2yft,故選C.7. (2019山西晉中模擬)半徑為2的圓C的圓心在第四象限，且與直線*=0和*+丫=2其均相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. (x-1)2+(y+ 2)2 = 4B. (x-2)2+(y+ 2)2=2C. (x2)2+(y+ 2)2 = 4D. (x-22)2+ (y+22)2= 4解析：選C 設(shè)圓心坐標(biāo)為(2, - a)(a>0),則圓心到直

18、線 x+y= 2小的距離d二 |2-a 12V2|= 2, . . a= 2,2，該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x 2)2+(y+2)2= 4,故選C.8. (2018唐山二模)圓E經(jīng)過A(0,1), B(2,0), C(0, 1)三點(diǎn)，且圓心在 x軸的正半軸上，則圓 E的標(biāo)準(zhǔn)方程為()AL3*=裂& + 3) +=21Cb4)+，=籌卜解析：選C 根據(jù)題意，設(shè)圓 E的圓心坐標(biāo)為(a,0)(a>0),半徑為r,件2斤凡,、則有ia2+(0+1 f= r2,解得a = 3，產(chǎn)=15，則圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ,一4 2+丫2=25.故選C.L2+(0-1f=r2,'9. (2018合肥二模)

19、已知圓C: (x6)2+(y8)2=4, O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則以O(shè)C為直徑的圓的方程為()A. (x-3)2+(y+ 4)2=100B. (x+3)2+(y4)2= 100C. (x-3)2+(y- 4)2 = 25D. (x+3)2+(y-4)2=25解析：選C 因?yàn)閳AC的圓心的坐標(biāo)C(6,8),所以O(shè)C的中點(diǎn)坐標(biāo)為 E(3,4),所求圓的半徑|OE| = >/32+42 = 5,故以O(shè)C為直徑的圓的方程為(x-3)2+(y-4)2= 25.故選C.10. (2018荊州二模)圓(x1)2+(yT)2=2關(guān)于直線y=kx+3對稱，則k的值是()A. 2C. 1B. - 2D. 1 解析：選

20、B二.圓（x1）2+（y 1）2=2關(guān)于直線y= kx+ 3對稱，直線 y= kx+3過圓心（1,1）,即1=k+3, 解得k= 2.故選B.11. （2019廈門質(zhì)檢）圓0與x軸相切于T（1,0）,與y軸正半軸交于兩點(diǎn) A, B,且|AB|=2,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程 為（）A. （x-1）2+（y- 72）2=2B. （x1）2+（y2）2=2C. （x+1）2+（y+ 網(wǎng)=4D.（x1）2+（yJ）2=4解析：選a 由題意得，圓C的半徑為亞工i=V2,圓心坐標(biāo)為（1,6），圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（X1）2+（y 也）2 = 2,故選A.12. （2019孝義一模）已知P為直線x+y2=0上的點(diǎn)，過點(diǎn)

21、 P作圓O: x2+y2=1的切線，切點(diǎn)為 M, N, 若/ MPN = 90°,則這樣的點(diǎn) 有（）A. 0個(gè)B. 1個(gè)C. 2個(gè)D.無數(shù)個(gè)解析：選 B 連接 OM , ON ,貝U OM = ON , / MPN = / ONP = / OMP = 90 ,四邊形OMPN為正方形，圓O的半徑為1,|OP|=2,原點(diǎn)（圓心）0到直線x+y 2= 0的距離為 業(yè)，符合條件的點(diǎn) P只有一個(gè)，故選B.13. （2019北京東城聯(lián)考）直線l: y=kx+1與圓0: x2+y2=1相交于A, B兩點(diǎn)，則“ k= 1”是" AB|=J2'的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條

22、件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：選A 直線l: y= kx+1與圓0: x2+y2=1相交于A, B兩點(diǎn)，圓心到直線的距離d=-j3三，1+k則 AB|=2 1 d2=21-2= 21 k k2,當(dāng)k=1時(shí)，|AB|=2、修=<2，即充分性成立；若AB|=V2，則2、/1km= 2,即k2=1,解得k=1或k=1,即必要性不成立，故 “k=1”是“|AB|=e”的充分不 必要條件，故選A.14. 已知圓C: （x+1）2+（y- 1）2=1與x軸切于A點(diǎn)，與y軸切于B點(diǎn)，設(shè)劣弧 AB的中點(diǎn)為 M,則過點(diǎn) M 的圓C的切線方程是.解析：因?yàn)閳AC與兩軸相切，且 M是劣弧AB的中點(diǎn)

23、，所以直線 CM是第二、四象限的角平分線，所以斜率 為一1,所以過M的切線的斜率為1.因?yàn)閳A心到原點(diǎn)的距離為 血，所以|0M| = &1,所以M-g1, 1* !:, 所以切線方程為 y1 + ,=x步+1,整理得x- y+ 2&=0.答案：x-y+ 2->/2=015. （2018棗莊二模）已知圓 M與直線 x-y= 0及x y+ 4=0都相切，且圓心在直線 y= x+2上，則圓 M的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .解析：圓M的圓心在y= x+ 2上， 設(shè)圓心為(a,2a), 圓M與直線x-y= 0及x y+ 4=0都相切， 圓心到直線 x-y= 0的距離等于圓心到直線x-y+ 4 = 0的距離，即12a_2L|2aL2|