高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽多項(xiàng)式專(zhuān)題練習(xí)(詳解版)

1、高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽多項(xiàng)式專(zhuān)題練習(xí)（詳解版 ）試卷第5頁(yè)，總3頁(yè)、單選題1.若實(shí)數(shù)0,b 1則代數(shù)式a 1的值為A.20B. 2C. 2或20D. 2 或 202.已知是方程x2 2x 40的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則36的值為（A.1B. 2C. 22D. 3023.設(shè)xpxq 0的兩實(shí)根為2 -.為根的二次方程仍是2x pxp,q的個(gè)數(shù)是（A. 2B.C. 4D. 04.若實(shí)數(shù)b滿足a28a 5 0b2 8b 5 0皿b 1則a 1A.20B.C. 2或20a的值是（b 11D .一2二、多選題5.關(guān)于X的二次方程2x 2mx2n 0有兩個(gè)整數(shù)根且乘積為正，關(guān)于 y的二次方程y2 2ny 2m0同樣也有兩個(gè)整

2、數(shù)根且乘積為正，如下給出的結(jié)論中正確的是（A.這兩個(gè)方程的根都是負(fù)根B.這兩個(gè)方程的根中可能存在正根2C. m 1 nD.12m 2n 1三、解答題6.已知x1、x2是一元二次方程 4kx2 4kx k 1 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.3（1）是否存在頭數(shù)k, 2x1 x2 x1 2x2一成立？若存在，求出k的值；若不存2在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）求使見(jiàn) x2 2的值為整數(shù)的實(shí)數(shù) k的整數(shù)值.x2 Xi7,已知關(guān)于z的實(shí)系數(shù)一元二次方程 z2 5z a 0的兩個(gè)復(fù)數(shù)根為、，試用實(shí)數(shù)a表示| | |的值.28.已知關(guān)于x的不等式ax - a 1 x 1 0, a R .1(1)若不等式的解集為x - x 1 ,

3、求a ；2(2)當(dāng)a R時(shí)，解此不等式.9 .如圖，將一張長(zhǎng)方形紙板按圖中虛線裁剪成九塊，其中有兩塊是邊長(zhǎng)都為m的大正方形，兩塊是邊長(zhǎng)都為n的小正方形，五塊是長(zhǎng)為m ,寬為n的全等小長(zhǎng)方形，且m n .(以上長(zhǎng)度單位：cm)(1)用含m、n的代數(shù)式表示圖中所有裁剪線(虛線部分)的長(zhǎng)度之和;(2)觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式 2m2 5mn 2n2可以因式分解為 258cm ,試求m(3)若每塊小長(zhǎng)方形的面積為 10cm2,四個(gè)正方形的面積和為的值.10 .設(shè)m是不小于1的實(shí)數(shù)，關(guān)于x的方程x2 2 m 2 x2m 3m 3 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2.(1)若x2 x2 6 ,求實(shí)數(shù)m的值；

4、mxmx2(2)令T ( m 0),求實(shí)數(shù)T的取值范圍.1 x1 1 x211 .關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2 ax ab 0.(1)設(shè)x 1 J3i (i是虛數(shù)單位)是方程的根，求實(shí)數(shù) a, b的值;b 1(2)證明：當(dāng) 時(shí)，該方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根a 412 .已知m是實(shí)數(shù)，關(guān)于x的方程E： x2- mx+ (2m+1) =0.(1)若m=2,求方程E在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的解;(2)若方程E有兩個(gè)虛數(shù)根x1，x2,且滿足|xi - X2|=2,求m的值.四、填空題13.已知關(guān)于X的二次方程ax2a 2 x 2 0有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根,則整數(shù)a的值是14 .設(shè)關(guān)于x的方程x2 2x m0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為6,那

5、么實(shí)數(shù)m的值是15.已知 ，是方程x2 2x0的兩個(gè)根，則 2 2216.右2i 3是萬(wàn)程2x px q0 p,qR的一個(gè)根，則17.已知a, b, c是VABC的三邊長(zhǎng)，關(guān)于x的方程x2 Vbx21-a 0的解集2中只有一個(gè)元素，方程3cx 2b 2a的根為x 0 ,則VABC的形狀為2a, b為關(guān)于x mx3 m 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù) m的值18.若不等式& ax3，、一(4,b)的解集是(4, b),則實(shí)數(shù)a= 2，b=19.若tan 、tan 分別是方程x2 x 2 0的兩個(gè)根，則tan20 .已知a,b R ,且2 ai、b i (i是虛數(shù)單位)是實(shí)系數(shù)二次方程2x pxq

6、 0的兩個(gè)根，那么 p q的值為參考答案1. A【解析】【詳解】Qa,b滿足 a2 8a 5 0,b2 8b 5 0,a, b可看著方程x2 8x 5 0的兩根，a b 8,ab 5,22b 1 a 1 b 1 a 182 2 5 2 8 220,故選 A.5 8 1a 1 b 1 a 1 b 1 2 a b 2ab 2 a b 2 ab a b 1【方法點(diǎn)睛】本題主要考查韋達(dá)定理的應(yīng)用以及數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化與劃歸思想.屬于又t題.轉(zhuǎn)化與劃歸思想解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法， 是中學(xué)數(shù)學(xué)四種重要的數(shù)學(xué)思想之一， 尤其在解決知識(shí)點(diǎn) 較多以及知識(shí)跨度較大的問(wèn)題發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度

7、.運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是將題設(shè)條件研究透，這樣才能快速找準(zhǔn)突破點(diǎn).以便將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的知識(shí)領(lǐng)域，進(jìn)而順利解答，希望同學(xué)們能夠熟練掌握并應(yīng)用于解題當(dāng)中本題表面是求出a,b的值，再代入求值，其實(shí)需要轉(zhuǎn)化為利用韋達(dá)定理整體代入求解.2. D【解析】【分析】將 代入方程x2 2x 4 0，由此化簡(jiǎn) 3的表達(dá)式，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得，進(jìn)而化簡(jiǎn)求得3 86的值.【詳解】Q 是方程x2 2x 4 0的實(shí)根，2 24 0,32即 224,24224488,原式 88 86 814是方程x2 2x 4 0的兩實(shí)根,2 ,原式 8 2 14 30.故選：D.【點(diǎn)睛】 本小題主要考查根與系數(shù)關(guān)系，考查代數(shù)式

8、的變形，屬于基礎(chǔ)題3. B利用根與系數(shù)關(guān)系列方程，通過(guò)解方程求得p,q的所有可能取值，由此得出正確選項(xiàng)根據(jù)題意得,p,p，2 2 q由、可得20,解得由、可得2q 0.q 0時(shí)，p20,解得Plqi0,或0P2q21,把它們代入原方程的判別式中可知符合題意;0q i時(shí),P31或P 2 ,即 q32，或1P4q41,1,把它們代入原方程的判別式中可知P4q41,不合題意，舍去1.所以數(shù)對(duì)P,q的個(gè)數(shù)是3,答案第17頁(yè)，總14頁(yè)故選B.本小題主要考查根與系數(shù)關(guān)系,考查方程的解法，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題4. C當(dāng)a b時(shí)，計(jì)算出所求表達(dá)式的值為2,當(dāng)a1 b時(shí)，根據(jù)

9、已知可知a,b是方程x2 8x 5 0 的解,由此寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系，化簡(jiǎn)所求表達(dá)式，由此求得表達(dá)式的值.進(jìn)而求得正確選項(xiàng)【詳解】當(dāng) a b時(shí)，a_J 2； a 1 b 1當(dāng)al b時(shí)，因?yàn)閷?shí)數(shù)a、b滿足a2 8a 5 0 , b2 8b 5 0所以a、b可看成是方程x2 8x 5 0的解，所以a b 8, ab 5.2b 1 a 1 b 1 a 1a 1 b 1 a 1 b 12a b 2ab 2 a b 2ab a b 120.b 1 a 1 82 10016 2把a(bǔ) b 8, ab 5代入得a 1 b 15 8 1b 1 a 1綜上，的值為2或20.a 1 b 1故選C.本小題主要考查根與

10、系數(shù)關(guān)系，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查運(yùn)算求解能力， 考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.5. ACD【解析】【分析】列出兩個(gè)方程的根與系數(shù)關(guān)系，判斷A,B兩個(gè)選項(xiàng)的正確性.根據(jù)兩個(gè)方程的判別式為非負(fù)數(shù)，判斷C選項(xiàng)的正確性.根據(jù)兩個(gè)方程的根與系數(shù)關(guān)系，分別求得 2m 2n的表達(dá)式，證得2m 2n 1和2m 2n 1,由此判斷D選項(xiàng)的正確性.【詳解】設(shè)方程x2 2mx 2n 0的兩根為xx?,方程y2 2ny 2m 0的兩根為y1、y2 .由題意知 Xx2 2n 0, y1y2 2m 0,又Qx1 x2 2m, y1 y22n ,這兩個(gè)方程的根都是負(fù)根，故 A正確，B不正確；Q 4m2

11、 8n 0, 4n2 8m 0, m2 2n 0 , n2 2m 0 ,2/22_,2_/_m 1 n 1 m2n1n 2m 12,故C正確；Q N1N2 2m, yi y22n2m 2nV1V2ViV2 yi1y21 1,yi、y2 均為負(fù)整數(shù)，yi 1 y2 10,2m 2n1 .QXiX2 2n ,xx22m,2m 2n 1.Q Xi X22n ,x1 x22m,2n 2mx1x2xix2 x11x21 1Q X、x2均為負(fù)整數(shù)，xi 1 x2 10,2n 2m 1 ,即 2m 2n 1,1 2m 2n 1 ,故 D 正確.綜上所述，正確的結(jié)論有 A, C, D.故選:ACD.【點(diǎn)睛】本

12、小題主要考查一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，考查不等式的證明，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查分析與解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題6. (1)不存在，理由見(jiàn)解析；(2) 2, 3, -5.【解析】【分析】(1)因?yàn)橐辉畏匠?kx2 4kx k 1 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以利用判別式求出 k的取值范一，2圍，將2xix2x,2x2化為2xix29x1x2結(jié)合韋達(dá)定理以及k的取值范圍，即可判斷.2(2)將關(guān)系式上 2化為 “ x24 ,結(jié)合韋達(dá)定理以及整除的性質(zhì)即可求解.x2 xix1x2【詳解】(1)假設(shè)存在實(shí)數(shù)k,使2% x2 xi 2x2。成立.2 一元二次方程4kx2 4kx k 1 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)

13、根4k 0Xi24k 4 4k k 1X2是二次方程,24kxX1X216k4kx0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x2 1k 1 1 2x1X2X12X2X2 X2 5x1x2 22x1 x29x1 x24kk 94k,9k 一，但 k5不存在實(shí)數(shù)k,2x1 x2 x12x23成立.2(2) 土X2X222X1X22X12X2X1X1X2X1X24k 4k.要使其值是整數(shù)，只需 k 1能被4整除，故k 1X1X22的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)k的整數(shù)值為一2, 3,5.X2X1本題主要考查了二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)鍵是利用韋達(dá)定理來(lái)求解，屬于中檔題25 .7.當(dāng) a 1時(shí)，I I I I J25 2a 2IaI ;當(dāng)【解

14、析】a § 時(shí)，2/a4討論判別式后，根據(jù)韋達(dá)定理可得結(jié)果因?yàn)殛P(guān)于z的實(shí)系數(shù)二次方程z2 5z a 0的兩個(gè)復(fù)數(shù)根為當(dāng)V 25254a 0 ,即 a 一 時(shí), 4為實(shí)數(shù)根,所以5,a,所以I II I -(II)222 2I I .(2 _)22IIJ25 2a 2IaI，當(dāng) V 25 4a 0,即25了時(shí)，,為共輾虛根,所以設(shè) b ci , b ci ,5由韋達(dá)定理可得2b 5,所以b222225b c a ,所以 c a 一 ,4所以 | | | | 2Jbc22y4 a42 荷，綜上所述：當(dāng)a254時(shí)，H H 725 2a 2|al ；當(dāng) a(2)由題(ax 1)(x 1) 0

15、, aR：當(dāng)a 0時(shí)，不等式化為x 1a； (2)不等式化為1 -,解得aa1a2;時(shí)，不等式等價(jià)于(X_1若a 1 ,解得一 X a1、，、-4-)(X 1) 0,若 0 a 1,解得 1 x a11 ；當(dāng)a 0時(shí)，不等式等價(jià)于(x -)(xa1 _一；右a 1 ,解得xa1 ,1) 0,解得X 或X1.【點(diǎn)睛】 本題考查了根據(jù)韋達(dá)定理和配方法求值，考查了分類(lèi)討論思想，屬于基礎(chǔ)題，,、， 1 、8 . (1) 2 (2) a 0 時(shí)，X (1,) , 0 a 1 時(shí)，x (1-) , a 1 時(shí)，不等式的解集為a、11空集,a 1 時(shí)，X (-,1), a 0 時(shí)，X (,-)U(1,).a

16、a【解析】【分析】(1)根據(jù)不等式的解集和韋達(dá)定理，可列出關(guān)于a的方程組，解得(ax 1)(x 1) 0,討論a的取值，從而求得不等式的解集【詳解】a,11-1(1)由題得，(ax 1)(x 1) 0,解集為X - x 1，則有一2212綜上，a 0時(shí)，不等式的解集為(1,、 1.),0 a 1時(shí)，不等式的解集為 (1,一 ), a 1時(shí),a1a 0時(shí)，不等式的解集為不等式的解集為空集,a 1時(shí)，不等式的解集為(一,1),a1(,-)(1,). a【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式的解法與應(yīng)用，以及通過(guò)討論參數(shù)取值求不等式的解集，有一定的難度。9 .(1)6 m n cm；(2) m 2n 2m

17、n ；(3)49【解析】【分析】(1)結(jié)合圖像，求得所有裁剪線(虛線部分)的長(zhǎng)度之和；(2)根據(jù)最大長(zhǎng)方形的面積可知，代數(shù)式可因式分解為m 2n 2m n .2(3)根據(jù)每塊小長(zhǎng)方形的面積和四個(gè)正方形的面積和列式，然后求得m n的值.【詳解】(1)題圖中所有裁剪線(虛線部分)長(zhǎng)度之和為2 m 2n 2 2m n 6m 6n 6 m n cm.(2) 2m2 5mn 2n2可以因式分解為 m 2n 2m n ,故答案為 m 2n 2m n .(3)依題意得：2m2 2n2 58, mn 10, m2 n2 29 .2222Q m n m 2mn n , m n 29 20 49.【點(diǎn)睛】本小題主

18、要考查利用面積法進(jìn)行因式分解，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.5.1710. (1) m ; (2) 0 T 4且T 2.2【解析】【分析】根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，判別式為正數(shù)列不等式，求得m的取值范圍，寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系.(1)利用配方法化簡(jiǎn)x2 x2 6成小X2 2 2x1x2 6 ,根據(jù)上述列出的根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)，解一元二次方程求得 m的值.(2)將T轉(zhuǎn)化為利用x1 ”,為乂2來(lái)表示，根據(jù)上述列出的根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)，根據(jù)m的取值范圍，求得 T的取值范圍Q方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根, 解得m 1,又Q m是不小于 由題得xi X22 m 2(1) Q X2 x2 6 ,x

19、1-222 m 24 m1的實(shí)數(shù)， 1 m 1.24 2m, X1X2 m 3m 3.2 2x22x1x2 6,即 4 2m3m 3 4m 4 0 ,整理得m2 5m 2 0,解得m 5，17或m 5 07 .Q225 .172(2) Tmx1 mx21x1 1 x2mx1 1 x2 mx2 1 x11 x1 1 x2m x1 x2 2x1x21x1x2x1x22m 4 2m 2m 6m 6，, 一2 一 一1 4 2m m 3m 322m m 12m m2 2m.0 2 2m 4且 2 2m 2,即 0 T 4且T 2.故實(shí)數(shù)T的取值范圍為0 T 4且T 2.本小題主要考查根與系數(shù)關(guān)系,考查

20、一元二次方程的解法， 考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題11. (1) a 2, b 2; (2)見(jiàn)解析【分析】(1)利用實(shí)系數(shù)一元二次方程的虛根成對(duì)原理、根與系數(shù)的關(guān)系、復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出；(2)利用一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系即可得出.【詳解】(i)Qx 1 J3i是方程的根， 1 J3i也是方程的根，由根與系數(shù)的關(guān)系得1褥173i a,1內(nèi)1V3iab,解得a2,b 2;(2)證明：Q b 1,b1 4ba04a4ba0 4ab a20,a 4a4 4aa2 4ab 0,原方程無(wú)實(shí)數(shù)根.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，考查復(fù)數(shù)與方程的綜合，考查邏輯思維能

21、力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.12. (1) x= 1+2i,或 x=1- 2i (2) m=0,或 m=8【解析】【分析】(1)根據(jù)求根公式可求得結(jié)果；(2)根據(jù)實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式虛根成對(duì)定理，不妨設(shè) x1=a+bi,則x2=a-bi,根據(jù)韋達(dá)定理以及|X1 - X2|= 2,可解得結(jié)果.【詳解】(1)當(dāng) m=2 時(shí)，x2 - mx+ (2m+1) =x2-2x+5=0,x 216, . x= 1+2i,或 x=1-2i.2，方程E在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的解為 x= 1+2i,或x= 1-2i；(2)方程E有兩個(gè)虛數(shù)根x1，x2,根據(jù)實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式虛根成對(duì)定理，不妨設(shè)x1=a+bi,則x2=a-bi,2. 221

22、2_. x1+x2= 2a= m, x#2 a b 2m 1 , . b m 2m 14212, |x1 - x21= |2bi |=2' - b = 1,一一m 2m 114m = 0,或 m= 8.【點(diǎn)睛】本題考查了求根公式，考查了實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式虛根成對(duì)定理，考查了韋達(dá)定理，屬于中檔題.13. a 1【解析】首先判斷a 0,然后根據(jù)判別式為正數(shù)，求得 a 2且a 0,利用根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合 a為整數(shù)、兩個(gè)根為不相等的正整數(shù)根，求得 a的值.【詳解】Q方程ax2a 2 x 2 0是關(guān)于x的7L二次方程,a 0.22a 2 4a 2 a 20 ,當(dāng)a 2時(shí)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)a 2

23、且a 0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根Q方程有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根,2且 a 0.設(shè)方程的兩個(gè)根分別為xx2,x1 x2=2,為 x2=1 + 2,aaQ x1、x2均為正整數(shù),2工為正整數(shù)，Q a為整數(shù)，a 2且a 0, a 1. a故答案為a 1本小題主要考查根據(jù)二次方程的根求參數(shù)的值，考查根與系數(shù)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題14. 9根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系求得6變形為36,由此求得關(guān)于m的方程,解方程求得 m的值.6,由根與系數(shù)的關(guān)系可得36,3636,4 2 1m2136,當(dāng)1 m 0時(shí),無(wú)解；當(dāng)m 0時(shí)，解得m 9.故實(shí)數(shù)m的值為9.故答案為9本小題主要考查根與系數(shù)關(guān)系，考查代數(shù)式的變形，屬于基礎(chǔ)題15

24、. 32【解析】【分析】由題得 + , 的值，再把韋達(dá)定理代入2 22得解.【詳解】由題得 + = 2,7.所以 2 22 ()2 44 28 32 .故答案為：32【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的韋達(dá)定理的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平16. 38;【解析】【分析】假設(shè)另外一個(gè)根為 z,根據(jù)z1是實(shí)數(shù)，結(jié)合韋達(dá)定理，可得結(jié)果.【詳解】假設(shè)另外一個(gè)根為 z ,22i 3是方程2x px q 0 p,q R的一個(gè)根，則2i 3 z 衛(wèi)22i 3 z q2由p,q R,可知z是2i 3的共軻復(fù)數(shù)，所以z 3 2i 把代入可知p 12q 26所以p q 38故答案為：38【點(diǎn)睛】本題重在考查zgz是實(shí)數(shù)，掌握復(fù)數(shù)共軻復(fù)數(shù)的形式，屬基礎(chǔ)題17.等邊三角形12【解析】【分析】根據(jù)所給條件確定 a,b,c關(guān)系，即可判斷三角形形狀，利用根與系數(shù)關(guān)系可求m.【詳解】Q關(guān)于x的方程二x2 而x c la 0的解